Bài 6. Hiệu hai bình phương. bình phương của…

Thuật ngữ: Hằng đẳng thức · Hiệu hai bình phương · Bình phương của một tổng · Bình phương của một hiệu

Khái niệm, thuật ngữ

Nhận biết hằng đẳng thức. • Mô tả hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu. • Vận dụng ba hằng đẳng thức này để tính nhanh, rút gọn biểu thức.

Trong một trò chơi trí tuệ trên truyền hình dành cho học sinh, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả phép tính $198 \cdot 202$ . Ngay lập tức một bạn đã chỉ ra kết quả đúng. Bạn ấy tính như thế nào mà nhanh thế nhỉ?

1 hằng đẳng thức

Nhận biết hằng đẳng thức

Ta có $(a + 1) - b = a + b + b$ . Trong đẳng thức trên, khi thay $a, b, . .$ bởi bất kì giá trị số nào thì hai vế của đẳng thức luôn nhận giá trị bằng nhau, ta gọi đẳng thức như vậy là hằng đẳng thức. Tổng quát ta có Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.

Ví dụ 1

Các đẳng thức thường gặp $a + b = b + a$ ; $a \cdot b = b \cdot a$ ; $a (b + c) = a b + a c$ là những hằng đẳng thức.

Ví dụ 2

Đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức? a) $a (a - 2) = a^{2} - 2 a$ ; b) $a^{2} - 1 = 3 a$ .

Lời giải

Giải a) Đẳng thức $a (a – 2) = a^{2} – 2 a$ là hằng đẳng thức. b) Đẳng thức $a^{2} – 1 = 3 a$ không là hằng đẳng thức (vì khi ta thay $a = 1$ thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau).

Luyện tập 1

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức? a) $a (a + 2 b) = a^{2} + 2 a b$ ; b) $a + 1 = 3 a - 1$ .

2. Hiệu hai bình phương

HĐ1

Quan sát Hình 2.1.

Hình 2.1. Hình 2.1a: Một hình vuông lớn cạnh a, bên trong có một hình vuông nhỏ cạnh b. Phần còn lại là hình chữ L. Hình 2.1b: Một hình chữ nhật lớn có cạnh a và a-b, và một hình chữ nhật nhỏ có cạnh a-b và b. Tổng diện tích của hai hình chữ nhật này bằng diện tích hình chữ L trong hình 2.1a.

HĐ2

a) Tính diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1a. b) Tính diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1b. c) Có nhận xét gì về diện tích của hai hình ở câu a và câu b? Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính $(a + b) (a - b)$ . Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^{2} – b^{2}$ và $(a + b) (a - b)$ . Với A, B là hai biểu thức tuỳ ý, ta cũng có: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

Ví dụ 3

a) Tính nhanh $101^{2} – 99^{2}$ ; b) Viết $x^{2} - 4$ dưới dạng tích.

Lời giải

Giải a) $101^{2} - 99^{2} = (101 - 99) (101 + 99) = 2 \cdot 200 = 400$ . b) $x^{2} - 4 = x^{2} - 2^{2} = (x - 2) (x + 2)$ .

Luyện tập 2

a) Tính nhanh $99^{2} - 1$ ; b) Viết $x^{2} – 9$ dưới dạng tích.

Vận dụng

Ở bài toán mở đầu, em hãy giải thích xem bạn đó tính nhanh như thế nào.

3 bình phương của một tổng

HĐ3

Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính $(a + b) \cdot (a + b)$ . Từ đó rút ra liên hệ giữa $(a + b)^{2}$ và $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . Với A, B là hai biểu thức tuỳ ý, ta có: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .

Hình/bảng: Ta nói khai triển $(A + B)^2$ được biểu thức $A^2 + 2AB + B^2$.

Ví dụ 4

a) Tính nhanh $101^{2}$ ; b) Khai triển $(2 x + y)^{2}$ .

