Bài 4. Phép nhân đa thức – Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức

Thuật ngữ: Tích hai đa thức

Khái niệm, thuật ngữ

Thực hiện phép tính nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức. • Biến đổi, thu gọn biểu thức đại số có sử dụng phép nhân đa thức.

Giả sử độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật được biểu thị bởi M = $x + 3 y + 2$ và N = $x + y$ . Khi đó, diện tích của hình chữ nhật được biểu thị bởi MN = $(x + 3 y + 2) (x + y)$ . Trong tình huống này, ta phải nhân hai đa thức M và N. Phép nhân đó được thực hiện như thế nào và kết quả có phải là một đa thức hay không? Bài học này sẽ cho các em câu trả lời cho các câu hỏi đó.

1 nhân đơn thức với đa thức

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức $8 x^{2} y z$ và $- \frac{1}{4} x y$ , ta làm như sau: $8 x^{2} y z \cdot (- \frac{1}{4} x y) = 8 \cdot (- \frac{1}{4}) (x^{2} y z) (x y) = (- 2) x^{3} y^{2} z = - 2 x^{3} y^{2} z$ . Qua ví dụ trên, ta có thể nói: Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ 1

Thực hiện phép nhân $- \frac{1}{3} x y^{3} \cdot (9 x^{2} y z)$ .

Lời giải

Giải $(- \frac{1}{3} x y^{3}) \cdot (9 x^{2} y z) = (- \frac{1}{3}) \cdot 9 \cdot (x y^{3}) (x^{2} y z) = - 3 x^{3} y^{4} z$ .

Luyện tập 1

Nhân hai đơn thức: a) $3 x^{2}$ và $2 x^{3}$ ; b) – $x y$ và $4 z^{3}$ ; c) $6 x y^{3}$ và – $0, 5 x^{2}$ .

Nhân đơn thức với đa thức

HĐ1

Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân $(5 x^{2}) \cdot (3 x^{2} - x - 4)$ .

HĐ2

Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân $(5 x^{2} y) \cdot (3 x^{2} y - x y - 4 y)$ . Ta rút ra quy tắc sau: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Hình/bảng: Tích của một đơn thức với một đa thức cũng là một đa thức.

Ví dụ 2

Thực hiện phép nhân: $(- 4 x y) \cdot (2 x^{2} + x y - y^{2})$ .

Lời giải

Giải. $(- 4 x y) \cdot (2 x^{2} + x y - y^{2}) = (- 4 x y) (2 x^{2}) + (- 4 x y) (x y) + (- 4 x y) (- y^{2})$ = $(- 4) \cdot 2 (x y) x^{2} - 4 (x y) (x y) + 4 (x y) y^{2}$ = $- 8 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3}$ .

Luyện tập 2

Làm tính nhân: a) $(x y) \cdot (x^{2} + x y - y^{2})$ ; b) $(x y + y z + z x) \cdot (- x y z)$ .

Vận dụng

Rút gọn biểu thức: $x^{3} (x + y) – x (x^{3} + y^{3})$ .

2 nhân đa thức với đa thức

Nhân hai đa thức

HĐ3

Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân: $(2 x + 3) (x^{2} - 5 x + 4)$ .

HĐ4

Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân $(2 x + 3 y) \cdot (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2})$ . Ta rút ra quy tắc nhân hai đa thức như sau: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Chú ý

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số như: A $\cdot$ B = B $\cdot$ A (giao hoán); (A $\cdot$ B) $\cdot$ C = A $\cdot$ (B $\cdot$ C) (kết hợp); A $\cdot$ (B+C) = A $\cdot$ B+ A $\cdot$ C (phân phối đối với phép cộng). • Nếu A, B, C là những đa thức tuỳ ý thì A $\cdot$ B $\cdot$ C = (A $\cdot$ B) $\cdot$ C = A $\cdot$ (B $\cdot$ C).

Ví dụ 3

Trở lại tình huống mở đầu, ta thực hiện phép nhân như sau: $(x + 3 y + 2) (x + y) = x^{2} + x y + 3 x y + 3 y^{2} + 2 x + 2 y$ = $x^{2} + 4 x y + 3 y^{2} + 2 x + 2 y$ . Ta thấy kết quả cũng là một đa thức.

Hình/bảng: Tích của hai đa thức cũng là một đa thức.

Ví dụ 4

Rút gọn biểu thức: $(x + y) (2 x - y) – (x - y) (2 x + y)$ .

Lời giải

Giải Biểu thức đã cho có dạng A – B, trong đó A = $(x + y) (2 x - y)$ và B = $(x - y) (2 x + y)$ . Ta rút gọn riêng từng biểu thức A và B: • A = $(x + y) (2 x - y) = 2 x^{2} - x y + 2 x y - y^{2} = 2 x^{2} + x y - y^{2}$ ; • B = $(x - y) (2 x + y) = 2 x^{2} + x y - 2 x y - y^{2} = 2 x^{2} - x y - y^{2}$ . Từ đó ta có: $(x + y) (2 x - y) (x - y) (2 x + y) = A - B$ = $(2 x^{2} + x y - y^{2}) - (2 x^{2} - x y - y^{2}) = 2 x^{2} + x y - y^{2} - 2 x^{2} + x y + y^{2} = 2 x y$ .

Luyện tập 3

Thực hiện phép nhân: a) $(2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2})$ ; b) $(x^{2} y^{2} - 3) (3 + x^{2} y^{2})$ .

Thử thách nhỏ

Xét biểu thức đại số với hai biến k và m sau: P = $(2 k - 3) (3 m - 2) - (3 k - 2) (2 m – 3)$ . a) Rút gọn biểu thức P. b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

Bài tập

1.24

Nhân hai đơn thức: a) $5 x^{2} y$ và $2 x y^{2}$ ; b) $\frac{3}{4} x y$ và $8 x^{3} y^{2}$ ; c) $1, 5 x y^{2} z^{3}$ và $2 x^{3} y^{2} z$ .

1.25

Tìm tích của đơn thức với đa thức: a) $(- 0, 5) x y^{2} (2 x y - x^{2} + 4 y)$ ; b) $(x^{2} y - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{2} x y) 6 x y^{3}$ .

1.26

Rút gọn biểu thức: $x (x^{2} – y) - x^{2} (x + y) + x y (x - 1)$ .

1.27

Làm tính nhân: a) $(x^{2} - x y + 1) (x y + 3)$ ; b) $(x^{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + 2) (x - 2 y)$ .

1.28

Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến: $(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + x + 7$ .

1.29

Chứng minh đẳng thức sau: $(2 x + y) (2 x^{2} + x y - y^{2}) = (2 x - y) (2 x^{2} + 3 x y + y^{2})$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 19–21).