Bài 15. Định lí thalès trong tam giác

Yêu cầu cần đạt

Định lí Thalès trong tam giác (thuận và đảo).
Tính độ dài đoạn thẳng bằng cách sử dụng định lí Thalès.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gần với việc vận dụng định lí Thalès.

Thuật ngữ: Tỉ số hai đoạn thẳng · Đoạn thẳng tỉ lệ

Chương IV định lí thalès

Thalès (625-547 trước
Công nguyên) là một
trong những nhà hình
học đầu tiên của Hi Lạp.
Trong chương này chúng
ta sẽ cùng tìm hiểu định lí
mang tên ông và một số
kiến thức về đường trung
binh, tinh chất đường
phân giác trong tam giác.

Khái niệm, thuật ngữ

Cây cầu AB bắc qua một con sông có
chiều rộng 300 m. Để đo khoảng cách
giữa hai điểm C và D trên hai bờ con
sông, người ta chọn một điểm E trên
đường thẳng AB sao cho ba điểm E,
C, D thẳng hàng. Trên mặt đất, người
ta đo được $A E = 400$ m, $E C = 500$ m.
Theo em, người ta tỉnh khoảng cách
giữa C và D như thế nào?

Hình 4.1. Sơ đồ đo khoảng cách giữa hai điểm C và D qua sông. Các điểm A, B, E trên một đường thẳng, C, D, E thẳng hàng. AB = 300m, AE = 400m, EC = 500m.

1 đoạn thẳng tỉ lệ

Tỉ số của hai đoạn thẳng

Cho Hình 4.2, em hãy thực hiện các hoạt động sau:

Hình 4.2. Đoạn thẳng MN, AB, CD trên một đường thẳng.

HĐ1

Hãy tìm độ dài của hai đoạn thẳng AB và CD nếu chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài.
Với các độ dài đó hãy tính tỉ số $\frac{A B}{C D}$

HĐ2

Dùng thước thẳng, đo độ dài hai đoạn AB và CD (đơn vị: cm) rồi dùng kết quả vừa
đo để tính tỉ số
$\frac{A B}{C D}$

HĐ3

So sánh hai tỉ số tìm được trong hai hoạt động trên.

Ta có nhận xét rằng: Khi ta thay đổi đơn vị đo, tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng AB và
CD không thay đổi. Ta gọi tỉ số đó là tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD.

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

Luyện tập 1

Tìm tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:
a) $M N = 3$ cm và $P Q = 9$ cm.
b) $E F = 25$ cm và HK = 10 dm.

Cho bốn đoạn thẳng AB, CD, A'B', C'D' (H.4.3). Ta thấy
$\frac{A B}{C D} = \frac{2}{3}; \frac{A^{'} B^{'}}{C^{'} D^{'}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} .$
Ta có tỉ lệ thức
$\frac{A B}{C D} = \frac{A^{'} B^{'}}{C^{'} D^{'}} .$
Khi đó, ta nói AB và CD tỉ lệ với A'B' và C'D'.

Hình 4.3. Hai cặp đoạn thẳng AB, CD và A'B', C'D' trên hai đường thẳng song song.

Ta có định nghĩa sau:

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C'D' nếu có tỉ lệ thức:
$\frac{A B}{C D} = \frac{A^{'} B^{'}}{C^{'} D^{'}}$
hay $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{C D}{C^{'} D^{'}}$

Luyện tập 2

Cho tam giác ABC và một điểm B' nằm trên cạnh AB. Qua điểm B', ta vẽ một đường
thẳng song song với BC, cắt AC tại C' (H.4.4). Dựa vào hình vẽ, hãy tính và so sánh
các tỉ số sau và viết các tỉ lệ thức:
a) $\frac{A B^{'}}{A B}$ và $\frac{A C^{'}}{A C}$
b) $\frac{A B^{'}}{B^{'} B}$ và $\frac{A C^{'}}{C^{'} C};$
c) $\frac{B^{'} B}{A B}$ và $\frac{C^{'} C}{A C};$

Hình 4.4. Tam giác ABC với đường thẳng B'C' song song với BC, B' trên AB, C' trên AC. Hình vẽ trên lưới ô vuông.

Trong Luyện tập 2, khi $B^{'} C^{'}$ song song với BC, ta có các tỉ lệ thức:
$\frac{A B^{'}}{A B} = \frac{A C^{'}}{A C}; \frac{A B^{'}}{B^{'} B} = \frac{A C^{'}}{C^{'} C}; \frac{B^{'} B}{A B} = \frac{C^{'} C}{A C} .$

Một cách tổng quát, ta có định lí sau:

Định lí Thalès

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

GT
$△ A B C,$ B'C' // BC ( $(B^{'} \in A B;$ $C^{'} \in A C)$
KL
$\frac{A B^{'}}{A B} = \frac{A C^{'}}{A C}; \frac{A B^{'}}{B^{'} B} = \frac{A C^{'}}{C^{'} C}; \frac{B^{'} B}{A B} = \frac{C^{'} C}{A C}$

Tam giác ABC với đường thẳng B'C' song song với BC, B' trên AB, C' trên AC.

