Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết phân tích đa thức thành nhân tử.
Mô tả ba cách phân tích đa thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung; Nhóm các hạng tử, Sử dụng hằng đẳng thức.

Thuật ngữ: Phân tích đa thức thành nhân từ · Đật nhân từ chung · Nhóm các hạng từ

Khái niệm, thuật ngữ

Tớ biết cách tìm được tất cả số x để $2 x^{2} + x = 0$ .

Tròn làm thế nào nhỉ?

1 phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

HD

Hãy viết đa thức $x^{2} - 2 x y$ thành tích của các đa thức, khác đa thức là số.

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^{3} + x;$
b) $2 (x + y) - 2 y (x + y)$ .

Hình/bảng: Nhân tử ↓ x3 + x = x (x² + 1) Nhân tử

Lời giải

Giải
a) Ta có $x^{3} + x = x \cdot x^{2} + x = x (x^{2} + 1)$
b) $2 (x + y) - 2 y (x + y) = (2 - 2 y) (x + y) = 2 (1 - y) (x + y) .$

Chú ý

Cách làm như Ví dụ 1 gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung.

Luyện tập 1

Dạng bài: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $6 y^{3} + 2 y$
b) $4 (x - y) - 3 x (x - y)$ .

2 phân tích đa thức thành nhân từ bằng cách nhóm các hạng tử

Trong giờ học toán, cô giáo yêu cầu cả lớp phân tích đa thức sau thành nhân tử
$x^{2} - x y - 2 y + 2 x .$

Hai bạn Nam và Hà đã làm như sau:

Nam's solution:

x^{2} - x y - 2 y + 2 x = (x^{2} - x y) + (2 x - 2 y) = x (x - y) + 2 (x - y) = (x + 2) (x - y)

. Hà's solution:

x^{2} - x y - 2 y + 2 x = (x^{2} + 2 x) - (x y + 2 y) = x (x + 2) - y (x + 2) = (x - y) (x + 2)

Chú ý

Cách làm như trên của hai bạn Nam và Hà được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử. Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử thích hợp.

Ví dụ 2

Phân tích đa thức $x y + 3 z + x z + 3 y$ thành nhân tử.

Lời giải

Giải
$x y + 3 z + x z + 3 y = (x y + x z) + (3 z + 3 y) = x (y + z) + 3 (z + y) = (x + 3) (y + z) .$
Ta có thể phân tích bằng cách nhóm khác như sau:
$x y + 3 z + x z + 3 y = (x y + 3 y) + (3 z + x z) = (x + 3) y + (3 + x) z = (x + 3) (y + z)$

Luyện tập 2

Dạng bài: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức $2 x^{2} - 4 x y + 2 y - x$ thành nhân tử.

Vận dụng 1

Dạng bài: Giải bài toán, Phân tích đa thức thành nhân tử

Giải bài toán mở đầu bằng cách phân tích $2 x^{2} + x$ thành nhân tử.

3. Phân tích đa thức thành nhân từ bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

Ví dụ 3

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^{2} - 8 x + 16$ ;
b) $x^{2} - 3$
c) $9 x^{2} + 12 x + 4$
d) $8 x^{3} - 27$ .

Lời giải

Giải
a) $x^{2} - 8 x + 16 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = (x - 4)^{2}$ .
b) $x^{2} - 3 = x^{2} - (\sqrt{3})^{2} = (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) .$
c) $9 x^{2} + 12 x + 4 = (3 x)^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2} = (3 x + 2)^{2} .$
d) $8 x^{3} - 27 = (2 x)^{3} - 3^{3} = (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9) .$

Chú ý

Cách làm như ví dụ trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.

Luyện tập 3

Dạng bài: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) $(x + 1)^{2} - y^{2};$
b) $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1;$
c) $8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$

Tranh luận

Phân tích $x^{3} - x$ thành nhân tử.

Tròn's solution:

x^{3} - x = x (x^{2} - 1)

. Vuông's solution:

x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)

Em hãy nêu ý kiến của em về lời giải của Tròn và Vuông.

Vận dụng 2

Dạng bài: Tính nhanh giá trị của biểu thức

Tính nhanh giá trị của biểu thức
$A = x^{2} + 2 y - 2 x - x y$ tại $x = 2022$ , $y = 2020$ .

Bài tập

2.22

Dạng bài: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^{2} + x y;$
c) $x^{3} - 4 x;$
b) $6 a^{2} b - 18 a b .$
d) $x^{4} - 8 x .$

2.23

Dạng bài: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^{2} - 9 + x y + 3 y$
b) $x^{2} y + x^{2} + x y - 1$ .

2.24

Dạng bài: Tìm x

Tìm x, biết:
a) $x^{2} - 4 x = 0;$
b) $2 x^{3} - 2 x = 0$ .

