Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

Yêu cầu cần đạt

Giải thích tính chất đường phân giác trong của tam giác.
Sử dụng tính chất đường phân giác trong của tam giác để tỉnh độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng.

Trong H.4.19, AD là đường phân giác của tam giác ABC. Hai tỉ số $\frac{D B}{D C}$ và $\frac{A B}{A C}$ có bằng nhau không?

Hình 4.19. Tam giác ABC với AD là đường phân giác của góc A, D nằm trên BC.

Cho tia phân giác At của góc xAy (H.4.20). Nếu lấy điểm B trên tia Ax, điểm C trên tia Ay, ta được tam giác ABC. Giả sử tia phân giác At cắt BC tại điểm D.

Hình 4.20. Hình 4.20a: Góc xAy với tia At là phân giác. B trên Ax, C trên Ay. AB=AC. D là giao điểm At và BC. Hình 4.20b: Góc xAy với tia At là phân giác. B trên Ax, C trên Ay. AB=2cm, AC=4cm. D là giao điểm At và BC.

HĐ1

Khi lấy B và C sao cho AB = AC (H.4.20a), hãy so sánh hai tỉ số $\frac{D B}{D C}$ và $\frac{A B}{A C}$ .

HĐ2

Khi lấy B và C sao cho AB = 2 cm và AC = 4 cm (H.4.20b), hãy dùng thước có vạch chia đến milimét để đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh hai tỉ số $\frac{D B}{D C}$ và $\frac{A B}{A C}$ .

Định lí (Tính chất đường phân giác của tam giác)

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

GT $△ A B C$ , AD là đường phân giác của góc BAC (D $\in$ BC).
KL $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .

Tam giác ABC với AD là đường phân giác của góc A, D nằm trên BC.

Chứng minh định lí

Vẽ đường thẳng qua B, song song với AD, cắt đường thẳng AC tại E (H.4.21).
Theo giả thiết, AD là phân giác của góc A nên ${\hat{A}}_{1} = {\hat{A}}_{2}$ .
Ta có EB // AD nên ${\hat{A}}_{1} = {\hat{B}}_{1}$ (hai góc so le trong);
${\hat{A}}_{2} = \hat{E}$ (hai góc đồng vị).
Do đó, ${\hat{B}}_{1} = \hat{E}$ ( $= {\hat{A}}_{1} = {\hat{A}}_{2}$ ) nên tam giác AEB cân tại A.
Suy ra AE = AB. (1)
Mặt khác, áp dụng định lí Thalès vào tam giác CEB, ta có:
$\frac{D B}{D C} = \frac{A E}{A C}$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ (đpcm).

Hình 4.21. Tam giác ABC với AD là đường phân giác. Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại E. Các góc A1, A2, B1, E được đánh dấu.

Chú ý.

Trong tam giác ABC, nếu D là điểm thuộc đoạn BC và thoả mãn $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ thì AD là đường phân giác của góc A.

Ví dụ

Dạng bài: Tính độ dài đoạn thẳng

Tính độ dài x trong Hình 4.22.

Lời giải

Giải Trong tam giác MNP có MI là đường phân giác của góc M. Do đó ta có: $\frac{I P}{I N} = \frac{M P}{M N}$ hay $\frac{x}{15} = \frac{32}{24}$ . Từ đó suy ra $x = \frac{15 \cdot 32}{24} = 20$ .

Hình 4.22. Tam giác MNP với MI là đường phân giác của góc M. MN=24, MP=32, IN=15, IP=x.

Luyện tập

Dạng bài: Tính độ dài đoạn thẳng

Tính độ dài x trên Hình 4.23.

Hình 4.23. Tam giác DEF với DM là đường phân giác của góc D. DE=3.5, DF=5.6, EM=4.5, MF=x.

Bài tập

4.10.

Dạng bài: Tính độ dài đoạn thẳng

Tính độ dài x trong Hình 4.24.

Hình/bảng: Hình 4.24: Tam giác NMP với MH là đường phân giác của góc M. NM=5.1, MP=5, NH=3, HP=x.

4.11.

Dạng bài: Tính độ dài đoạn thẳng

Cho tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D. Tính độ dài đoạn thẳng DC biết AB = 4,5 m; AC = 7,0 m và CB = 3,5 m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

4.12.

