Bài 3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Muốn tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay (MTCT), chúng ta cần sử dụng loại máy có chức năng này (thường có phím MODE). Trước hết ta phải viết hệ phương trình cần tìm nghiệm dưới dạng: $$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$$ Chẳng hạn để tìm nghiệm của hệ $$\{\begin{array}{l}2x+3y-4=0\\ 5x+6y-7=0\end{array}$$, ta viết nó dưới dạng $$\{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ 5x+6y=7\end{array}$$ Khi đó, ta có $a_1=2,b_1=3,c_1=4;a_2=5,b_2=6$ và $c_2=7$. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn các phím $\boxed{{\displaystyle \text{MODE}}}\boxed{{\displaystyle 5}}\boxed{{\displaystyle 1}}$ (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí $a_1$). Bước 2. Nhập các số $a_1=2,b_1=3,c_1=4;a_2=5,b_2=6$ và $c_2=7$ bằng cách nhấn: $\boxed{{\displaystyle 2}}\boxed{{\displaystyle =}}\boxed{{\displaystyle 3}}\boxed{{\displaystyle =}}\boxed{{\displaystyle 4}}\boxed{{\displaystyle =}}\boxed{{\displaystyle 5}}\boxed{{\displaystyle =}}\boxed{{\displaystyle 6}}\boxed{{\displaystyle =}}\boxed{{\displaystyle 7}}\boxed{{\displaystyle =}}$ (xem màn hình sau bước 2). Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, nhấn $\boxed{{\displaystyle =}}$, màn hình cho $x=-1$; nhấn tiếp phím $\boxed{{\displaystyle =}}$, màn hình cho $y=2$ (xem màn hình sau bước 3). Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là $(-1;2)$.

Ta đã biết một phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm; mỗi nghiệm là một cặp số $(x_0;y_0)$; mỗi cặp số lại có thể xem là toạ độ của một điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Vậy trên mặt phẳng toạ độ, các điểm mà toạ độ của chúng là các nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn có quan hệ với nhau như thế nào?

Người ta đã chứng minh được rằng: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=c$ tạo nên một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng $ax+by=c$. Nếu kí hiệu đường thẳng đó là $\mathrm{\Delta }$ thì ta viết $\mathrm{\Delta }:ax+by=c$. • Khi $a\mathrm{\ne }0$ và $b\mathrm{\ne }0$, đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ trùng với đồ thị hàm số $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$. • Khi $a=0$ và $b\mathrm{\ne }0$, phương trình $ax+by=c$ có thể đưa về dạng $y=m$ (với $m=\frac{c}{b}$); $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm $(0;m)$. • Khi $a\mathrm{\ne }0$ và $b=0$, phương trình $ax+by=c$ có thể đưa về dạng $x=n$ (với $n=\frac{c}{a}$); $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm $(n;0)$. Dưới đây là một số ví dụ (Hình 1.3a, b, c):

Ta đã biết, mỗi nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $$\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\mathrm{\prime }}x+b^{\mathrm{\prime }}y=c^{\mathrm{\prime }}\end{array}$$ (*) là một nghiệm chung của hai phương trình trong (*). Nghiệm chung ấy tương ứng với điểm chung của hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }:ax+by=c$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}:a^{\mathrm{\prime }}x+b^{\mathrm{\prime }}y=c^{\mathrm{\prime }}$, tức là giao điểm của $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$. Do đó ta có thể giải hệ (*) bằng cách vẽ hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$ rồi tìm toạ độ điểm chung của chúng. Từ đó, ta thấy chỉ có thể xảy ra 3 trường hợp: 1) $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$ cắt nhau (có một điểm chung). Hệ (*) có một nghiệm duy nhất. 2) $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$ song song với nhau (không có điểm chung). Hệ (*) vô nghiệm. 3) $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$ trùng nhau (mỗi điểm của $\mathrm{\Delta }$ đều là điểm chung). Hệ (*) có vô số nghiệm.

$\overline{)\begin{array}{lccccc}\text{Điểm s}\acute{\stackrel{ˆ}{\text{o}}}\text{ của m}\widetilde{\hat{\text{o}}}\text{i l}\grave{\stackrel{ˆ}{\text{a}}}\text{n b}\acute{\stackrel{˘}{\text{a}}}\text{n}& 10& 9& 8& 7& 6\\ \text{S}\acute{\stackrel{ˆ}{\text{o}}}\text{ l}\grave{\stackrel{ˆ}{\text{a}}}\text{n b}\acute{\stackrel{˘}{\text{a}}}\text{n}& 25& 42& ?& 15& ?\end{array}}$

Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai ô đó.

Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm${}^3$ là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng 1 cm${}^3$ đồng nặng 8,9 g và 1 cm${}^3$ kẽm nặng 7 g.

Xét bài toán ở Tình huống mở đầu. Gọi $x$ là số gam đồng, $y$ là số gam kẽm cần tính.