Lời giải

Giải a) $101^{2} = (100 + 1)^{2} = 100^{2} + 2 \cdot 100 + 1^{2}$ = $10000 + 200 + 1 = 10201$ . b) $(2 x + y)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot y + y^{2} = 4 x^{2} + 4 x y + y^{2}$ .

Ví dụ 5

Viết biểu thức $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$ dưới dạng bình phương của một tổng.

Lời giải

Giải $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 y + (2 y)^{2} = (x + 2 y)^{2}$ .

Luyện tập 3

1. Khai triển $(2 b + 1)^{2}$ . 2. Viết biểu thức $9 y^{2} + 6 y x + x^{2}$ dưới dạng bình phương của một tổng.

4. Bình phương của một hiệu

HĐ4

Với hai số a, b bất kì, viết $a - b = a + (- b)$ và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính $(a – b)^{2}$ . Với A, B là hai biểu thức tuỳ ý, ta có: $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ .

Hình/bảng: Ta có thể tìm được hằng đẳng thức bên bằng cách thực hiện phép nhân $(A - B) \cdot (A - B)$.

Ví dụ 6

a) Tính nhanh $99^{2}$ ; b) Khai triển $(x - \frac{3}{2})^{2}$ .

Lời giải

Giải a) $99^{2} = (100 - 1)^{2} = 100^{2} - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$ . b) $(x - \frac{3}{2})^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^{2} = x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$ .

Luyện tập 4

Khai triển $(3 x – 2 y)^{2}$ .

Vận dụng

Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8", người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính $1002^{2}$ . Chỉ vài giây sau, Nam đã tính ra kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.

Bài tập

2.1

Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức? a) $x + 2 = 3 x + 1$ ; b) $2 x (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x$ ; c) $(a + b) a = a^{2} + b a$ ; d) $a - 2 = 2 a + 1$ .

2.2

Thay ? bằng biểu thức thích hợp. a) $(x - 3 y) (x + 3 y) = x^{2} - ?$ b) $(2 x - y) (2 x + y) = 4 ? - y^{2}$ . c) $x^{2} + 8 x y + ? = (? + 4 y)^{2}$ ; d) $? - 12 x y + y^{2} = (2 x - ?)^{2}$ .

2.3

Tính nhanh: a) $54 \cdot 66$ ; b) $203^{2}$ .

2.4

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu: a) $x^{2} + 4 x + 4$ ; b) $16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$ .

2.5

Rút gọn các biểu thức sau: a) $(x - 3 y)^{2} - (x + 3 y)^{2}$ ; b) $(3 x + 4 y)^{2} + (4 x - 3 y)^{2}$ .

2.6

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có: $(n + 2)^{2} – n^{2}$ chia hết cho 4.

$(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}.

Ta có thể tìm được hằng đẳng thức bên bằng cách thực hiện phép nhân $(A - B) \cdot (A - B) .$

Vận dụng

Dạng bài: Giải thích cách tính nhanh

Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8", người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính 1 $002^{2}$ Chỉ vài giây sau, Nam đã tính ra kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.

$1002^{2} = (1000 + 2)^{2}$ bạn nhé!

2.1

Dạng bài: Nhận biết hằng đẳng thức

Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
a) $x + 2 = 3 x + 1;$
c) $(a + b) a = a^{2} + b a;$
b) $2 x (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x;$
d) $a - 2 = 2 a + 1$ .

2.2

Dạng bài: Điền vào chỗ trống

Thay ? bằng biểu thức thích hợp.
a) $(x - 3 y) (x + 3 y); = x^{2} - ?$
b) $(2 x - y) (2 x + y) = 4 ? - y^{2}$ .
c) $x^{2} + 8 x y + ? = (? + 4 y)^{2}$
d) $? - 12 x y + 9 y^{2} = (2 x - ?)^{2}$

2.3

Dạng bài: Tính nhanh

Tính nhanh:
a) 54-66;
b) $203^{2}$

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 29–33).