Bài 7. Lập phương của một tổng hay một hiệu

Yêu cầu cần đạt

Mô tả các hằng đẳng thức: lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu.
Vận dụng hai hằng đẳng thức này để khai triển, rút gọn biểu thức.

Thuật ngữ: Lập phương của một tổng · Lập phương của một hiệu

Khái niệm, thuật ngữ

Chúng mình đã biết công thức $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2},$ còn công thức tỉnh $(a + b)^{3}$ thì sao nhỉ?

1 lập phương của một tổng

HĐ1

Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính $(a + b) \cdot (a + b)^{2}$
Từ đó rút ra liên hệ giữa $(a + b)^{3}$ và và $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .
Với A, B là hai biểu thức tuỳ ý, ta có:

$(A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}.

Ví dụ 1

Khai triển:
a) $(x + 2)^{3}$ ;
b) $(2x+y)^{3}

Lời giải

Giải
a) $(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} + 2^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8.$
b) $(2 x + y)^{3} = (2 x)^{3} + 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot y + 3 \cdot 2 x \cdot y^{2} + y^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}$ .

Luyện tập 1

Dạng bài: Khai triển, Rút gọn biểu thức

1. Khai triển:
a) $(x + 3)^{3}$ ;
b) $(x + 2 y)^{3}$ .
2. Rút gọn biểu thức $(2 x + y)^{3} - 8 x^{3} - y^{3}$ .

Ví dụ 2

Viết biểu thức $1 + 6 x + 12 x^{2} + 8 x^{3}$ dưới dạng lập phương của một tổng.

Lời giải

Giải
$1+6x+12x^{2}+8x^{3}=1+3\cdot1^{2}\cdot2x+3\cdot1\cdot(2x)^{2}+(2x)^{3}=(1+2x)^{3}.

Luyện tập 2

Dạng bài: Viết biểu thức dưới dạng lập phương của một tổng

Viết biểu thức $x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3}$ dưới dạng lập phương của một tổng.

2. Lập phương của một hiệu

HD2

Với hai số a, b bất kì, viết $a - b = a + (- b)$ và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính $(a - b)^{3} .$
Từ đó rút ra liên hệ giữa $(a - b)^{3}$ và $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ .
Với A, B là hai biểu thức tuỳ ý, ta có:

Ta có thể tìm được hằng đẳng thức bên bằng cách thực hiện phép nhân $(A-B)\cdot(A-B)^{2}.

$(A-B)^{3}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}.

Ví dụ 3

Khai triển:
a) $(x - 1)^{3}$
b) $(x - 2 y)^{3}$ .

Lời giải

Giải
a) $(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} - 1^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1.$
b) $(x-2y)^{3}=x^{3}-3\cdot x^{2}\cdot2y+3\cdot x\cdot(2y)^{2}-(2y)^{3}=x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}

Luyện tập 3

Dạng bài: Khai triển biểu thức

Khai triển $(2x-y)^{3}

Ví dụ 4

Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu
$27 - 27 x + 9 x^{2} - x^{3}$ .

Lời giải

Giải
$27-27x+9x^{2}-x^{3}=3^{3}-3\cdot3^{2}\cdot x+3\cdot x\cdot2-x^{3}=(3-x)^{3}

Luyện tập 4

Dạng bài: Viết biểu thức dưới dạng lập phương của một hiệu

Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu
$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3}$ .

Vận dụng

Dạng bài: Rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức
$(x-y)^{3}+(x+y)^{3}

Bài tập

2.7

Dạng bài: Khai triển

Khai triển:
a) $(x^{2} + 2 y)^{3}$
b) $(\frac{1}{2}x-1)^{3}.

2.8

Dạng bài: Viết dưới dạng lập phương

Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.
a) $27 + 54 x + 36 x^{2} + 8 x^{3};$
b) $64 x^{3} + 144 x^{2} y + 108 x y^{2} + 27 y^{3}$ .

2.9

Dạng bài: Tính nhanh giá trị của biểu thức

Tính nhanh giá trị của biểu thức:
a) $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ tại $x = 7$ ;
b) $27 - 54 x + 36 x^{2} - 8 x^{3}$ tại $x = 6, 5$

2.10

Dạng bài: Rút gọn biểu thức

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $(x - 2 y)^{3} + (x + 2 y)^{3}$ ;
b) $(3x+2y)^{3}+(3x-2y)^{3}

2.11

Dạng bài: Chứng minh

Chứng minh $(a-b)^{3}=-(b-a)^{3}.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 34–36).