Bài 3. Phép cộng và phép trừ đa thức

Thuật ngữ: Tổng của hai đa thức · Hiệu của hai đa thức

Khái niệm, thuật ngữ

Tổng của hai đa thức
Hiệu của hai đa thức

Kiến thức, kĩ năng
Thực hiện các phép tính cộng, trừ đa thức.

Trong buổi sinh hoạt câu lạc bộ Toán học của lớp, hai bạn tính giá trị của hai đa thức $P = 2 x^{2} y - x y^{2} + 22$ và $Q = x y^{2} - 2 x^{2} y + 23$ tại những giá trị cho trước của x và y. Kết quả được ghi lại như bảng bên.

Bảng 1.1

X
1
-1
2
1
y
-1
1
1
2
P
19
25
38
22
Q
26
20
17
23

Ban giám khảo cho biết có một cột cho kết quả sai. Theo em, làm thế nào để có thể nhanh chóng phát hiện cột có kết quả sai ấy?

Cộng và trừ hai đa thức

Cho hai đa thức: $A = 5 x^{2} y + 5 x - 3$ và $B = x y - 4 x^{2} y + 5 x - 1$ .

Bạn còn nhớ quy tắc dấu ngoặc không?

HĐ1

Thực hiện phép cộng hai đa thức A và B bằng cách tiến hành các bước sau: • Lập tổng $A + B = (5 x^{2} y + 5 x - 3) + (x y - 4 x^{2} y + 5 x - 1) .$ • Bỏ dấu ngoặc và thu gọn đa thức nhận được.

HĐ2

Thực hiện phép trừ hai đa thức A và B bằng cách lập hiệu $A - B = (5 x^{2} y + 5 x - 3) - (x y - 4 x^{2} y + 5 x - 1) .$ bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn đa thức nhận được.

Cộng (hay trừ) hai đa thức tức là thu gọn đa thức nhận được sau khi nối hai đa thức đã cho bởi dấu "+" (hay dấu "-").

Chú ý

Phép cộng đa thức cũng có các tính chất giao hoán và kết hợp tương tự như phép cộng các số. • Với A, B, C là những đa thức tuỳ ý, ta có: $A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)$ Nếu $A - B = C$ thì $A = B + C$ ngược lại, nếu $A = B + C$ thì $A - B = C$

Ví dụ

Tìm tổng và hiệu của hai đa thức: $C = 5 x^{2} y + 5 x - 3 z + 2$ và $D = x y z - 4 x^{2} y + 5 x - 1$ .

Lời giải

Giải. $C + D = (5 x^{2} y + 5 x - 3 z + 2) + (x y z - 4 x^{2} y + 5 x - 1)$ $= 5 x^{2} y + 5 x - 3 z + 2 + x y z - 4 x^{2} y + 5 x - 1$ $= (5 x^{2} y - 4 x^{2} y) + (5 x + 5 x) - 3 z + x y z + (2 - 1)$ $= x^{2} y + 10 x - 3 z + x y z + 1$ . $C - D = (5 x^{2} y + 5 x - 3 z + 2) - (x y z - 4 x^{2} y + 5 x - 1)$ $= 5 x^{2} y + 5 x - 3 z + 2 - x y z + 4 x^{2} y - 5 x + 1$ $= (5 x^{2} y + 4 x^{2} y) + (5 x - 5 x) - x y z - 3 z + (2 + 1)$ $= 9 x^{2} y - x y z - 3 z + 3$ .

Luyện tập 1

Cho hai đa thức $G = x^{2} y - 3 x y - 3$ và $H = 3 x^{2} y + x y - 0.5 x + 5.$ Hãy tính $G + H$ và $G - H$

Luyện tập 2

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x = 2 và $y = - 1$ . $K = (x^{2} y + 2 x y^{3}) - (7, 5 x^{3} y^{2} - x^{3}) + (3 x y^{3} - x^{2} y + 7, 5 x^{3} y^{2})$ .

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu, hãy trình bày ý kiến của em.

Hãy chú ý đến đa thức $P + Q$

Bài tập

1.14.

Tính tổng và hiệu của hai đa thức $P = x^{2} y + x^{3} - x y^{2} + 3$ và $Q = x^{3} + x y^{2} - x y - 6$ .

1.15.

Rút gọn biểu thức: a) $(x - y) + (y - z) + (z - x)$ b) $(2 x - 3 y) + (2 y - 3 z) + (2 z - 3 x)$ .

1.16.

Tìm đa thức M biết $M - 5 x^{2} + x y z = x y + 2 x^{2} - 3 x y z + 5.$

1.17.

