Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất

Yêu cầu cần đạt

Nhắc lại thứ tự trên tập số thực (các kí hiệu $>, \geq, <, \leq$ ).
Nhận biết bất đẳng thức
Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức.
Tính chất của bất đẳng thức liên quan đến phép cộng.
Tính chất của bất đẳng thức liên quan đến phép nhân.

Thuật ngữ: Bất đẳng thức · Hai bất đẳng thức cùng chiều · Hai bất đẳng thức ngược chiều · Tính chất bắc cầu · vế trái · vế phải

Khái niệm, thuật ngữ

Bất đẳng thức • Hai bất đẳng thức cùng chiều (ngược chiều) • Tính chất bắc cầu

Nhắc lại thứ tự trên tập số thực (các kí hiệu >, ≥, <, ≤). • Nhận biết bất đẳng thức. • Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức. • Tính chất của bất đẳng thức liên quan đến phép cộng. • Tính chất của bất đẳng thức liên quan đến phép nhân.

Khi đi đường, chúng ta có thể thấy các biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe cơ giới được phép đi. Em có biết ý nghĩa của biển báo giao thông ở Hình 2.4 (biển báo giới hạn tốc độ tối đa cho phép theo xe, trên từng làn đường) không?

Hình 2.4. Three road signs showing speed limits: 60, 50, 50. Text 'Biển báo giao thông P.127c'.

1 bất đẳng thức

Nhắc lại thứ tự trên tập số thực

Trên tập số thực, với hai số $a$ và $b$ có ba trường hợp sau: a) Số $a$ bằng số $b$ , kí hiệu $a = b$ ; b) Số $a$ lớn hơn số $b$ , kí hiệu $a > b$ ; c) Số $a$ nhỏ hơn số $b$ , kí hiệu $a < b$ .

Thay $?$ trong các biểu thức sau bằng dấu thích hợp (=, >, <). a) $- 34, 2 ? - 27$ ; b) $\frac{6}{- 8} ? \frac{3}{4}$ ; c) $2024 ? 1954$ .

Khi biểu diễn số thực trên trục số, điểm biểu diễn số bé hơn nằm trước điểm biểu diễn số lớn hơn. Chẳng hạn, $- 2, 5 < - 1 < 1 < 1, 5$ .

Number line showing points -2.5, -1, 0, 1, 1.5.

Số $a$ lớn hơn hoặc bằng số $b$ , tức là $a > b$ hoặc $a = b$ , kí hiệu là $a \geq b$ . Số $a$ nhỏ hơn hoặc bằng số $b$ , tức là $a < b$ hoặc $a = b$ , kí hiệu là $a \leq b$ .

Luyện tập 1

Biển báo giao thông R.306 (H.2.5) báo tốc độ tối thiểu cho các xe cơ giới. Biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển trong điều kiện giao thông thuận lợi và an toàn. Nếu một ô tô đi trên đường đó với tốc độ $a$ (km/h) thì $a$ phải thoả mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau? A. $a < 60$ . B. $a > 60$ . C. $a \geq 60$ . D. $a \leq 60$ .

Hình 2.5. Road sign showing speed limit 60. Text 'Biển báo giao thông R.306'.

Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng $a > b$ (hay $a < b, a \geq b, a \leq b$ ) là bất đẳng thức và gọi $a$ là vế trái, $b$ là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý

Hai bất đẳng thức $1 < 2$ và $3 < - 2$ (hay $6 > 3$ và $8 > 5$ ) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Hai bất đẳng thức $1 < 2$ và $- 2 > - 3$ (hay $6 > 3$ và $5 < 8$ ) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Ví dụ 1

Xác định vế trái và vế phải của các bất đẳng thức sau: a) $- 2 > - 7$ ; b) $a^{2} + 1 > 0$ .

Lời giải

a) Vế trái là $- 2$ , vế phải là $- 7$ . b) Vế trái là $a^{2} + 1$ , vế phải là $0$ .

Ví dụ 2

Viết bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau: a) Tuần tới, nhiệt độ $t$ ( $^{\circ}$ C) tại Tokyo là trên $- 5^{\circ}$ C. b) Nhiệt độ $t$ ( $^{\circ}$ C) bảo quản của một loại sữa là dưới $4^{\circ}$ C. c) Để được điều khiển xe máy điện thì số tuổi $x$ của một người phải ít nhất là 16 tuổi.

Lời giải

a) $t > - 5$ ; b) $t < 4$ ; c) $x \geq 16$ .

