Bài 5. Phép chia đa thức cho đơn thức

Thuật ngữ: Đa thức A chia hết cho đa thức B

Khái niệm, thuật ngữ

Chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp chia hết). • Chia đa thức cho đơn thức (trường hợp chia hết).

Cho hai khối hộp chữ nhật: khối hộp thứ nhất có ba kích thước là $x$ , $2 x$ và $3 y$ ; khối hộp thứ hai có diện tích đáy là $2 x y$ . Tính chiều cao (cạnh bên) của khối hộp thứ hai, biết rằng hai khối hộp có cùng thể tích. Trong bài toán này, thể tích của khối hộp thứ nhất là V = $x \cdot 2 x \cdot 3 y = 6 x^{2} y$ . Vì hai khối hộp có cùng thể tích nên đó cũng là thể tích của khối hộp thứ hai. Do đó, để tính chiều cao của khối hộp thứ hai, ta cần chia $6 x^{2} y$ cho $2 x y$ . Học xong bài này các em không những sẽ thực hiện được phép chia đó mà hơn nữa, còn biết cách chia một đa thức cho một đơn thức.

1 chia đơn thức cho đơn thức

Cho hai đa thức A và B với B $\neq 0$ (tức là B khác đa thức 0). Tương tự đối với đa thức một biến, ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B nếu có đa thức Q sao cho A = B $\cdot$ Q. Khi đó ta viết A : B = Q, hoặc $\frac{A}{B} = Q$ . Dưới đây, ta chỉ xét phép chia hết cho một đơn thức.

Chia một đơn thức cho một đơn thức

HĐ1

Hãy nhớ lại cách chia đơn thức cho đơn thức trong trường hợp chúng có cùng một biến và hoàn thành các yêu cầu sau: a) Thực hiện phép chia $6 x^{3} : 3 x^{2}$ . b) Với $a, b \in R$ và $b \neq 0$ ; $m, n \in N$ , hãy cho biết: • Khi nào thì $a x^{m}$ chia hết cho $b x^{n}$ . • Nhắc lại cách thực hiện phép chia $a x^{m}$ cho $b x^{n}$ .

HĐ2

Với mỗi trường hợp sau, hãy đoán xem đơn thức A có chia hết cho đơn thức B không; nếu chia hết, hãy tìm thương của phép chia A cho B và giải thích cách làm: a) A = $6 x^{3} y$ , B = $3 x^{2} y$ ; b) A = $x^{2} y$ , B = $x y^{2}$ . Ta có kết luận sau đây: a) Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (B $\neq$ 0) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A. b) Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta làm như sau: • Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B; • Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B; • Nhân các kết quả tìm được với nhau.

Hình/bảng: Hãy lần lượt chia: hệ số cho hệ số, luỹ thừa của mỗi biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B.

Ví dụ 1

Cho đơn thức A = $5 x^{2} y z^{3}$ . a) Giải thích tại sao A không chia hết cho B = $x^{2} y^{2} z^{2}$ ; b) Giải thích tại sao A chia hết cho C = $- 2 x^{2} z^{2}$ . Tìm thương của phép chia A : C.

Lời giải

Giải a) Ta thấy số mũ của y trong B là 2, lớn hơn số mũ của y trong A (là 1). Do đó, A không chia hết cho B. b) A chia hết cho C vì số mũ của các biến x và z trong C cùng bằng 2, không lớn hơn số mũ của x (bằng 2) và z (bằng 3) trong A. Ta có: A : C = $5 x^{2} y z^{3} : (- 2 x^{2} z^{2}) = - \frac{5}{2} y z$ .

Luyện tập 1

Trong các phép chia sau đây, phép chia nào không là phép chia hết? Tại sao? Tìm thương của các phép chia còn lại: a) $- 15 x^{2} y^{2}$ chia cho $3 x^{2} y$ ; b) $6 x y$ chia cho $2 y z$ ; c) $4 x^{3} y^{2}$ chia cho $6 x y^{2}$ .

Vận dụng 1

Giải bài toán mở đầu.

2 chia đa thức cho đơn thức

Chia một đa thức cho một đơn thức

Dưới đây là quy tắc chia một đa thức cho một đơn thức trong trường hợp mọi hạng tử của đa thức đều chia hết cho đơn thức: • Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu mọi hạng tử của A đều chia hết cho B. • Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ 2

Thực hiện phép chia $(15 x^{2} y^{4} - 4 x^{3} y^{3} + 20 x^{2} y) : 5 x^{2} y$ .

Lời giải

Giải $(15 x^{2} y^{4} - 4 x^{3} y^{3} + 20 x^{2} y) : 5 x^{2} y = (15 x^{2} y^{4} : 5 x^{2} y) + (- 4 x^{3} y^{3} : 5 x^{2} y) + (20 x^{2} y : 5 x^{2} y)$ = $3 y^{3} - \frac{4}{5} x y^{2} + 4$ .

Luyện tập 2

Làm tính chia $(6 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{2} + 3 x^{2} y^{2}) : 2 x y^{2}$ .

Vận dụng 2

Tìm đa thức A sao cho A $\cdot$ $(- 3 x y) = 9 x^{3} y + 3 x y^{3} – 6 x^{2} y^{2}$ .

Bài tập

1.30

a) Tìm đơn thức M, biết rằng $\frac{7}{3} x^{3} y^{2} : M = 7 x y^{2}$ . b) Tìm đơn thức N sao cho N : $0, 5 x y^{2} z = - x y$ .