Ví dụ 1

Tính độ dài x trong Hình 4.5(*), biết MN // EF.

Lời giải

Xét tam giác DEF Có MN // EF nên theo định li Thalès, ta có:
$\frac{D M}{M E} = \frac{D N}{N F}$
hay
$\frac{2}{4} = \frac{x}{5}$
suy ra
$x = \frac{2 \cdot 5}{4} = 2, 5.$

Hình 4.5. Tam giác DEF với đường thẳng MN song song với EF. DM=2, ME=4, DN=x, NF=5.

(*) Các số chỉ kích thước trên mỗi hình có cùng đơn vị đo.

Luyện tập 3

Tìm các độ dài x, y trong Hình 4.6.

Hình 4.6. Hai tam giác (a) và (b). Tam giác (a) ABC với MN // BC, AM=6.5, AN=4, MB=x, NC=2. Tam giác (b) PQH với EF // QH, PE=4, PF=5, EQ=y, FH=3.5.

Định lí Thalès đảo

HĐ4

Cho $△ A B C$ có $A B = 6$ cm, $A C = 9 c m .$ Trên cạnh AB lấy
điểm B, trên cạnh AC lấy điểm C'sao cho $A B^{'} = 4$ cm,
$A C^{'} = 6$ cm (H.4.7).

So sánh các tỉ số

$\frac{A B^{'}}{A B}$
và
$\frac{A C^{'}}{A C}$

Vẽ đường thẳng a đi qua B' và song song với BC,

đường thẳng a cắt AC tại điểm $C^{''}$ . Tính độ dài đoạn
thẳng AC".

Nhận xét gì về hai điểm $C^{'}$ , $C^{''}$ và hai đường thẳng B'C', BC?

Ta thừa nhận định lí sau:
Định lí Thalès đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh
này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh
còn lại của tam giác.

Hình 4.7. Tam giác ABC với B' trên AB và C' trên AC. Đường thẳng a đi qua B' song song với BC, cắt AC tại C''.

GT $△ A B C$ $B^{'} \in A B$ $C^{'} \in A C$ ; $\frac{A B^{'}}{A B} = \frac{A C^{'}}{A C}$
KL
B'C' // BC.

Tam giác ABC với B' trên AB và C' trên AC, minh họa định lí Thalès đảo.

Ví dụ 2

Quan sát Hình 4.8. Chứng minh rằng MN // EF.

Lời giải

Trong $△ D E F,$ ta có: $\frac{D M}{M E} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}; \frac{D N}{N F} = \frac{2, 5}{5} = \frac{1}{2} .$
Vi
$\frac{D M}{M E} = \frac{D N}{N F} = \frac{1}{2}$
nên MN // EF (định lí Thalès đảo).

Hình 4.8. Tam giác DEF với đường thẳng MN cắt DE và DF. DM=2, ME=4, DN=2.5, NF=5.

Vận dụng

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Bài tập

4.1

Tìm độ dài x, y trong Hình 4.9 (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hình 4.9. Hai tam giác (a) và (b). Tam giác (a) PQE với HK // QE, PH=6, PK=8, HQ=x, KE=4. Tam giác (b) ABC với MN // BC, AM=6.5, AN=8, MB=y, NC=11.

4.2

Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và giải thích vì sao chúng song
song với nhau.

Hình 4.10. Hai tam giác (a) và (b). Tam giác (a) MNE với F trên ME, G trên MN. MF=2, FE=3, MG=3, GN=4.5. Tam giác (b) HQE với F trên HQ, K trên HE. HF=14, FQ=15, HK=12, KE=18.

4.3

Cho $Δ A B C$ , từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F
và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.
Chứng minh rằng: $\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = 1.$

4.4

Cho $△ A B C$ có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC
tại điểm M. Chứng minh rằng
$B M = \frac{1}{3} B C$ .

4.5

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và E ở hai bên bờ
sông, bác An chọn ba vị trí A, F, C cùng nằm ở một bên
bờ sông sao cho ba điểm C, E, B thẳng hàng, ba điểm
C, F, A thẳng hàng và AB // EF (H. 4.11). Sau đó bác
An đo được $A F = 40 m$ , $F C = 20 m,$ $E C = 30 m$ . Hỏi
khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng bao nhiêu?

Hình 4.11. Sơ đồ đo khoảng cách qua sông. Các điểm A, F, C thẳng hàng. Các điểm C, E, B thẳng hàng. AB // EF. AF=40m, FC=20m, EC=30m.

Vận dụng

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Bài tập

4.3.

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức

Cho $△ A B C$ , từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh rằng: $\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = 1$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 76–80).