Nhắc lại thứ tự trên tập số thực

Thay ?

Thay ? trong các biểu thức sau bằng dấu thích hợp $(=, >, <)$ . a) $- 34, 2 ? 2 - 27$ ; b) $\frac{6}{- 8} ? - \frac{3}{4}$ ; c) $2024 ? 21954$ .

Hình 2.5. Biển báo giao thông R.306. Biển báo tốc độ tối thiểu 60.

Bất đẳng thức có tính chất quan trọng sau: Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$ (tính chất bắc cầu của bất đẳng thức).

Trục số với các điểm a, b, c theo thứ tự tăng dần.

Chú ý

Tương tự, các thứ tự lớn hơn $(>)$ , lớn hơn hoặc bằng $(\geq)$ , nhỏ hơn hoặc bằng $(\leq)$ cũng có tính chất bắc cầu.

Ví dụ 3

Chứng minh $\frac{2024}{2023} > \frac{2021}{2022} .$

Lời giải

Giải Ta có $\frac{2024}{2023} = 1 + \frac{1}{2023} > 1$ và $\frac{2021}{2022} = 1 - \frac{1}{2022} < 1$ nên $\frac{2024}{2023} > \frac{2021}{2022} .$

Luyện tập 2

Chứng minh rằng: a) $\frac{2024}{1000} > 1, 9;$ b) $- \frac{2022}{2023} > - 1, 1.$

Vận dụng 1

Viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép trong tình huống mở đầu. a) Ô tô ở làn giữa; b) Xe máy ở làn bên phải.

Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Xét bất đẳng thức $- 1 < 2$ . (1) a) Cộng 2 vào hai vế của bất đẳng thức (1) rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào? b) Cộng –2 vào hai vế của bất đẳng thức (1) rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào? c) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức (1) với cùng một số c thì ta sẽ được bất đẳng thức nào?

Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Với ba số a, b, c, ta có: Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ Nếu $a \leq b$ thì $a + c \leq b + c$ Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$ Nếu $a \geq b$ thì $a + c \geq b + c .$

Ví dụ 4

Không thực hiện phép tính, hãy so sánh $2023 + (- 19)$ và $2024 + (- 19)$ .

Lời giải

Giải. Vì $2023 < 2024$ nên $2023 + (- 19) < 2024 + (- 19)$ – cộng vào hai vế với cùng một số –19.

Luyện tập 3

Không thực hiện phép tính, hãy so sánh: a) $19 + 2023$ và $- 31 + 2023$ b) $\sqrt{2} + 2$ và 4.

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân Cho bất đẳng thức $- 2 < 5$ . a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với 7 rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào? b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với -7 rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và $c > 0$ , ta có: Nếu $a < b$ thì $a c < b c$ Nếu $a \leq b$ thì $a c \leq b c;$ Nếu $a > b$ thì $a c > b c;$ Nếu $a \geq b$ thì $a c \geq b c .$ Với ba số a, b, c và $c < 0$ , ta có: Nếu $a < b$ thì $a c > b c$ Nếu $a \leq b$ thì $a c \geq b c$ Nếu $a > b$ thì $a c < b c$ ; Nếu $a \geq b$ thì $a c \leq b c$ .

Biểu tượng toán học.

Ví dụ 5

Thay ? trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp $(<, >)$ để được khẳng định đúng. a) $3 \cdot (- 7)$ ? $3 \cdot (- 5)$ b) $(- 3) \cdot (- 7)$ ? $(- 3) \cdot (- 5)$ .

Lời giải

Giải a) Vì $- 7 < - 5$ và $3 > 0$ nên $3 \cdot (- 7) < 3 \cdot (- 5)$ . – nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số dương. b) Vì $- 7 < - 5$ và $- 3 < 0$ nên $(- 3) \cdot (- 7) > (- 3) \cdot (- 5)$ . – nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số âm.

Luyện tập 4

Thay ? trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (<, >) để được khẳng định đúng. a) $13 \cdot (- 10, 5)$ ? $13 \cdot (- 11, 2)$ ; b) $(- 13) \cdot (- 10, 5)$ ? $(- 13) \cdot (- 11, 2)$ .

Vận dụng 2

Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong 1 ngày (từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau). Cho biết số tiền tài trợ dự kiến là 30 triệu đồng và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là 17 triệu đồng 1 ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là 60 000 đồng và mỗi suất ăn sáng là 30 000 đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?