1.31

Cho đa thức A = $9 x y^{4} – 12 x^{2} y^{3} + 6 x^{3} y^{2}$ . Với mỗi trường hợp sau đây, xét xem A có chia hết cho đơn thức B hay không? Thực hiện phép chia trong trường hợp A chia hết cho B. a) B = $3 x^{2} y$ ; b) B = $- 3 x y^{2}$ .

1.32

Thực hiện phép chia $(7 y^{5} z^{2} - 14 y^{4} z^{3} + 2, 1 y^{3} z^{4}) : (- 7 y^{3} z^{2})$ .

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Rút gọn biểu thức T = $(5 x y – 4 y^{2}) (3 x^{2} + 4 x y) - 15 x y (x + y) (x - y)$ . Tìm đa thức D sao cho T: D = $x y^{2}$ .

Lời giải

Giải Ta có: T = $(5 x y - 4 y^{2}) (3 x^{2} + 4 x y) – 15 x y (x + y) (x - y)$ = $5 x y \cdot 3 x^{2} + 5 x y \cdot 4 x y + (- 4 y^{2}) \cdot 3 x^{2} + (- 4 y^{2}) \cdot 4 x y - 15 x y (x^{2} - x y + x y - y^{2})$ = $15 x^{3} y + 20 x^{2} y^{2} - 12 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} - 15 x y (x^{2} - y^{2})$ = $15 x^{3} y + 20 x^{2} y^{2} - 12 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} - 15 x^{3} y + 15 x y^{3}$ = $(15 x^{3} y - 15 x^{3} y) + (20 x^{2} y^{2} - 12 x^{2} y^{2}) - (16 x y^{3} - 15 x y^{3})$ = $8 x^{2} y^{2} - x y^{3}$ . Đẳng thức T: D = $x y^{2}$ cũng có nghĩa là T: $x y^{2}$ = D, suy ra D = $(8 x^{2} y^{2} - x y^{3}) : x y^{2} = 8 x - y$ .

Ví dụ 2

Cho đa thức A = $2 x^{2} y^{2} - 5 x y^{3}$ và đơn thức B = $3 x^{m} y^{2}$ (với $m \in N$ ). a) Tìm số nguyên dương m sao cho đa thức A chia hết cho đơn thức B. b) Với giá trị tìm được của m ở câu a, hãy thực hiện phép chia A : B.

Lời giải

Giải a) Để mọi hạng tử của đa thức A đều chia hết cho B, ta cần có: Số mũ của x trong B nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của x trong mọi hạng tử của A; tức là phải có $m \leq 2$ và $m \leq 1$ . Số nguyên dương m duy nhất thoả mãn điều này là $m = 1$ . b) Khi $m = 1$ , ta có B = $3 x y^{2}$ và phép chia A : B trở thành $(2 x^{2} y^{2} - 5 x y^{3}) : 3 x y^{2} = \frac{2}{3} x - \frac{5}{3} y$ .

Bài tập

1.33

Cho biểu thức P = $5 x (3 x^{2} y - 2 x y^{2} + 1) - 3 x y (5 x^{2} - 3 x y) + x^{2} y^{2}$ . a) Bằng cách thu gọn, chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức P chỉ phụ thuộc vào biến x mà không phụ thuộc vào biến y. b) Tìm giá trị của x sao cho P = 10.

1.34

Rút gọn biểu thức: $(3 x^{2} – 5 x y - 4 y^{2}) \cdot (2 x^{2} + y^{2}) + (2 x^{3} y - x^{3} y^{3} - x^{2} y^{4}) : (- \frac{1}{5} x y)$ .

1.35

Bà Khanh dự định mua x hộp sữa, mỗi hộp giá y đồng. Nhưng khi đến cửa hàng, bà Khanh thấy giá sữa đã giảm 1 500 đồng mỗi hộp nên quyết định mua thêm 3 hộp nữa. Tìm đa thức biểu thị số tiền bà Khanh phải trả cho tổng số hộp sữa đã mua.

1.36

a) Tìm đơn thức B nếu $4 x^{3} y^{2} : B = - 2 x y$ . b) Với đơn thức B tìm được ở câu a, hãy tìm đơn thức H để $(4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}) : B = - 2 x y + H$ .

1.37

a) Tìm đơn thức C nếu $5 x y^{2} \cdot C = 10 x^{3} y^{3}$ . b) Với đơn thức C tìm được ở câu a, hãy tìm đơn thức K sao cho $(K + 5 x y^{2}) \cdot C = 6 x^{4} y + 10 x^{3} y^{3}$ .

1.38

Chuyện rằng Rùa chạy đua với Thỏ. Thỏ chạy nhanh gấp 60 lần rùa, nhưng chỉ sau t phút chạy, Thỏ đã dừng lại mặc dù chưa đến đích. Do mải chơi, Thỏ không biết rằng Rùa vẫn cần mẫn chạy liên tục trong 90 phút và đến đích trước Thỏ. a) Gọi v (m/phút) là vận tốc chạy của Rùa. Hãy viết các đơn thức biểu thị quãng đường mà Thỏ và Rùa đã chạy. b) Hỏi Rùa đã chạy được quãng đường dài gấp bao nhiêu lần quãng đường Thỏ đã chạy?

KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 22–26).