Cho hai đa thức $A = 2 x^{2} y + 3 x y z - 2 x + 5$ và $B = 3 x y z - 2 x^{2} y + x - 4.$ a) Tìm các đa thức $A + B$ và $A - B$ ; b) Tính giá trị của các đa thức A và $A + B$ tại $x = 0, 5$ $\underline{y} = - 2$ và z = 1.

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu, hãy trình bày ý kiến của em.

KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Bài tập

Luyện tập chung

Ví dụ

Cho hai đa thức: $A = 5 x^{2} - 2 x^{3} y + 7 x^{3} y^{2} - 118$ ; $B = - 7 x^{3} y^{2} + x^{3} y - 5 x y^{2} - 4 x^{2} + y .$ a) Liệt kê các hạng tử của đa thức A, trong đó hạng tử nào có bậc cao nhất? b) Tìm tổng $A + B$ và xác định bậc của đa thức $A + B$ c) Tìm hiệu $A - B$ và tính giá trị của hiệu tại $x = 1$ và $\underline{y} = 2.$

Lời giải

Giải a) Đa thức A có bốn hạng tử là $5 x^{2}$ , $- 2 x^{3} y,$ $7 x^{3} y^{2},$ -118. Hạng tử có bậc cao nhất trong A là $7 x^{3} y^{2}$ b) $A + B = (5 x^{2} - 2 x^{3} y + 7 x^{3} y^{2} - 118) + (- 7 x^{3} y^{2} + x^{3} y - 5 x y^{2} - 4 x^{2} + y)$ $= (5 x^{2} - 4 x^{2}) + (- 2 x^{3} y + x^{3} y) + (7 x^{3} y^{2} - 7 x^{3} y^{2}) - 118 - 5 x y^{2} + y$ $= x^{2} - x^{3} y - 5 x y^{2} + y - 118$ . Hạng tử có bậc cao nhất của $A + B$ là $- x^{3} y$ có bậc bốn, vậy đa thức $A + B$ là đa thức bậc bốn. c) $A - B = (5 x^{2} - 2 x^{3} y + 7 x^{3} y^{2} - 118) - (- 7 x^{3} y^{2} + x^{3} y - 5 x y^{2} - 4 x^{2} + y)$ $= 5 x^{2} - 2 x^{3} y + 7 x^{3} y^{2} - 118 + 7 x^{3} y^{2} - x^{3} y + 5 x y^{2} + 4 x^{2} - y$ $= (5 x^{2} + 4 x^{2}) + (- 2 x^{3} y - x^{3} y) + (7 x^{3} y^{2} + 7 x^{3} y^{2}) - 118 + 5 x y^{2} - y .$ $= 9 x^{2} - 3 x^{3} y + 14 x^{3} y^{2} + 5 x y^{2} - y - 118$ . Tại $x = 1$ và $\underline{y} = - 2$ , đa thức A – B có giá trị bằng: $9 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1^{3} \cdot (- 2) + 14 \cdot 1^{3} \cdot (- 2)^{2} + 5 \cdot 1 \cdot (- 2)^{2} - (- 2) - 118$ $= 9 + 6 + 56 + 20 + 2 - 118 = - 25.$

Bài tập

1.18.

Cho các biểu thức: $r a c 45 x;$ $(\sqrt{2} - 1) x y,$ $- 3 x y^{2}$ $r a c 12 x^{2} y,$ $r a c 1 x y^{3};$ $- x y + \sqrt{2}$ $- \frac{3}{2} x^{2} y;$ $r a c \sqrt{x} 5.$

Luyện tập chung

Ví dụ

Cho hai đa thức: A = $5 x^{2} - 2 x^{2} y + 7 x^{3} y^{2} - 118$ ; B = $- 7 x^{3} y^{2} + x^{3} y - 5 x y^{2} - 4 x^{2} + y$ . a) Liệt kê các hạng tử của đa thức A, trong đó hạng tử nào có bậc cao nhất? b) Tìm tổng A + B và xác định bậc của đa thức A + B; c) Tìm hiệu A – B và tính giá trị của hiệu tại $x = 1$ và $y = - 2$ .