Bài tập

2.6

Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng với mỗi trường hợp sau: a) x nhỏ hơn hoặc bằng –2; b) m là số âm; c) y là số dương; d) p lớn hơn hoặc bằng 2 024.

2.7

Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau: a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô; b) Xe buýt chở được tối đa 45 người, c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20 000 đồng.

2.8

Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh: a) $2 \cdot (- 7) + 2023 < 2 \cdot (- 1) + 2023;$ b) $(- 3) \cdot (- 8) + 1975 > (- 3) \cdot (- 7) + 1975.$

2.9

Cho $a < b$ hãy so sánh: a) $5 a + 7$ và $5 b + 7$ ; b) $- 3 a - 9$ và $- 3 b - 9$ .

2.10

So sánh hai số a và b, nếu: a) $a + 1954 < b + 1954;$ b) $- 2 a > - 2 b$ .

2.11

Chứng minh rằng: a) $- \frac{2023}{2024} > - \frac{2024}{2023};$ b) $\frac{34}{11} > \frac{26}{9} .$

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Giải phương trình $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x^{2} + x + 1} = \frac{x^{2} + x}{x^{3} - 1} .$ (1)

Lời giải

Giải ĐKXĐ: $x \neq 1$ Quy đồng mẫu hai vế của phương trình: $\frac{(x^{2} + x + 1) + 2 (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{x^{2} + x}{x^{3} - 1}$ $\frac{x^{2} + 3 x - 1}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2} + x}{x^{3} - 1},$ Suy ra $x^{2} + 3 x - 1 = x^{2} + x$ hay $2 x - 1 = 0$ . Giải phương trình: $2 x - 1 = 0$ $2 x = 1$ $x = \frac{1}{2}$ (thoả mãn ĐKXĐ). Vậy phương trình (1) có nghiệm là $x = \frac{1}{2}$

Ví dụ 2

Giải phương trình $\frac{x}{x + 3} - \frac{2}{x - 3} = \frac{- 2 x - 6}{x^{2} - 9}$ (2)

Lời giải

Giải ĐKXĐ: $x \neq 3$ và $x \neq - 3$ . Quy đồng mẫu hai vế của phương trình: $\frac{x (x - 3) - 2 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{- 2 x - 6}{x^{2} - 9}$ $\frac{x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} - 9} = \frac{- 2 x - 6}{x^{2} - 9} .$ Suy ra $x^{2} - 5 x - 6 = - 2 x - 6$ hay $x^{2} - 3 x = 0$ . Giải phương trình $x^{2} - 3 x = 0$ $x (x - 3) = 0$ $x = 0$ hoặc $x - 3 = 0$ $x = 0$ (thoả mãn ĐKXĐ) hoặc $x = 3$ (không thoả mãn ĐKXĐ). Vậy phương trình (2) có nghiệm là $x = 0,$

Ví dụ 3

Cho $a < b .$ Chứng minh rằng: a) $2 a + 1 < 2 b + 2;$ b) $- 2 a - 5 > - 2 b - 7$

Lời giải

Giải a) Từ $a < b$ , ta có $2 a < 2 b$ Suy ra $2 a + 1 < 2 b + 1$ . (1) Vì $1 < 2$ nên $2 b + 1 < 2 b + 2$ (2) Theo tính chất bắc cầu, từ (1) và (2) suy ra $2 a + 1 < 2 b + 2.$ b) Từ $a < b$ , ta có $- 2 a > - 2 b$ Suy ra $- 2 a - 5 > - 2 b - 5$ . (3) Vì $- 5 > - 7$ nên $- 2 b - 5 > - 2 b - 7$ . (4) Theo tính chất bắc cầu, từ (3) và (4) suy ra $- 2 a - 5 > - 2 b - 7$

Bài tập

2.12

Giải các phương trình sau: a) $2 (x + 1) = (5 x - 1) (x + 1)$ b) $(- 4 x + 3) x = (2 x + 5) x .$

2.13

Để loại bỏ x% một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là $C (x) = \frac{50 x}{100 - x}$ (triệu đồng), với $0 \leq x < 100$ . Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể loại bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?

2.14

Giải các phương trình sau: a) $\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x^{2} - 2 x + 4} = \frac{x - 4}{x^{3} + 8};$ b) $\frac{2 x}{x - 4} + \frac{3}{x + 4} = \frac{x - 12}{x^{2} - 16} .$

2.15

Cho $a > b$ , chứng minh rằng: a) $4 a + 4 > 4 b + 3;$ b) $1 - 3 a < 3 - 3 b .$

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 31–37).