2.25

Dạng bài: Viết biểu thức, Phân tích thành nhân tử, Tính giá trị

Một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh bằng x (mét). Người ta làm đường đi xung quanh mảnh vườn, có độ rộng như nhau và bằng y (mét) (H.2.2).
a) Viết biểu thức tính diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn theo x và y.
b) Phân tích S thành nhân tử rồi tính S khi $x = 102 m$ $y = 2 m .$

Hình 2.2. Hình vuông lớn có cạnh x, bên trong có hình vuông nhỏ hơn, đường bao quanh có độ rộng y. Có các nhãn y, x.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^{2} - x + 2 y - 4 y^{2}$ ;
b) $3 x y + 2 z^{2} - 6 y - x z^{2}$ .

Lời giải

Giải
a) $x^{2} - x + 2 y - 4 y^{2} = [x^{2} - (2 y)^{2}] - (x - 2 y)$
$= (x - 2 y) (x + 2 y) - (x - 2 y) = (x - 2 y) (x + 2 y - 1) .$
b) $3 x y + 2 z^{2} - 6 y - x z^{2} = (3 x y - 6 y) + (2 z^{2} - x z^{2})$
$= 3 y (x - 2) + z^{2} (2 - x) = 3 y (x - 2) - z^{2} (x - 2) = (3 y - z^{2}) (x - 2) .$

Ví dụ 2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 y^{2}$
b) $8 x^{3} - 27 y^{3} - 27 y^{2} - 9 y - 1$

Lời giải

Giải
a) $4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 y^{2} = (4 x^{2} - 4 x + 1) - (2 y)^{2} = (2 x - 1)^{2} - (2 y)^{2}$
$= (2 x - 1 - 2 y) (2 x - 1 + 2 y)$ .
b) $8 x^{3} - 27 y^{3} - 27 y^{2} - 9 y - 1 = (2 x)_{-}^{3} - (27 y^{3} + 27 y^{2} + 9 y + 1)$
$= (2 x)^{3} - (3 y + 1)^{3} = (2 x - 3 y - 1) [4 x^{2} + 2 x (3 y + 1) + (3 y + 1)^{2}]$

Ví dụ 3

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^{3} - x + 2 y - 8 y^{3}$
b) $2 x^{3} - 8 x^{2} - 24 x + 54.$

Lời giải

Giải
a) $x^{3} - x + 2 y - 8 y^{3} = (x^{3} - 8 y^{3}) - (x - 2 y) = [x^{3} - (2 y)^{3}] - (x - 2 y)$
$= (x - 2 y) (x^{2} + x \cdot 2 y + 4 y^{2}) - (x - 2 y) = (x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2} - 1)$ .
b) $2 x^{3} - 8 x^{2} - 24 x + 54 = 2 (x^{3} - 4 x^{2} - 12 x + 27) = 2 [(x^{3} + 27) - (4 x^{2} + 12 x)]$
$= 2 [(x^{3} + 3^{3}) - 4 x (x + 3)] = 2 [(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - 4 x (x + 3)]$
$= 2 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 - 4 x) = 2 (x + 3) (x^{2} - 7 x + 9) .$

Bài tập

2.26

Dạng bài: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^{2} - 6 x + 9 - y^{2}$
c) $x y + z^{2} + x z + y z;$
b) $4 x^{2} - y^{2} + 4 y - 4$ .
d) $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} + x z - 2 y z .$

2.27

Dạng bài: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^{3} + y^{3} + x + y;$
c) $(x - y)^{3} + (x + y)^{3}$
b) $x^{3} - y^{3} + x - y .$
d) $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + y^{2} - x^{2}$ .

EM CÓ BIẾT?

Định lí bézout và ứng dụng

Étienne Bézout (1730 – 1783) là nhà toán học người Pháp. Ông có nhiều công trình toán học nổi tiếng, đặc biệt là các công trình nghiên cứu về nghiệm của đa thức.

Nếu đa thức $f (x)$ có nghiệm $x = a$ thì $f (x)$ có thể phân tích được thành tích $f (x) = (x - a) g (x)$ trong đó $g (x)$ là thương của phép chia đa thức $f (x)$ cho $x - a$ .

Chẳng hạn, đa thức $2 x^{3} + x^{2} - 3 x - 14$ nhận $x = 2$ làm nghiệm và thương của phép chia $2 x^{3} + x^{2} - 3 x - 14$ cho $x - 2$ là $2 x^{2} + 5 x + 7$ nên $2 x^{3} + x^{2} - 3 x - 14 = (x - 2) (2 x^{2} + 5 x + 7) .$

Theo: E. Bézout, "Théorie génerale des équations algébriques", Paris (1779)

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 42–46).