Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Giải\na) Ta có $45=3^2\cdot 1$ nên $\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}=3\sqrt{5};$\nb) Ta có $243=3\cdot 9^2$ nên $\sqrt{243a}=\sqrt{9^2\cdot 3a}=9\sqrt{3a}\mathrm{.}$

Giải\nNhân cả từ và mẫu của biểu thức lấy căn với 7 và đưa thừa số ra ngoài dấu cân, ta được\n$\sqrt{\frac{4}{7}}=\sqrt{\frac{4\cdot 7}{7^2}}=\sqrt{(\frac{2}{7}{)}^2\cdot 7}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\mathrm{.}$

Giải\na) $5\sqrt{2}=\sqrt{5^2\cdot 2}=\sqrt{50};$\nb) $-2\sqrt{a}=-\sqrt{2^2\cdot a}=-\sqrt{4a}$

Giải\nTa có $3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}$ $2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{12}\mathrm{.}$\nVì $\sqrt{12}<\sqrt{18}$ nên $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$

Giải\na) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{5}$, ta được:\n$\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3{(\sqrt{5})}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3\cdot 5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}\mathrm{.}$\nb) Biểu thức liên hợp của mẫu là $3+2\sqrt{2}$. Nhân cả từ và mẫu của biểu thức đã cho với $3+2\sqrt{2}$ ta được:\n$\frac{a}{3-2\sqrt{2}}=\frac{a(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\frac{a(3+2\sqrt{2})}{3^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=\frac{a(3+2\sqrt{2})}{9-8}=(3+2\sqrt{2})a\mathrm{.}$

Giải\nĐưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta có: $\sqrt{75}=\sqrt{3\cdot 5^2}=5\sqrt{3}$\n$\sqrt{{(1-\sqrt{3})}^2}=\mathrm{\mid }1-\sqrt{3}\mathrm{\mid }=\sqrt{3}-1$.\nDo đó $A=2\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=-2\sqrt{3}\mathrm{.}$

Giải\na) Ta có\n$\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{(x^2-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{(x-1)(x+1)(\sqrt{x}+1)}{x-1}=(x+1)(\sqrt{x}+1)=x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}+1;$\n\frac{x^{2}-x}{\sqrt{x}+1}=\frac{(x^{2}-x)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\frac{x(x-1)(\sqrt{x}-1)}{x-1}=x(\sqrt{x}-1)=x\sqrt{x}-x.\n\text{b) Sử dụng kết quả câu a ta có } P=(x\sqrt{x}+\sqrt{x}+x+1)-(x\sqrt{x}-x)=2x+\sqrt{x}+1.