Bài 10. Tứ giác – Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Mô tả khái niệm tứ giác, tứ giác lỗi.
Giải thích định lí về tổng các góc trong một từ giác lồi.

Thuật ngữ: Tứ giác, tứ giác lỗi · Đỉnh, cạnh, góc, đường chéo của từ giác lồi

Hình học phẳng

Ở lớp 6, trong phần Hình học trực quan, ta đã làm quen với hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông và các tính chất của chúng. Trong chương III, ta sẽ đưa ra định nghĩa và tìm hiểu các tính chất, dấu hiệu nhận biết các hình này.

Khái niệm, thuật ngữ

Cắt bốn tứ giác như nhau bằng giấy rồi đánh số bốn góc của mỗi tứ giác như tứ giác ABCD trong Hình 3.1a. Ghép bốn tứ giác giấy đó để được hình như Hình 3.1b.

Em có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như vậy không?

Em có nhận xét gì về bốn góc tại điểm chung của bốn tứ giác? Hãy cho biết tổng số đo của bốn góc đó.

Hình 3.1. Hình 3.1a: Tứ giác ABCD với các góc được đánh số 1, 2, 3, 4. Hình 3.1b: Bốn tứ giác giống nhau được ghép lại, các góc 1, 2, 3, 4 của mỗi tứ giác được ghép xung quanh một điểm.

1 tứ giác lối

Tứ giác lồi và các yếu tố của nó

Ta đã biết tam giác là hình gồm ba điểm không thẳng hàng và ba đoạn thẳng nối ba điểm đó.

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng.

Trên Hình 3.2, các hình a, b, c là tứ giác; hình d không phải là tử giác.

Hình 3.2. Hình 3.2a: Tứ giác ABCD (lồi). Hình 3.2b: Tứ giác ABCD (lõm). Hình 3.2c: Tứ giác ABCD (lõm). Hình 3.2d: Hình không phải tứ giác (có 3 điểm thẳng hàng).

Trong tứ giác ABCD, các điểm A, B, C, D là các đỉnh; các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA là các cạnh.

Tứ giác lồi là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.

Trong các tứ giác ở Hình 3.2a, b và c, chỉ có tứ giác ở Hình 3.2a là tứ giác lỗi.

Trong tứ giác lồi ABCD, các góc ABC, BCD, CDA và DAB gọi là các góc của tứ giác. Kí hiệu đơn giản lần lượt là $\hat{B} .$ $\hat{C} .$ $\hat{D} .$ $\hat{A}$

Chú ý

Từ nay, khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.
Tứ giác ABCD trong Hình 3.2a còn được gọi tên là tứ giác BCDA, CDAB, DABC, ADCB, DCBA, CBAD, BADC.

Cho bốn điểm E, F, G, H (Hình 3.3). Kể tên một tứ giác có các đỉnh là bốn điểm đã cho.

Hình 3.3. Bốn điểm E, F, G, H được đánh dấu trên mặt phẳng.

Luyện tập 1

Dạng bài: Xác định đường chéo

Quan sát tứ giác ABCD trong Hình 3.4.
Hai đỉnh không cùng thuộc một cạnh gọi là hai đỉnh đối nhau. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau là một đường chéo, chẳng hạn AC là một đường chéo. Kể tên đường chéo còn lại.

Em có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như vậy không?
Em có nhận xét gì về bốn góc tại điểm chung của bốn tứ giác? Hãy cho biết tổng số đo của bốn góc đó.

Hình/bảng: Hình 3.1a shows a quadrilateral ABCD with angles 1, 2, 3, 4 marked at vertices D, C, B, A respectively. Hình 3.1b shows four such quadrilaterals arranged around a central point, with angles 1, 2, 3, 4 from each quadrilateral meeting at the center.

1 tứ giác lồi

Trên Hình 3.2, các hình a, b, c là tứ giác; hình d không phải là tứ giác.

Trong tứ giác ABCD, các điểm A, B, C, D là các đỉnh; các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA là các cạnh.

Trong các tứ giác ở Hình 3.2a, b và c, chỉ có tứ giác ở Hình 3.2a là tứ giác lồi.

Cho bốn điểm E, F, G, H (Hình 3.3). Kể tên một tứ giác có các đỉnh là bốn điểm đã cho.

Hình/bảng: Figure 3.3 shows four points E, F, G, H scattered on a plane.

Cặp cạnh AB, CD là cặp cạnh đối. Chỉ ra cặp cạnh đối còn lại.

Cặp góc A, C là cặp góc đối. Hãy kể tên cặp góc đối còn lại.

Trong tứ giác hai đường chéo cắt nhau tại một điểm nằm giữa mỗi đường.

2. Tổng các góc của một tứ giác

Tổng các góc của một tứ giác

HĐ

Cho tứ giác ABCD. Kẻ đường chéo BD (H.3.5). Vận dụng định lí về tổng ba góc trong một tam giác đối với các tam giác ABD và CBD, tính tổng $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D}$ của tứ giác ABCD.

Hình/bảng: Figure 3.5 shows a quadrilateral ABCD with diagonal BD drawn, dividing angle B into B1 and B2, and angle D into D1 and D2.

Nhớ rằng tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$

Định lí

Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^{\circ} .$

Ví dụ

Cho tứ giác ABCD như Hình 3.6. Hãy tính góc D.

Hình/bảng: Figure 3.6 shows a quadrilateral ABCD with angles A=110°, B=120°, C=80°.

Lời giải

Giải
Theo định lí về tổng các góc của một tứ giác, ta có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{\circ} .$
Do đó $\hat{D} = 360^{\circ} - (110^{0} + 120^{\circ} + 80^{\circ}) = 50^{\circ}$ .
Vậy $\hat{D} = 50^{\circ} .$

Luyện tập 2

Cho tứ giác EFGH như Hình 3.7. Hãy tính góc F.

Hình/bảng: Figure 3.7 shows a quadrilateral EFGH with angles H=55°, G=90°, E=90°.

Vận dụng

Giải bài toán mở đầu.

Thử thách nhỏ

Trong một tứ giác, hỏi số góc tù nhiều nhất là bao nhiêu và số góc nhọn nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao?

Bài tập

3.1

Tính góc chưa biết của các tứ giác trong Hình 3.8.

Hình/bảng: Figure 3.8 shows three quadrilaterals: a) a rectangle ABCD with one angle marked as unknown. b) a quadrilateral VURS with angles V=60°, S=110°, and two unknown angles U and R. c) a quadrilateral HGEF with angles G=50°, F=60°, and two unknown angles H and E.

3.2

Tính góc chưa biết của tứ giác trong Hình 3.9. Biết rằng $\hat{H} = \hat{E} + 10^{\circ}$ .

Hình/bảng: Figure 3.9 shows a quadrilateral HGEF with angles G=50°, F=60°, and two unknown angles H and E.

3.3

Tứ giác ABCD trong Hình 3.10 có $A B = A D$ $C B = C D$ , được gọi là hình “cái diều”.
a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Tính các góc B, D biết rằng $\hat{A} = 100^{\circ},$ $\hat{C} = 60^{\circ}$ .

Hình/bảng: Figure 3.10 shows a kite-shaped quadrilateral ABCD with diagonals AC and BD. A child is flying a kite in the background.

EM CÓ BIẾT?

Ở lớp 6, đã giới thiệu cách lát nền phẳng bằng các viên gạch hình vuông. Cũng dễ thấy ta có thể lát bằng gạch hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, hình thang. Hình bên mô tả một cách lát nền phẳng bằng những viên gạch hình tứ giác như nhau.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 48–51).