Bài 11. Hình thang cân – Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Mô tả khái niệm hình thang, hình thang cân và các yếu tố của chúng.
Giải thích các tính chất về góc kề một đáy, cạnh bên và đường chéo của hình thang cân.
Nhận biết dấu hiệu để một hình thang là hình thang cân.

Thuật ngữ: Hình thang, hình thang cân · Đường cao của hình thang · Đường chéo của hình thang

Cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng một nhát cắt thẳng cắt cả hai cạnh đáy thì được hai hình thang. Lật một trong hai hình thang đó rồi ghép với hình thang còn lại dọc theo các cạnh bên của hình thang ban đầu (Hình 3.11). Hãy giải thích tại sao hình tạo thành cũng là một hình thang cân.

Hình/bảng: Figure 3.11 shows a trapezoid cut into two smaller trapezoids, then one is flipped and reattached to form a larger trapezoid.

1 hình thang. hình thang cân

Khái niệm hình thang và hình thang cân

Trong bài này, ta sẽ xét tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Trên Hình 3.12 là hình thang ABCD (AB // CD). Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên của hình thang. Đường vuông góc AH kẻ từ A đến CD gọi là một đường cao của hình thang ABCD.

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Trên Hình 3.13 là hình thang cân ABCD (AB // CD).
Hai góc A, B kề đáy nhỏ AB, $\hat{A} = \hat{B}$
Hai góc C, D kề đáy lớn CD, $\hat{C} = \hat{D}$

Trong hình thang, hai góc kề một đáy bằng nhau thì hai góc kề đáy kia cũng bằng nhau.

Ví dụ 1

Chứng minh rằng hai góc kề một cạnh bên của hình thang bù nhau.

Hình/bảng: Figure 3.14 shows a trapezoid ABCD with AB parallel to CD. Angle A is divided into A1 and another part. Angle D is shown.

Lời giải

Giải (H.3.14).
Vì ABCD là hình thang (AB // CD) nên $\hat{D} = \hat{A_{1}}$ (hai góc đồng vị).
Do $\hat{D A B} + {\hat{A}}_{1} = 180^{\circ}$ (hai góc kề bù) suy ra $\hat{D} + \hat{D A B} = 180^{\circ}$

Luyện tập 1

Tính các góc của hình thang cân ABCD $(A B / / C D)$ , biết $\hat{C} = 40^{\circ} (H .3.15)$ .

Hình/bảng: Figure 3.15 shows an isosceles trapezoid ABCD with AB parallel to CD and angle C = 40°.

2 tính chất của hình thang cân

Tính chất về cạnh bên của hình thang cân

HĐ1

Cho hình thang cân ABCD, AB // CD và $A B < C D$ (H.3.16).
a) Từ A và B kẻ $A H ⊥ D C$ , $B I ⊥ D C .$ $H \in C D$ $I \in C D$ Chứng minh rằng $A H = B I$ bằng cách chứng minh $Δ A H I = △ I B A .$
b) Chứng minh $Δ A H D = Δ B I C$ , từ đó suy ra $A D = B C .$

Hình/bảng: Figure 3.16 shows an isosceles trapezoid ABCD with AB parallel to CD. Perpendiculars AH and BI are drawn from A and B to CD respectively.

Định lí 1

Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Cụ thể, hình thang cân ABCD (H.3.17) có hai cạnh bên là AD và BC thì $A D = B C .$

Luyện tập 2

Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18.
Biết rằng $\hat{A} = \hat{B} = {\hat{D}}_{1}$ .
Chứng minh rằng $A D = B C .$

Hình/bảng: Figure 3.18 shows a quadrilateral ABCD with angle D divided into D1 and another part. Angle A, B, D1 are marked as equal.

Tính chất về đường chéo của hình thang cân

HĐ2

Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19). Hãy chứng minh $Δ A C D = Δ B D C$ Từ đó suy ra $A C = B D$ .

Hình/bảng: Figure 3.19 shows an isosceles trapezoid ABCD with diagonals AC and BD.

Định lí 2

Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Luyện tập 3

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (H.3.20).
a) Tứ giác DECB là hình gì?
b) Chứng minh $B E = C D$

Hình/bảng: Figure 3.20 shows an isosceles triangle ABC. A line d is drawn parallel to BC, intersecting AB at D and AC at E.

3. Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Định lí 2 cho ta biết nếu một hình thang là hình thang cân thì hai đường chéo của nó bằng nhau. Ngược lại, một hình thang có hai đường chéo bằng nhau có là hình thang cân không?

