Bài 16. Đường trung bình của tam giác

Yêu cầu cần đạt

Mô tả định nghĩa đường trung bình của tam giác.
Giải thích tính chất đường trung bình của tam giác.

Thuật ngữ: Đường trung bình của tam giác

Khái niệm, thuật ngữ

Cho B và C là hai điểm cách nhau bởi một hồ
nước như Hình 4.12 với D, E lần lượt là trung
điểm của AB và AC. Biết $D E = 500 m$ , liệu
không cần đo trực tiếp, ta có thể tính được
khoảng cách giữa hai điểm B và C không?

Hình 4.12. Sơ đồ đo khoảng cách BC qua hồ nước. D và E là trung điểm của AB và AC. DE=500m.

1. Định nghĩa đường trung bình của tam giác

Nhận biết đường trung bình của tam giác

Hình 4.13 mô tả thước chữ A dùng để đo đạc trên mặt
đất. Thanh ngang đặt ở trung điểm của hai thanh bên.
Thanh ngang của thước chữ A trong Hình 4.13 là hình
ảnh đường trung bình của tam giác.

Hình 4.13. Thước chữ A với thanh ngang nối trung điểm hai cạnh bên, minh họa đường trung bình.

Tổng quát ta có định nghĩa sau:

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh của tam giác.

Em hãy chỉ ra các đường trung bình của $△ D E F$ và $△ I H K$ trong Hình 4.14.

Hình 4.14. Hai tam giác DEF và IHK. Tam giác DEF có M, N, P là trung điểm các cạnh. Tam giác IHK có H, A, K là các đỉnh, với các điểm trên cạnh.

Định nghĩa đường trung bình của tam giác

Nhận biết đường trung bình của tam giác

Hình 4.13 mô tả thước chữ A dùng để đo đạc trên mặt đất. Thanh ngang đặt ở trung điểm của hai thanh bên. Thanh ngang của thước chữ A trong Hình 4.13 là hình ảnh đường trung bình của tam giác.

HĐ1

Em hãy chỉ ra các đường trung bình của $△ D E F$ và $△ I H K$ trong Hình 4.14.

Tính chất đường trung bình của tam giác

Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15).

HĐ1

Sử dụng định lí Thalès đảo, chứng minh rằng DE // BC.

HĐ2

Gọi F là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác DEFB là hình bình hành. Từ đó suy ra $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Hình 4.15. Tam giác ABC với D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. F là trung điểm BC. DE, EF, FD là các đường trung bình.

Định lí 1

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

GT $△ A B C$ , AD = DB, AE = EC, D $\in$ AB, E $\in$ AC.
KL $D E / / B C; D E = \frac{1}{2} B C$ .

Chứng minh định lí

Gọi M là trung điểm của BC (H.4.16).
Tam giác ABC có $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{1}{2}$ , suy ra DE // BC (định lí Thalès đảo).
Tương tự, ta chứng minh được EM // AB.
Tứ giác DEMB có: DE // BM và EM // DB nên tứ giác DEMB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành), suy ra $D E = B M = \frac{1}{2} B C$ .
Vậy DE // BC và $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Hình 4.16. Tam giác ABC với D là trung điểm AB, E là trung điểm AC, M là trung điểm BC. Các đường DE, EM, DB được vẽ.

Chú ý.

Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Ví dụ

Dạng bài: Tính độ dài đoạn thẳng

Cho tam giác ABC với M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC và BC = 10 cm. Tính MN.

Hình 4.17. Tam giác ABC với M là trung điểm AB, N là trung điểm AC. Đoạn MN được vẽ.

Giải (H.4.17)

Tam giác ABC có M là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC. Do đó, MN là đường trung bình của $△ A B C$ . Suy ra $M N = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ (cm) (tính chất đường trung bình của tam giác). Vậy MN = 5 cm.

Luyện tập

Dạng bài: Nhận dạng hình học

Cho tam giác ABC cân tại A, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tứ giác DECB là hình gì? Tại sao?

Vận dụng

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Bài tập

4.6.

Dạng bài: Tính độ dài đoạn thẳng

Tính các độ dài x, y trong Hình 4.18.

Hình/bảng: Hình 4.18a: Tam giác DFE với H trên DF, K trên DE. HK // FE. DH=3, HF=x, DK=3, KE=3. Hình 4.18b: Tam giác BNC với M trên BN, A trên BC. MA // NC. BM=3, MN=y, BA=5, AC=3.

4.7.

Dạng bài: Chứng minh hình học

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.
b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?

4.8.

Dạng bài: Chứng minh hình học

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Lấy hai điểm D và E trên cạnh AB sao cho AD = DE = EB và D nằm giữa hai điểm A, E.
a) Chứng minh DC // EM.
b) DC cắt AM tại I. Chứng minh I là trung điểm của AM.

4.9.

Dạng bài: Chứng minh hình học

Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng tứ giác AHOK là hình chữ nhật.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 81–83).