Bài 8. Tổng và hiệu hai lập phương

Yêu cầu cần đạt

Mô tả các hằng đẳng thức: tổng, hiệu hai lập phương.
Vận dụng hai hằng đẳng thức này để rút gọn biểu thức hay viết biểu thức dưới dạng tích.

Thuật ngữ: Tổng hai lập phương · Hiệu hai lập phương

Khái niệm, thuật ngữ

Tớ viết được đa thức $x^{6} + y^{6}$ dưới dạng tích đấy!

Tròn làm thế nào nhỉ?

1. Tổng hai lập phương

HĐ1

Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính $(a + b) \cdot (a^{2} - a b + b^{2})$ .
Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^{3} + b^{3}$ và $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ .
Với A, B là hai biểu thức tuỳ ý, ta có:

$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .

Ví dụ 1

Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) $x^{3} + 8;$
b) $8 x^{3} + y^{3}$ .

Lời giải

Giải
a) $x^{3} + 8 = x^{3} + 2^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) .$
b) $8 x^{3} + y^{3} = (2 x)^{3} + y^{3} = (2 x + y) (4 x^{2^{'}} - 2 x y + y^{2}) .$

Ví dụ 2

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - x^{3}$
b) $(3x+y)(9x^{2}-3xy+y^{2})-y^{3}-26x^{3}.

Lời giải

Giải
a) $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - x^{3} = x^{3} + 3^{3} - x^{3} = (x^{3} - x^{9}) + 27 = 27.$
b) $(3x+y)(9x^{2}-3xy+y^{2})-y^{3}-26x^{3}=(3x)^{3}+y^{3}-y^{3}-26x^{3}
$= (27 x^{3} - 26 x^{3}) + (y^{3} - y^{3}) = x^{3} .$

Luyện tập 1

Dạng bài: Viết dưới dạng tích, Rút gọn biểu thức

1. Viết $x^{3} + 27$ dưới dạng tích.
2. Rút gọn biểu thức $x^{3} + 8 y^{3} - (x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2})$ .

2. Hiệu hai lập phương

HD2

Với hai số bất kì, viết $a^{3} - b^{3} = a^{3} + (- b)^{3}$ và sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương để tính $a^{3} + (- b)^{3}$ .
Từ đó rút ra liên hệ giữa a³-b³ và (a b)(a²+ab+b²
Với A, B là hai biểu thức tuỳ ý, ta có:

$A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .

Ví dụ 3

Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) $x^{3} - 1$
b) $8 x^{3} - y^{3}$

Lời giải

Giải
a) $x^{3} - 1 = x^{3} - 1^{3} = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
b) $8 x^{3} - y^{3} = (2 x)^{3} - y^{3} = (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) .$

Ví dụ 4

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - x^{3};$
b) $(2x-y)(4x^{2}+2xy+y^{2})+y^{3}-7x^{3}

Lời giải

Giải
a) $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - x^{3} = x^{3} - 3^{3} - x^{3} = (x^{3} - x^{3}) - 27 = - 27.$
b) $(2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y^{3} - 7 x^{3} = (2 x)^{3} - y^{3} + y^{3} - 7 x^{3}$
$= (8 x^{3} - 7 x^{3}) + (y^{3} - y^{3}) = x^{3} .$

Luyện tập 2

Dạng bài: Viết dưới dạng tích, Rút gọn biểu thức

1. Viết đa thức $x^{3} - 8$ dưới dạng tích.
2. Rút gọn biểu thức $(3 x - 2 y) (9 x^{2} + 6 x y + 4 y^{2}) + 8 y^{3}$ .

Vận dụng

Dạng bài: Giải quyết vấn đề

Giải quyết tình huống mở đầu.

Chú ý

Các hằng đẳng thức vừa học được sử dụng thường xuyên trong các biến đổi đại số nên ta gọi chúng là các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B);$
$(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2};$
$(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2};$
$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3};$
$(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3};$
$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2});$
$A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2}) .$

Bài tập

2.12

Dạng bài: Viết dưới dạng tổng/hiệu hai lập phương

Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương:
a) $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16);$
b) $(4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) (2 x - y)$

2.13

Dạng bài: Điền vào chỗ trống

Thay ? bằng biểu thức thích hợp.
a) $x^{3} + 512 = (x + 8) (x^{2} - ? + 64);$
b) $27 x^{3} - 8 y^{3} = ? - 2 y) (? + 6 x y + 4 y^{2}) .$

2.14

Dạng bài: Viết dưới dạng tích

Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) $27 x^{3} + y^{3}$
b) $x^{3} - 8 y^{3}$

2.15

Dạng bài: Rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức sau:
$(x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2}) + (x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2}) .$

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $(2 x + y)^{2} + (x - 2 y)^{2}$ ;
b) $(x+y+z)^{2}-(x+y-z)^{2}