Lời giải

Giải a) Đa thức A có bốn hạng tử là $5 x^{2}$ , $- 2 x^{2} y$ , $7 x^{3} y^{2}$ , $- 118$ . Hạng tử có bậc cao nhất trong A là $7 x^{3} y^{2}$ . b) A + B = $(5 x^{2} - 2 x^{2} y + 7 x^{3} y^{2} - 118) + (- 7 x^{3} y^{2} + x^{3} y - 5 x y^{2} - 4 x^{2} + y)$ = $(5 x^{2} - 4 x^{2}) + (- 2 x^{3} y + x^{3} y) + (7 x^{3} y^{2} - 7 x^{3} y^{2}) - 118 - 5 x y^{2} + y$ = $x^{2} - x^{3} y - 5 x y^{2} + y - 118$ . Hạng tử có bậc cao nhất của A + B là $x^{3} y$ có bậc bốn, vậy đa thức A + B là đa thức bậc bốn. c) A- B = $(5 x^{2} - 2 x^{2} y + 7 x^{3} y^{2} - 118) - (- 7 x^{3} y^{2} + x^{3} y - 5 x y^{2} - 4 x^{2} + y)$ = $5 x^{2} - 2 x^{2} y + 7 x^{3} y^{2} - 118 + 7 x^{3} y^{2} - x^{3} y + 5 x y^{2} + 4 x^{2} - y$ = $(5 x^{2} + 4 x^{2}) + (- 2 x^{3} y - x^{3} y) + (7 x^{3} y^{2} + 7 x^{3} y^{2}) - 118 + 5 x y^{2} - y$ . = $9 x^{2} – 3 x^{3} y + 14 x^{3} y^{2} + 5 x y^{2} - y - 118$ . Tại $x = 1$ và $y = - 2$ , đa thức A – B có giá trị bằng: $9 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1^{3} \cdot (- 2) + 14 \cdot 1^{3} \cdot (- 2)^{2} + 5 \cdot 1 \cdot (- 2)^{2} - (- 2) - 118$ = $9 + 6 + 56 + 20 + 2 - 118 = - 25$ .

1.18

Cho các biểu thức: $\frac{4}{5} x$ ; $(\sqrt{2} - 1) x y$ ; $- 3 x y^{2}$ ; $\frac{1}{2} x^{2} y$ ; $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $- x y + \sqrt{2}$ ; $- \frac{3}{2} x^{3} y$ ; $\frac{\sqrt{x}}{5}$ . a) Trong các biểu thức đã cho, biểu thức nào là đơn thức? Biểu thức nào không là đơn thức? b) Hãy chỉ ra hệ số và phần biến của mỗi đơn thức đã cho. c) Viết tổng tất cả các đơn thức trên để được một đa thức. Xác định bậc của đa thức đó.

1.19

Trong một khách sạn có hai bể bơi dạng hình hộp chữ nhật. Bể thứ nhất có chiều sâu là 1,2 m, đáy là hình chữ nhật có chiều dài x mét, chiều rộng y mét. Bể thứ hai có chiều sâu là 1,5 m, hai kích thước đáy gấp 5 lần hai kích thước đáy của bể thứ nhất. a) Hãy tìm đơn thức (hai biến x và y) biểu thị số mét khối nước cần có để bơm đẩy cả hai bể bơi. b) Tính lượng nước bơm đầy hai bể nếu $x = 5$ m, $y = 3$ m.

1.20

Tìm bậc của mỗi đa thức sau rồi tỉnh giá trị của chúng tại $x = 1$ ; $y = - 2$ : P = $5 x - 3 x^{2} y + 2 x y^{3} - x^{2} y + 2 y - 7 x^{2} y^{2} - 2 x y^{3}$ ; Q = $x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - x^{3}$ .

1.21

Cho hai đa thức: A = $7 x y z - 5 x y z + 3 x^{2} y z - x y z + 1$ ; B = $7 x^{2} y z - 5 x y z + 3 x y z^{2} - 2$ . a) Tìm đa thức C sao cho A - C = B; b) Tìm đa thức D sao cho A + D = B; c) Tìm đa thức E sao cho E-A = B.

1.22

Từ một miếng bìa, người ta cắt ra hai hình tròn có bán kính x centimét và y centimét. Tìm biểu thức biểu thị diện tích phần còn lại của miếng bìa, nếu biết miếng bìa có hình dạng gồm hai hình vuông ghép lại và có kích thước (centimét) như Hình 1.2. Biểu thức đó có phải là một đa thức không? Nếu phải thì đó là đa thức bậc mấy?

Hình 1.2. Hình ảnh một hình chữ nhật lớn được chia thành hai hình vuông nhỏ hơn. Một hình vuông có cạnh 2x, hình còn lại có cạnh 2,5y.

1.23

Cho ba đa thức: M = $3 x^{3} - 4 x^{2} y + 3 x - y$ ; N = $5 x y - 3 x + 2$ ; P = $3 x^{3} + 2 x^{2} y + 7 x - 1$ . Tính M + N-P và M-N-P.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 16–18).