Bài 14. Hình thoi và hình vuông

Yêu cầu cần đạt

Mô tả khái niệm hình thoi và hình vuông.
Giải thích các tính chất của hình thoi và hình vuông.
Nhận biết dấu hiệu để một hình là hình thoi, hình vuông.

Thuật ngữ: Hình thoi · Hình vuông

Khái niệm, thuật ngữ

Lấy một tờ giấy, gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai
cạnh góc vuông rồi cắt chéo theo đoạn thẳng AB (H.3.46a). Sau khi mở tờ giấy ra, ta
được một tứ giác. Tứ giác đó là hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận
được là hình gì (H.3.46b)?

Hình 3.46. Hai hình (a) và (b) minh họa cách tạo ra một tứ giác từ việc cắt giấy. Hình (a) là một tứ giác bất kỳ, hình (b) là một hình thoi.

1 hình thoi

Khái niệm hình thoi và tính chất của nó

Trong Hình 3.47, tứ giác ABCD có các cạnh AB, BC,
CD, DA bằng nhau, nó là một hình thoi.

Hình 3.47. Hình thoi ABCD với các cạnh AB, BC, CD, DA bằng nhau.

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Hình thoi có phải là hình bình hành không? Nếu có, từ tính chất đã biết của hình bình
hành, hãy suy ra những tính chất tương ứng của hình thoi.

Trong bài này, ta sẽ tìm hiểu thêm tính chất về đường chéo của hình thoi.

Tính chất về hai đường chéo của hình thoi

HĐ1

Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC,
BD cắt nhau tại O (H.3.48).
a) $△ A B D$ có cân tại A không?
b) AC có vuông góc với BD không và AC có là
đường phân giác của góc A không? Vì sao?
Định lí 1
Trong hình thoi:
a) Hai đường chéo vuông góc với nhau;
b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong hình thoi.

Hình 3.48. Hình thoi ABCD với hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Các góc được đánh số 1 và 2.

Ví dụ 1

Hai đường tròn tâm A và C có cùng bán kính,
cắt nhau tại B, D (H.3.49).
a) Hỏi tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh $A C ⊥ B D$ .

Lời giải

a) Vì hai đường tròn tâm A và C có cùng bán kính,
cắt nhau tại B, D nên $A B = A D = C D = C B .$
Vậy theo định nghĩa, tứ giác ABCD là hình thoi.
b) Từ câu a và theo Định lí 1 ta có $A C ⊥ B D .$

Hình 3.49. Hai đường tròn tâm A và C cắt nhau tại B và D, tạo thành tứ giác ABCD.

Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Ngoài nhận biết hình thoi bằng định nghĩa (tứ giác có bốn cạnh bằng nhau), ta còn có
thể nhận biết hình thoi bằng những dấu hiệu khác.
Định lí 2
a) Hình bình hành có hai cạnh kể bằng nhau là hình thoi.
b) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
c) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Hãy viết giả thiết, kết luận của câu c trong Định lí 2.

Ví dụ 2

Trong Hình 3.50, tứ giác nào là hình thoi? Vì sao?

Lời giải

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau: $\hat{A} = \hat{C}$ $\hat{B} = \hat{D} .$
Mặt khác, ta lại có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau.
Do đó, tứ giác ABCD là hình thoi.
b) Tứ giác MNPQ không phải là hình thoi vì hai cạnh kề MN và NP không bằng nhau.

Hình 3.50. Hai tứ giác (a) ABCD và (b) MNPQ. Tứ giác (a) có các góc đối bằng nhau và hai cạnh kề bằng nhau. Tứ giác (b) có các cạnh kề MN và NP không bằng nhau.

Luyện tập 1

Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?

Hình 3.51. Hai tứ giác (a) và (c) với các dấu hiệu về cạnh và đường chéo.

2 hình vuông

Thực hiện HĐ mở đầu theo Hình 3.46b, ta được một hình vuông.

Khái niệm hình vuông và tính chất của nó

Tứ giác ABCD trong Hình 3.52 có bốn góc vuông và
bốn cạnh bằng nhau, ta gọi tứ giác đó là một hình vuông.

Hình 3.52. Hình vuông ABCD với bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và
bốn cạnh bằng nhau.

Tính chất về đường chéo của hình vuông

HĐ2

Hãy giải thích tại sao hai đường chéo của
hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.
Định lí 3
Trong một hình vuông, hai đường chéo
bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau
tại trung điểm mỗi đường và là các đường
phân giác của các góc của hình vuông.

