Bài 2. Đa thức – Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức

Thuật ngữ: Đa thức · Hạng tử · Đa thức thu gọn · Bậc của đa thức

Khái niệm, thuật ngữ

Đa thức, đa thức thu gọn
Hạng tử (của đa thức)
Bậc (của đa thức)

Kiến thức, kĩ năng

Nhận biết các khái niệm: đa thức, hạng tử của đa thức, đa thức thu gọn và bậc của đa thức.
Thu gọn đa thức.
Tính giá trị của đa thức khi biết giá trị của các biến.

Biểu thức biểu thị diện tích của hình tạo bởi một tam giác vuông và hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông của nó (Hình 1.1) là $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x y .$ Đó là một ví dụ về đa thức (hai biến). Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu những khái niệm ban đầu về đa thức nhiều biến (gọi đơn giản là đa thức), trong đó đa thức một biến đã học chỉ là trường hợp riêng.

Hình 1.1. Hình 1.1: Một tam giác vuông với các cạnh góc vuông là x và y. Hai hình vuông được dựng trên các cạnh góc vuông.

1 khái niệm đa thức

Đa thức và các hạng tử của đa thức

HĐ1

Hãy nhớ lại, đa thức một biến là gì? Nêu một ví dụ về đa thức một biến.

HĐ2

Em hãy viết ra hai đơn thức tuỳ ý (không chứa biến, hoặc chứa từ một đến ba biến trong các biến x, y, z) rồi trao đổi với bạn ngồi cạnh để kiểm tra lại xem đã viết đúng chưa. Nếu chưa đúng, hãy cùng bạn sửa lại cho đúng.

HĐ3

Viết tổng của bốn đơn thức mà em và bạn ngồi cạnh đã viết.

Biểu thức em vừa viết cũng là một ví dụ về đa thức. Một cách tổng quát:

Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Chú ý

Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức.

Ví dụ 1

Hãy kể ra các hạng tử của đa thức $A = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + x y - 1.$

Lời giải

Giải Ta có thể viết A dưới dạng tổng của 6 đơn thức: $A = x^{3} + (- 3 x^{2} y) + 3 x y^{2} + (- y^{3}) + x y + (- 1) .$ Vậy đa thức A có 6 hạng tử là $x^{3}$ , $- 3 x^{2} y$ $3 x y^{2}$ $- y^{3}$ , xy và -1.

Luyện tập 1

Biểu thức nào dưới đây là đa thức? Hãy chỉ rõ các hạng tử của mỗi đa thức ấy. $3 x y^{2} - 1$ ; $x + \frac{1}{x};$ $\sqrt{2} x + \sqrt{3}$ y, x+xy+ y.

Để đơn giản, trong bài này ta chỉ kí hiệu các biến là x, y và z.

Vận dụng

Mỗi quyển vở giá x đồng. Mỗi cái bút giá y đồng. Viết biểu thức biểu thị số tiền phải trả để mua: a) 8 quyển vở và 7 cái bút. b) 3 xấp vở và 2 hộp bút, biết rằng mỗi xấp vở có 10 quyển, mỗi hộp bút có 12 chiếc. c) Mỗi biểu thức tìm được ở hai câu trên có phải là đa thức không?

2. Đa thức thu gọn

Đa thức thu gọn. Thu gọn một đa thức

1) Xét đa thức $B = 2 x^{2} - 3 x y + x^{2} - 3 y^{2} + 5 x y$ Trong đa thức B, ta thấy có hai hạng tử $2 x^{2}$ và $x^{2}$ là những đơn thức đồng dạng (còn gọi là những hạng tử đồng dạng). Tương tự, hai hạng tử -3xy và 5xy cũng đồng dạng với nhau. Trái lại, trong đa thức $A = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + x y - 1$ không có hai hạng tử nào đồng dạng. Ta nói A là một đa thức thu gọn.

Đa thức thu gọn là đa thức không có hai hạng tử nào đồng dạng.

2) Với các đa thức có những hạng tử đồng dạng, ta có thể thu gọn chúng. Chẳng hạn, ta thu gọn đa thức B như sau: $B = 2 x^{2} - 3 x y + x^{2} - 3 y^{2} + 5 x y$ $= (2 x^{2} + x^{2}) + (- 3 x y + 5 x y) - 3 y^{2}$ (Đổi chỗ và nhóm các hạng tử đồng dạng) $= 3 x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} + . . .$ (Cộng các hạng tử đồng dạng trong mỗi nhóm). Đa thức $3 x^{2} + 2 x y - 3 y^{2}$ nhận được gọi là dạng thu gọn của đa thức B.

