Bài 12. Hình bình hành – Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Mô tả khái niệm hình bình hành.
Giải thích các tính chất của hình bình hành.
Nhận biết dấu hiệu để một tứ giác là hình bình hành.

Thuật ngữ: Hình bình hành

Hai con đường lớn a và b cắt nhau tạo thành một góc. Bên trong góc đó có một điểm dân cư O. Phải mở một con đường thẳng đi qua O như thế nào để theo con đường đó, hai đoạn đường từ điểm O đến hai con đường a và b bằng nhau (các con đường đều là đường thẳng) (H.3.27)?

Hình/bảng: Figure 3.27 shows two intersecting lines (roads a and b) forming an angle. A point O is inside the angle. A house is shown near O.

1 hình bình hành và tính chất

Khái niệm hình bình hành

HD1

Trong Hình 3.28, có một hình bình hành. Đó là hình nào? Em có thể giải thích tại sao không?

Hình/bảng: Figure 3.28 shows three quadrilaterals labeled a, b, c on a grid. Quadrilateral b appears to be a parallelogram.

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Ví dụ 1

Trong Hình 3.29, cho tứ giác ABCD và ba góc bằng nhau. Tứ giác ABCD có là hình bình hành không? Tại sao?

Hình/bảng: Figure 3.29 shows a quadrilateral ABCD. An angle XDA is marked, and angle DAB is marked. Angle XDA and DAB appear to be equal.

Lời giải

Giải
Ta có $\hat{X D A} = \hat{D A B}$ và chúng ở vị trí so le trong nên AB // CD.
Tương tự, AD // CB.
Vậy theo định nghĩa, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Thực hành 1

Vẽ hình bình hành, biết hai cạnh liên tiếp bằng 3 cm, 4 cm và góc xen giữa hai cạnh đó bằng $60^{\circ} .$ Hãy mô tả cách vẽ và giải thích tại sao hình vẽ được là hình bình hành.

Tính chất của hình bình hành

HD2

Hãy nêu các tính chất của hình bình hành mà em đã biết.

HD3

Cho hình bình hành ABCD (H.3.30).
a) Chứng minh $Δ A B C = Δ C D A .$ Từ đó suy ra $A B = C D$ $A D = B C$ và $\hat{A B C} = \hat{C D A} .$
b) Chứng minh $△ A B D = △ C D B .$ Từ đó suy ra $\hat{D A B} = \hat{B C D}$ .
c) Gọi giao điểm của hai đường chéo AC, BD là O. Chứng minh $Δ A O B = Δ C O D$ Từ đó suy ra $O A = O C$ $O B = O D .$

Hình/bảng: Figure 3.30 shows a parallelogram ABCD with diagonals AC and BD intersecting at O.

Định lí 1

Trong hình bình hành:
a) Các cạnh đối bằng nhau;
b) Các góc đối bằng nhau;
c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

ABCD là hình bình hành;
O là giao điểm của AC và BD.

a) $A B = C D,$ $A D = B C;$
b) $\hat{A} = \hat{C}, \hat{B} = \hat{D};$
c) $O A = O C,$ $O B = O D$ .

Nhận xét

Dễ thấy trong một hình bình hành, hai góc kề một cạnh bất kì là hai góc bù nhau.

Luyện tập 1

Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tuỳ ý trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB tại P. Gọi I là trung điểm của đoạn NP. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AM.

Tranh luận

Hình thang cân thì có hai cạnh bên bằng nhau. Ngược lại, hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì nó là hình thang cân.

Tròn sai rồi! Có trường hợp hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó lại là hình bình hành mà không phải là hình thang cân.

Theo em, bạn nào đúng? Vì sao?

2. Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh

Ta đã biết hình bình hành thì có các cạnh đối bằng nhau. Ngược lại, một tứ giác có các cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó có là hình bình hành không?

Ta có thể chứng minh được:

Định lí 2

a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.
b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.

Hãy viết giả thiết, kết luận của Định lí 2.

Ví dụ 2

Cho hình bình hành ABCD. Từ A, C kẻ AH, CK cùng vuông góc với BD (H.3.31). Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Hình/bảng: Figure 3.31 shows a parallelogram ABCD with perpendiculars AH and CK drawn from A and C to diagonal BD. Angles D1 and B1 are marked.

Lời giải

Giải
GT ABCD là hình bình hành; $A H ⊥ B D$ , $C K ⊥ B D$ .
KL AHCK là hình bình hành.
Theo giả thiết ABCD là hình bình hành nên AD // BC và $A D = B C$ suy ra $\hat{D_{1}} = \hat{B_{1}}$ (hai góc so le trong).
Hai tam giác vuông AHD và CKB có: $A D = B C$ , $\hat{D_{1}} = \hat{B_{1}}$ (chứng minh trên).
Vậy hai tam giác vuông AHD và CKB bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn).
Do đó $A H = C K .$ Mặt khác, AH và CK cùng vuông góc với BD nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có cặp cạnh đối AH, CK song song và bằng nhau nên theo Định lí 2, AHCK là hình bình hành.

Luyện tập 2

Cho hình bình hành ABCD $(A B > B C)$ Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại $F (H .3.32)$ .
a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau.
b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

Hình/bảng: Figure 3.32 shows a parallelogram ABCD. DE is the angle bisector of D, intersecting AB at E. BF is the angle bisector of B, intersecting CD at F.

Thực hành 2

Chia một sợi dây xích thành bốn đoạn: hai đoạn dài bằng nhau, hai đoạn ngắn bằng nhau và đoạn dài, đoạn ngắn xen kẽ nhau. Hỏi khi móc hai đầu mút của sợi dây xích đó lại để được một tứ giác ABCD (có các đỉnh tại các điểm chia) như Hình 3.33 thì tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

Hình/bảng: Figure 3.33 shows a chain forming a parallelogram ABCD.