Lời giải

Giải
a) $(2 x + y)^{2} + (x - 2 y)^{2} = (4 x^{2} + 4 x y + y^{2}) + (x^{2} - 4 x y + 4 y^{2})$
$= (4 x^{2} + x^{2}) + (4 x y - 4 x y) + (y^{2} + 4 y^{2}) = 5 x^{2} + 5 y^{2}$ .
b) $(x + y + z)^{2} - (x + y - z)^{2} = [(x + y + z) - (x + y - z)] [(x + y + z) + (x + y - z)]$
$= (x + y + z - x - y + z) (x + y + z + x + y - z) = 2 z (2 x + 2 y) = 4 z (x + y) .$

Ví dụ 2

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $(2 x + y)^{3} + (2 x - y)^{3} + 12 x (2 x + y) (2 x - y);$
b) $(x + 3 y) (x^{2} - 3 x y + 9 y^{2}) + (3 x - y) (9 x^{2} + 3 x y + y^{2})$ .

Lời giải

Giải
a) $(2 x + y)^{3} + (2 x - y)^{3} + 12 x (2 x + y) (2 x - y)$
$= (2 x)^{3} + 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot y + 3 \cdot 2 x \cdot y^{2} + y^{3} + (2 x)^{3} - 3 \cdot (2 x)^{2} : y + 3 \cdot 2 x \cdot y^{2} - y^{3} + 12 x (4 x^{2} - y^{2})$
$= 16 x^{3} + 12 x y^{2} + 48 x^{3} - 12 x y^{2} = 64 x^{3}$
b) Ta có $(x + 3 y) (x^{2} - 3 x y + 9 y^{2}) = (x + 3 y) [x^{2} - x .3 y + (3 y)^{2}] = x^{3} + (3 y)^{3} = x^{3} + 27 y^{3};$
$(3 x - y) (9 x^{2} + 3 x y + y^{2}) = (3 x - y) [(3 x)^{2} + 3 x . y + y^{2}] = (3 x)^{3} - y^{3} = 27 x^{3} - y^{3} .$
Vậy
$(x + 3 y) (x^{2} - 3 x y + 9 y^{2}) + (3 x - y) (9 x^{2} + 3 x y + y^{2})$
$= x^{3} + 27 y^{3} + 27 x^{3} - y^{3} = 28 x^{3} + 26 y^{3}$ .

Ví dụ 3

Mẹ của Mai gửi vào ngân hàng 150 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất x mỗi năm (tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp). Biểu thức $S = 150 (1 + x)^{3}$ (triệu đồng) là số tiền mẹ của Mai nhận được sau 3 năm.
a) Tính số tiền mẹ của Mai nhận được sau 3 năm khi lãi suất là $x = 5 %$ .
b) Khai triển S thành đa thức theo x và xác định bậc của đa thức.

Lời giải

Giải
a) $S = 150 \cdot (1 + 5 %)^{3} = 150 \cdot 1, 05^{3} = 173, 64375$ (triệu đồng).
b) $S = 150 (1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3}) = 150 + 450 x + 450 x^{2} + 150 x^{3} .$
S là đa thức bậc 3 theo biến x.

Bài tập

2.16

Dạng bài: Tính nhanh giá trị của biểu thức

Tính nhanh giá trị của biểu thức
$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}$ tại $x = 99, 75$ .

2.17

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức, Nêu quy tắc, Tính nhẩm

Chứng minh đẳng thức $(10 a + 5)^{2} = 100 a (a + 1) + 25$ Từ đó em hãy nêu một quy tắc tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là .
Áp dụng: Tính $25^{2};$ $35^{2}$

2.18

Dạng bài: Tính nhanh giá trị của biểu thức

Tính nhanh giá trị của các biểu thức:
a) $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ tại $x = 99;$
b) $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ tại $x = 88$ và $y = - 12$ .

2.19

Dạng bài: Rút gọn biểu thức

Rút gọn các biểu thức:
a) $(x - 2)^{3} + (x + 2)^{3} - 6 x (x + 2) (x - 2);$
b) $(2 x - y)^{3} + (2 x + y)^{3}$ .

2.20

Dạng bài: Chứng minh, Tính giá trị biểu thức

Chứng minh rằng $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$
Áp dụng, tính $a^{3} + b^{3}$ biết $a + b = 4$ và $a b = 3$ .

2.21

Dạng bài: Tính số tiền, Khai triển đa thức, Xác định bậc

Bác Tùng gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất x mỗi năm (tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp). Biểu thức $S = 200 (1 + x)^{3}$ (triệu đồng) là số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm.
a) Tính số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm khi lãi suất là $x = 5, 5 %$
b) Khai triển S thành đa thức theo x và xác định bậc của đa thức.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 37–41).