Chú ý

Ta thường viết một đa thức dưới dạng thu gọn (nếu không có yêu cầu gì khác).

Đa thức nêu trong tình huống mở đầu có phải là đa thức thu gọn không?

Ví dụ 2

Thu gọn đa thức $M = x^{2} y - 5 x y + 7 x y^{2} + 3 x^{2} y + x y^{2} - 4 x y^{2} + 2.$

Lời giải

Giải Ta có: $M = (x^{2} y + 3 x^{2} y) + (7 x y^{2} + x y^{2} - 4 x y^{2}) - 5 x y + 2$ $= 4 x^{2} y + 4 x y^{2} - 5 x y + 2.$

Luyện tập 2

Cho đa thức $N = 5 y^{2} Z^{2} - 2 x y^{2} z + \frac{1}{3} x^{4} - 2 y^{2} z^{2} + \frac{2}{3} x^{4} + x y^{2} z .$ a) Thu gọn đa thức N. b) Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử (tức là bậc của từng đơn thức) trong dạng thu gọn của N.

Chú ý

Bậc của một đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. • Một số khác 0 tuỳ ý được coi là một đa thức bậc 0. • Số 0 cũng là một đa thức, gọi là đa thức không. Nó không có bậc xác định.

Một đa thức thu gọn có thể có nhiều hạng tử cùng có bậc cao nhất.

Ví dụ 3

Cho đa thức $P = 3 x^{4} + \frac{1}{3} x y z - 3 x^{4} - \frac{4}{3} x y z + 2 x^{2} y - 6 z .$ a) Tìm bậc của đa thức P. b) Tính giá trị của P khi $x = 1$ ; $y = 3$ ; $z = \frac{1}{3}$

Lời giải

Giải a) Trước hết, ta cần thu gọn P: $P = (3 x^{4} - 3 x^{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{4}{3}) x y z + 2 x^{2} y - 6 z = - x y z + 2 x^{2} y - 6 z .$ Trong kết quả, hai hạng tử –xyz và $2 x^{2} y$ cùng có bậc 3; còn hạng tử –6z có bậc 1. Vậy bậc của P là 3. b) Thay $x = 1$ ; $y = 3$ ; $z = \frac{1}{3}$ vào đa thức thu gọn của P, ta được $P = - x y z + 2 x^{2} y - 6 z = - 1 + 6 - 2 = 3.$

Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

Luyện tập 3

Với mỗi đa thức sau, thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của nó: a) $Q = 5 x^{2} - 7 x y + 2, 5 y^{2} + 2 x - 8, 3 y + 1$ b) $H = 4 x^{5} - \frac{1}{2} x^{3} y + \frac{3}{4} x^{2} y^{2} - 4 x^{5} + 2 y^{2} - 7.$

Tranh luận

Hãy viết một vài đa thức bậc hai thu gọn với hai biến (x và y) mà mỗi hạng tử của nó đều có hệ số bằng 1.

Bài tập

1.8.

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức? $- x^{2} + 3 x + 1$ : $r a c x \sqrt{5}$ 5x- $x - \frac{\sqrt{5}}{x}$ 2024; $3 x^{2} y^{2} - 5 x 3 y + 2, 4$ ; $r a c 1 x^{2} + x + 1$

1.9.

Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong đa thức sau: a) $x^{2} y - 3 x y + 5 x^{2} y^{2} + 0, 5 x - 4;$ b) $x \sqrt{2} - 2 x y^{3} + y^{3} - 7 x^{3} y .$

1.10.

Thu gọn đa thức: a) $5 x^{4} - 2 x^{3} y + 20 x y^{3} + 6 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2} + x y^{3} - y^{4}$ ; b) $0, 6 x^{3} + x^{2} z - 2, 7 x y^{2} + 0, 4 x^{3} + 1, 7 x y^{2}$ .

1.11.

Thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của mỗi đa thức sau: a) $x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} - x^{4} + 1$ ; b) $5 x^{2} y + 8 x y - 2 x^{2} - 5 x^{2} y + x^{2} .$

1.12.

Thu gọn rồi tính giá trị của đa thức: $M = \frac{1}{3} x^{2} y + x y^{2} - x y + \frac{1}{2} x y^{2} - 5 x y - \frac{1}{3} x^{2} y$ tại x = 0,5 và $y = 1$ .

1.13.

Cho đa thức $P = 8 x^{2} y^{2} z - 2 x y z + 5 y^{2} z - 5 x^{2} y^{2} z + x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2} z .$ a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức P; b) Tính giá trị của đa thức P tại $x = - 4 :$ $y = 2$ và $z = 1$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 12–15).