Luyện tập chung – Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Ví dụ 1

Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R) cắt nhau tại A và B. Gọi M là điểm đối xứng với A qua O, N là điểm đối xứng với A qua O'.
a) Chứng minh rằng $M \in (O)$ , $N \in (O^{'})$ và ba điểm M, B, N thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn đường kính AB.

Hình/bảng: Hình 5.38: Hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Các điểm M, N, O, O' được đánh dấu.

Lời giải

Giải (H.5.38, học sinh tự ghi giả thiết, kết luận)
a) Do tính đối xứng của (O) nên từ $A \in (O)$ suy ra $M \in (O)$ (vì M đối xứng với A qua O).
Tam giác ABM có BO là đường trung tuyến và $B O = \frac{1}{2} A M$ (bán kính bằng nửa đường kính) nên là tam giác vuông tại B. Vậy $\hat{A B M} = 90^{\circ}$ .
Tương tự, ta cũng có $N \in (O^{'})$ và $\hat{A B N} = 90^{\circ}$ . Từ hai kết quả trên suy ra $\hat{M B N} = \hat{A B M} + \hat{A B N} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ .
Điều đó chứng tỏ ba điểm M, B, N thẳng hàng.
b) Kết quả câu a còn cho thấy $M N ⊥ A B$ , tức là MN vuông góc với bán kính của đường tròn đường kính AB tại B. Do đó, MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Hình 5.38. Hai đường tròn tâm O và O' cắt nhau tại A và B. M là điểm đối xứng của A qua O, N là điểm đối xứng của A qua O'.

Ví dụ 2

Cho hai đường tròn ngoài nhau (O; R) và (O'; R') với giả thiết $R > R^{'}$ . Một đường thẳng d tiếp xúc với (O; R) tại A và tiếp xúc với (O'; R') tại B sao cho O và O' nằm cùng phía đối với d. Giả sử d cắt đường thẳng OO' tại điểm P (Hình 5.39).
a) Chứng minh rằng $\frac{P O}{P O^{'}} = \frac{R}{R^{'}}$
b) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua OO. Chứng minh rằng đường thẳng PA' tiếp xúc với (O) và với (O').

Giải (H.5.39, học sinh tự ghi giả thiết, kết luận)

a) Do d tiếp xúc với (O) tại A, tiếp xúc với (O') tại B nên $O A ⊥ d$ và $O^{'} B ⊥ d$ . Do đó, trong tam giác POA ta có $O^{'} B ∥ O A$ , suy ra $△ P O A \sim △ P O B$ . Từ đó, ta có $\frac{P O}{P O^{'}} = \frac{O A}{O^{'} B} = \frac{R}{R^{'}}$ .
b) Do A' đối xứng với A qua OO' và $A \in (O)$ nên $A^{'} \in (O)$ và $O O^{'} ⊥ A A^{'}$ , tức là $O P ⊥ A A^{'}$ .
Tam giác OAA' là tam giác cân (do $O A = O A^{'}$ ) có $O P ⊥ A A^{'}$ nên OP là tia phân giác của góc AOA', suy ra $\hat{A O P} = \hat{A^{'} O P}$ .
Hai tam giác AOP và A'OP có: $O A = O A^{'}$ (bán kính đường tròn (O)); OP chung và $\hat{A O P} = \hat{A^{'} O P}$ . Vậy $△ A O P = △ A^{'} O P$ (c.g.c), suy ra $\hat{P A^{'} O} = \hat{P A O}$ mà $\hat{P A O} = 90^{\circ}$ (do PA tiếp xúc với (O)) nên $\hat{P A^{'} O} = 90^{\circ}$ .
Vậy PA' vuông góc với bán kính OA' của (O) tại A'. Điều đó chứng tỏ PA' tiếp xúc với (O) tại A'.
Đối với đường tròn (O'), gọi B' là chân đường vuông góc hạ từ O' xuống PA'. Để khẳng định rằng PA' cũng tiếp xúc với (O') tại B', ta chỉ cần chứng minh $B^{'} \in (O^{'})$ .
Thật vậy, O'B' và OA' cùng vuông góc với PA' nên $O^{'} B^{'} ∥ O A^{'}$ , suy ra $△ P O A^{'} \sim △ P O^{'} B^{'}$ . Do đó $\frac{O A^{'}}{O^{'} B^{'}} = \frac{P O}{P O^{'}}$ .
Mà theo câu a ta có $\frac{P O}{P O^{'}} = \frac{R}{R^{'}}$ nên $\frac{O A^{'}}{O^{'} B^{'}} = \frac{R}{R^{'}}$ , hay $\frac{R}{O^{'} B^{'}} = \frac{R}{R^{'}}$ .
Điều này chứng tỏ $O^{'} B^{'} = R^{'}$ , nghĩa là $B^{'} \in (O^{'})$ .
Vậy PA' tiếp xúc với (O) tại A' và tiếp xúc với (O') tại B'.

Hình 5.39. Hai đường tròn tâm O và O' với đường thẳng d tiếp xúc tại A và B. Điểm P là giao điểm của d và OO'. Điểm A' đối xứng với A qua OO'. Các điểm B', d' cũng được đánh dấu.

Bài tập

5.28.

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, điểm O nằm trong phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng đó. Biết rằng khoảng cách từ O đến a và b lần lượt bằng 2 cm và 3 cm.
a) Hỏi bán kính R của đường tròn (O; R) phải thoả mãn điều kiện gì để (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b?
b) Biết rằng đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (O; R) và đường thẳng b.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 108–109).