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Nhà bạn Mai ở vị trí M, nhà bạn Dung ở vị trí D (Hình 4.25), biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của AB. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường MD để đến điểm I. Bạn Mai xuất phát lúc 7h. Hỏi bạn Dung phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Mai lúc 7h30 tại điểm I?

Hình/bảng: Hình 4.25: Hình vuông ABCD. M là trung điểm AB. Đường thẳng MD cắt AC tại I. B, M, A, C, D là các điểm trên hình.

EM CÓ BIẾT?

Đường phân giác của góc ngoài của một tam giác (còn gọi là đường phân giác ngoài) cũng có tính chất tương tự như đường phân giác trong. Cụ thể là: Trong hình 4.26, AD' là phân giác của góc BAX (đường phân giác ngoài của $△ A B C$ tại A), ta có tỉ lệ thức $\frac{D^{'} B}{D^{'} C} = \frac{A B}{A C}$ .

Hình 4.26. Tam giác ABC. Tia AX là tia đối của AB. AD' là phân giác của góc XAC. D' nằm trên đường thẳng BC.

Ví dụ 1

Dạng bài: Tính độ dài đoạn thẳng

Tìm độ dài x trong Hình 4.27.

Lời giải

Giải. (H.4.27) Ta có $\hat{A M N} = \hat{A B C}$ (giả thiết), mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song). Suy ra $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$ (định lí Thalès trong tam giác), hay $\frac{16}{x} = \frac{20}{15}$ , suy ra $x = \frac{16 \cdot 15}{20} = 12$ .

Hình 4.27. Tam giác ABC với MN // BC. AM=16, MB=x, AN=20, NC=15.

Ví dụ 2

Dạng bài: Chứng minh hình học

Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB tại D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC tại E. Chứng minh DE // BC.

Lời giải

Giải. (H.4.28) Trong $△ A M B$ , MD là phân giác của $\hat{A M B}$ nên $\frac{D A}{D B} = \frac{M A}{M B}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác). (1) Trong $△ A M C$ , ME là phân giác của $\hat{A M C}$ nên $\frac{E A}{E C} = \frac{M A}{M C}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác). (2) Mặt khác, MB = MC (do M là trung điểm của BC). (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{D A}{D B} = \frac{E A}{E C}$ . Do đó DE // BC (định lí Thalès đảo).

Hình 4.28. Tam giác ABC với AM là trung tuyến. MD là phân giác góc AMB, ME là phân giác góc AMC. D trên AB, E trên AC.

Ví dụ 3

Dạng bài: Chứng minh hình học

Cho $△ A B C$ vuông tại A, đường cao AH (H $\in$ BC). Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AH và HB. Chứng minh rằng:
a) IK $⊥$ AC;
b) AK $⊥$ CI.

Lời giải

Giải (H.4.29) a) Tam giác AHB có I là trung điểm của AH, K là trung điểm của BH nên KI là đường trung bình của $△ A H B$ .

Hình 4.29. Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. I là trung điểm AH, K là trung điểm HB. Các đoạn IK, AK, CI được vẽ.

Từ đó, suy ra KI // AB (tính chất đường trung bình của tam giác).
Vì AB $⊥$ AC (do $△ A B C$ vuông tại A) nên KI $⊥$ AC.
b) Tam giác AKC có: AH $⊥$ KC (giả thiết);
KI $⊥$ AC (chứng minh trên).
Vì AH cắt KI tại I nên I là trực tâm của $△ A K C$ . Suy ra CI $⊥$ AK.

Bài tập

4.13.

Dạng bài: Tính độ dài đoạn thẳng

Tìm độ dài x trong Hình 4.30

Hình/bảng: Hình 4.30: Tam giác DEF với N trên DF, M trên DE. NM // FE. DN=3, NF=6, DM=2, ME=x.

4.14.

Dạng bài: Chứng minh hình học

Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.
a) Chứng minh EK // CD, FK // AB.
b) So sánh EF và $\frac{1}{2} (A B + C D)$ .

4.15.

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức

Cho tam giác ABC, phân giác AD (D $\in$ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng $\frac{A C}{A B} = \frac{E C}{E A}$ .

4.16.

Dạng bài: Tính độ dài đoạn thẳng; Tính tỉ số diện tích

Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.
a) Tính độ dài đoạn thẳng DB và DC.
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.

4.17.

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức

Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua D cắt AC, AB, CB theo thứ tự tại M, N, K. Chứng minh rằng: $D M^{2} = M N \cdot M K$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 84–88).