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo góc và đường chéo

Ta biết hình bình hành thì có các góc đối bằng nhau và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ngược lại, một tứ giác có các góc đối bằng nhau hoặc có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó có là hình bình hành không?

Ta có thể chứng minh được:

Định lí 3

a) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.
b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

Hãy viết giả thiết, kết luận của Định lí 3.

Ví dụ 3

Trong ba tứ giác dưới đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?

Hình/bảng: Figure 3.34 shows three quadrilaterals labeled a, b, c. a) has opposite sides marked parallel. b) has angles A=110°, B=70°, D=80°, C=100°. c) has diagonals intersecting at their midpoints.

Lời giải

Giải
Tứ giác trong Hình 3.34a là hình bình hành (theo Định lí 2a).
Tứ giác trong Hình 3.34c là hình bình hành (theo Định lí 3b).
Tứ giác trong Hình 3.34b không là hình bình hành vì có hai góc đối A, C không bằng nhau.

Luyện tập 3

Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Gọi A' , $B^{'}$ là các điểm sao cho O là trung điểm của $A A^{'}$ , $B B^{'}$ Chứng minh rằng $A^{'} B^{'} = A B$ và đường thẳng A'B' song song với đường thẳng AB.

Vận dụng

Trở lại bài toán mở đầu. Em hãy vẽ hình và nêu cách vẽ con đường cần mở đi qua O sao cho theo con đường đó, hai đoạn đường từ O tới a và tới b bằng nhau.

Con đường cần mở là đường chéo của hình bình hành có hai cạnh liên tiếp nằm trên hai con đường a và b.

Bài tập

3.13

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?
a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành.

Hình/bảng: Figure 3.35 shows a parallelogram ABCD with angle A=100° and unknown angles B, C, D.

3.14

Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong Hình 3.35.

Hình/bảng: Figure 3.35 shows a parallelogram ABCD with angle A=100° and unknown angles B, C, D.

3.15

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh $B F = D E$

3.16

Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?

Hình/bảng: Figure 3.36 shows three quadrilaterals: a) ABCD with angle A=100°, B=80°, D=100°. b) ABCD with angle A=75°, B=75°, D=75°. c) ABCD with angle A=70°, B=110°, D=110°.

3.17

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành; b) $E F = A D$ , $A F = E C$ .

3.18

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh $△ O A M = △ O C N$ Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD. Hỏi EFGH là hình gì? Vì sao?

Hình/bảng: Figure 3.37 shows a parallelogram ABCD. Points E, F, G, H are the midpoints of AB, BC, CD, DA respectively. The quadrilateral EFGH is drawn inside.

Lời giải

Giải (H.3.37)
Theo giả thiết, E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD nên $A E = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} C D = C G;$ $A H = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} B C = C F .$
Hai tam giác AHE và CFG có: $\hat{H A E} = \hat{F C G}$ (hai góc đối của hình bình hành ABCD), $A H = C F$ $A E = C G$ (chứng minh trên).
Vậy $Δ A H E = Δ C F G$ (c.g.c), suy ra $H E = F G$ Tương tự, $G H = E F$
Tứ giác EFGH có $G H = E F$ $H E = F G$ nên tứ giác đó là hình bình hành.

Ví dụ 2

Tính diện tích hình bình hành ABCD có đường chéo AC vuông góc với cạnh AD, biết $A C = 4 c m$ , $A D = 3 c m$ .

Hình/bảng: Figure 3.38 shows a parallelogram ABCD. Diagonal AC is drawn. AC is perpendicular to AD. Lengths AD=3 and AC=4 are marked.

Lời giải

Giải (H.3.38)
Theo giả thiết, ABCD là hình bình hành nên BC // AD, $B C = A D (= 3 c m) .$ Mặt khác, $A D ⊥ A C$ (giả thiết) suy ra $B C ⊥ A C$
Ta có $△ A B C$ vuông tại C và $△ A D C$ vuông tại A nên:
$S_{A D C} = \frac{1}{2} A D \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \cdot (c m^{2});$
$S_{A C B} = \frac{1}{2} A C \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 (c m^{2}) .$
Vậy diện tích hình bình hành ABCD là $12 c m^{2}$

Bài tập

3.19

Trong các tứ giác ở Hình 3.39, tứ giác nào là hình bình hành? Vì sao?

Hình/bảng: Figure 3.39 shows three quadrilaterals: a) ABCD with opposite sides marked parallel. b) ABCD with angles A=110°, B=70°, D=75°. c) ABCD with angles D=80°, C=80°.

3.20

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho $A M = C N$ Chứng minh rằng:
a) $A N = C M$
b) $\hat{A M C} = \hat{A N C}$

3.21

Vẽ tứ giác ABCD theo hướng dẫn sau:
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB và đường thẳng a song song với AB.
Bước 2. Lấy điểm $C \in a$
Bước 3. Trên a chọn D sao cho $C D = A B$ và A, D nằm cùng phía đối với BC.
Hãy giải thích tại sao tứ giác ABCD là hình bình hành.

3.22

Cho hình bình hành ABCD có $A B = 3$ cm, $A D = 5$ cm.
a) Hỏi tia phân giác của góc A cắt cạnh CD hay cạnh BC?
b) Tính khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C.

3.23

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành;
b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

3.24

Cho ba điểm không thẳng hàng.
a) Tìm một điểm sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình bình hành. Hãy vẽ hình và mô tả cách tìm.
b) Hỏi tìm được bao nhiêu điểm như vậy?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 57–63).