Hình vuông cũng là hình chữ nhật,
hình thoi nên nó có tất cả các tính
chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Ngoài nhận biết hình vuông bằng định nghĩa (tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh
bằng nhau), ta còn có thể nhận biết hình vuông bằng những dấu hiệu khác.
Định lí 4
a) Hình chữ nhật có hai cạnh kể bằng nhau là
hình vuông.
b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc
là hình vuông.
c) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường
phân giác của một góc là hình vuông.

Chú ý rằng

Hình thoi có một góc vuông
là hình vuông.
Hình thoi có hai đường chéo
bằng nhau là hình vuông.

Hãy viết giả thiết, kết luận của câu a trong Định lí 4.

Ví dụ 3

Tìm hình vuông trong Hình 3.53.

Lời giải

a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có ba góc vuông mà $A D = D C$ nên ABCD là
hình vuông.
b) Tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ không bằng nhau nên nó không phải
là hình chữ nhật. Do đó, tứ giác MNPQ không phải là hình vuông.

Hình 3.53. Hai tứ giác (a) ABCD và (b) MNPQ. Tứ giác (a) có ba góc vuông và AD=DC. Tứ giác (b) có hai đường chéo MP và NQ không bằng nhau.

Luyện tập 2

Với mỗi hình dưới đây, ta dùng dấu hiệu nhận biết nào để khẳng định đó là hình vuông?

Hình 3.54. Ba tứ giác (a), (b), (c) với các dấu hiệu về cạnh, góc và đường chéo. Hình (a) là hình thoi, hình (b) là hình vuông, hình (c) là hình thoi.

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu. Hãy giải thích tại sao:
Trường hợp a, ta được hình thoi.
Trường hợp b, ta được hình vuông.

Bài tập

3.29

Tìm các hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55.

Hình 3.55. Bốn tứ giác (a), (b), (c), (d) với các dấu hiệu về cạnh, góc và đường chéo.

3.30

Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng
song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF
là hình thoi?
c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?
d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để AEDF là
hình vuông?

3.31

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh
của một hình thoi.

3.32

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của
một hình chữ nhật.

3.33

Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Biết rằng $M A ⊥ M D$ Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD (H.3.56).

Hình 3.56. Hình chữ nhật ABCD với M là trung điểm của BC và MA vuông góc với MD.

Luyện tập chung

Ví dụ

Cho ba điểm A, B, D sao cho $A B = A D$ và AB vuông góc với AD. Vẽ hai đường tròn
cùng đi qua A, lần lượt có tâm là B và D. Hai đường tròn đó còn cắt nhau tại điểm C.
Chứng minh ABCD là một hình vuông.

Lời giải

Điểm C nằm trên đường tròn tâm B đi qua A nên $B C = B A$
Điểm C nằm trên đường tròn tâm D đi qua A nên $D C = D A$ .
Theo giả thiết $A B = A D$ nên tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng
nhau $D C = A D = A B = B C,$ vậy ABCD là hình thoi. Hình
thoi ABCD có góc A vuông nên là một hình vuông.

Hình 3.57. Hình vẽ hai đường tròn tâm B và D cắt nhau tại A và C, với AB vuông góc với AD.

3.34

Cho tam giác ABC; M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Lấy điểm P
sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MP.
a) Hỏi tứ giác AMCP là hình gì? Vì sao?
b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác
AMCP là hình chữ nhật; hình thoi; hình vuông?

3.35

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác
của các góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58.
Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Hình 3.58. Hình bình hành ABCD với các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH bên trong.

3.36

Một khung tre hình chữ nhật có lắp đinh vít tại bốn đỉnh. Khi khung tre này bị xô
lệch (do các đinh vít bị lỏng), các góc không còn vuông nữa thì khung đó là hình gì?
Tại sao? Hỏi khi nẹp thêm một đường chéo vào khung đó thì nó còn bị xô lệch không?

3.37

Gọi Ou và Ov lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù xOy và x'Oy; A là một
điểm khác O trên tia Ox. Gọi B và C là chân đường vuông góc hạ từ A lần lượt xuống
đường thẳng chứa Ou và Ov. Hỏi tứ giác OBAC là hình gì? Vì sao?

3.38

Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE
cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N.
Chứng minh $D M + B N = M N .$

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 67–73).