Người ta chứng minh được:

Định lí 3 là định lí đảo của Định lí 2. Giả thiết của định lí này là kết luận của định lí kia.

Định lí 3

Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Ví dụ 2

Cho hình thang ABCD $(A B / / C D)$ có $\hat{A C D} = \hat{B D C} .$ Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Hình/bảng: Figure 3.21 shows a trapezoid ABCD with AB parallel to CD. Diagonals AC and BD are drawn.

Lời giải

Giải (H.3.21)
GT Hình thang ABCD, AB // CD, $\hat{A C D} = \hat{B D C} .$
KL ABCD là hình thang cân.
Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.

Vì AB // CD nên $\hat{B A C} = \hat{A C D},$ $\hat{A B D} = \hat{B D C}$ (các cặp góc so le trong).
Mặt khác, $\hat{A C D} = \hat{B D C}$ . Suy ra $\hat{B A C} = \hat{A B D}$ .
Từ đó, tam giác ICD và tam giác IAB cùng cân tại I.
Vậy $I C = I D$ $I A = I B$ suy ra $A C = I A + I C = I B + I D = B D .$
Theo Định lí 3, hình thang ABCD là hình thang cân.

Thực hành (H.3.22)

a) Vẽ hình thang có hai đường chéo bằng nhau theo các bước sau:

Vẽ hai đường thẳng song song a, b. Trên a lấy hai điểm A, B.
Vẽ hai cung tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho cung tròn tâm A cắt b tại C; cung tròn tâm B cắt b tại D và hai đoạn thẳng AC, BD cắt nhau. Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau.

b) Hình thang ABCD có là hình thang cân không? Vì sao?

Hình/bảng: Figure 3.22 shows two parallel lines a and b. Points A, B are on line a. Points C, D are on line b. Diagonals AC and BD are drawn.

Vận dụng

Hãy giải bài toán mở đầu.

Bài tập

3.4

Hình thang trong Hình 3.23 có là hình thang cân không? Vì sao?

Hình/bảng: Figure 3.23 shows a quadrilateral ABCD with AB parallel to CD. Angle A=120° and Angle C=80°.

3.5

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu $E C = E D$ thì hình thang ABCD là hình thang cân.

3.6

Vẽ hình thang cân ABCD (AB // CD) biết đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm.

3.7

Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB // CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng $E C = E D$ .

3.8

Hình thang cân ABCD (AB // CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Luyện tập chung

Ví dụ

Chứng minh rằng hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau nhưng không song song là hình thang cân.

Hình/bảng: Figure 3.24 shows a trapezoid ABCD with AB parallel to CD. A line is drawn from B parallel to AD, intersecting CD at E. Angles A1, A2, E1, E2 are marked.

Lời giải

Giải
GT Hình thang ABCD; AB // CD; $A B < C D$ $A D = B C;$ AD không song song BC.
KL ABCD là hình thang cân.
Qua điểm B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AD, cắt đường thẳng CD tại điểm E. Điểm E phải khác C vì nếu E trùng với C thì AD và BC song song, trái với giả thiết (H.3.24).
Hai tam giác EDA và ABE có: $\hat{A_{1}} = \hat{E_{2}}$ (do AD // BE), AE là cạnh chung, $\hat{E_{1}} = \hat{A_{2}}$ (do AB // DC).
Vậy $Δ E D A = Δ A B E$ ; suy ra $A D = B E$ (hai cạnh tương ứng). Hơn nữa, theo giả thiết $A D = B C$ nên $B E = B C .$ Từ đó có $△ B E C$ cân tại B, suy ra $\hat{B E C} = \hat{C} .$ Mặt khác, $\hat{B E C} = \hat{D}$ (do AD // BE) nên $\hat{C} = \hat{D} .$
Vậy ABCD là hình thang cân.

Bài tập

3.9

Tứ giác ABCD trong Hình 3.25 có phải là hình thang không? Vì sao?

Hình/bảng: Figure 3.25 shows a quadrilateral ABCD with angle A=120° and angle D=60°.

3.10

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có $A B = A D$ . Biết $A B D = 30^{\circ}$ , tính số đo các góc của hình thang đó.

3.11

Tính số đo các góc của tứ giác ABCD trong Hình 3.26.

Hình/bảng: Figure 3.26 shows a quadrilateral ABCD with angle A=40°, angle D=120°.

3.12

Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.
a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân.
b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài $M A + M B + M C$ .
c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 52–56).