Bài 14. Cung và dây của một đường tròn

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết cung, dây cung, đường kính của đường tròn và quan hệ giữa độ dài dây và đường kính.
Nhận biết góc ở tâm, cung bị chắn.
Nhận biết và xác định số đo của một cung.

Thuật ngữ: Cung · dây cung · Đường kính · nửa đường tròn · Góc ở tâm · cung bị chắn · Số đo cung

Khái niệm, thuật ngữ Kiến thức, kĩ năng• Cung, dây cung - Nhận biết cung, dây cung, đường kính của đường tròn và quan hệ giữa độ dài dây và đường kính.• Đường kính, nửa đường tròn • Góc ở tâm, cung bị chắn - Nhận biết góc ở tâm, cung bị chắn.• Số đo cung - Nhận biết và xác định số đo của một cung.

Trong các cuộc thi đấu thể thao, người ta thường tổ chức thi bắn cung. Thuở xưa, cây cung được làm ra bằng cách buộc một sợi dây (gọi là dây cung) vào hai đầu của một đoạn tre (hoặc gỗ) có tính đàn hồi cao. Đoạn tre bị kéo căng, cong lại tạo nên hình ảnh của một phần đường tròn, đó cũng chính là hình ảnh của "cung" trong Toán học. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về những vấn đề liên quan đến khái niệm này.

Dây và đường kính của đường tròn

Khái niệm dây và đường kính của đường tròn

Đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn.• Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn. Dễ thấy đường kính của đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R.Trên Hình 5.6, CD là một dây, AB là một đường kính của (O).

Quan hệ giữa dây và đường kính

HĐ

Xét dây AB tuỳ ý không đi qua tâm của đường tròn (O; R) (H.5.7).Dựa vào quan hệ giữa các cạnh của tam giác AOB, chứng minh AB < 2R.

Hình/bảng: Hình 5.7: Đường tròn tâm O, dây AB không đi qua tâm.

Định lí

Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

Ví dụ 1

Tứ giác lỗi ABCD CÓ $\hat{B A C} = \hat{B D C} = 90^{\circ}$ . Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn và AD < BC.

Hình/bảng: Hình 5.8: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC. Góc BAC và BDC là 90 độ.

Lời giải

Giải (H.5.8)Gọi O là trung điểm của đoạn BC. Tam giác ABC vuông tại A ( $\hat{B A C} = 90^{\circ}$ ) nên đường trung tuyến AO bằng nửa cạnh huyền, nghĩa là $O A = O B = O C = \frac{B C}{2}$ . Do đó điểm A nằm trên đường tròn (O) đường kính BC.Tương tự, bằng cách xét tam giác DBC ta cũng suy ra điểm D thuộc đường tròn (O). Vậy AD là một dây (không đi qua tâm) của đường tròn (O). Áp dụng định lí trên ta có AD < BC.

Luyện tập 1

Cho đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng với điểm A bất kì (khác B và C) nằm trên đường tròn, ta đều có BC < AB + AC < 2BC.

Góc ở tâm, cung và số đo của một cung

Khái niệm góc ở tâm và cung tròn

Cho hai điểm A và B cùng thuộc một đường tròn. Hai điểm ấy chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung tròn (hay cung). Hai điểm A và B gọi là hai mút (hay đầu mút) của mỗi cung đó.

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Trên Hình 5.9 ta có hai cung, kí hiệu là $AmB$ và $AnB$ nhưng chỉ có một góc ở tâm là $\hat{A O B}$ .

Chú ý

Khi góc $\hat{A O B}$ không bẹt thì cung nằm trong góc $\hat{A O B}$ gọi là cung nhỏ (trên Hình 5.9, $AmB$ là cung nhỏ). Khi đó $AmB$ còn có thể kí hiệu gọn là $AB$ . Cung còn lại, $AnB$ gọi là cung lớn. Khi góc $\hat{A O B}$ bẹt thì mỗi cung $AB$ được gọi là một nửa đường tròn.• Ta còn nói góc $\hat{A O B}$ chắn cung $AB$ hay cung $AB$ bị chắn bởi góc $\hat{A O B}$ .

Ví dụ 2

Cho ba điểm A, B và C thuộc đường tròn (O) như Hình 5.10.a) Tìm các góc ở tâm có hai cạnh đi qua hai trong ba điểm A, B, C.b) Tìm các cung có hai mút là hai trong ba điểm A, B, C.

Hình/bảng: Hình 5.10: Đường tròn tâm O, ba điểm A, B, C trên đường tròn.

Lời giải

Giải a) Các góc ở tâm cần tìm là $\hat{A O B}$ , $\hat{B O C}$ và $\hat{C O A}$ .b) • Các cung có hai mút A, B là $AB$ , $ACB$ .• Các cung có hai mút A, C là $AC$ , $ABC$ .• Các cung có hai mút B, C là $BAC$ , $BaC$ .

Cách xác định số đo của một cung

Số đo của một cung được xác định như sau:– Số đo của nửa đường tròn bằng $180^{\circ}$ .– Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.– Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa $360^{\circ}$ và số đo của cung nhỏ có chung hai mút.

Số đo của cung $AB$ được kí hiệu là $sd AmB$ . Trên Hình 5.9, ta có: $sd AmB = \hat{A O B} = α$ ; $sd AnB = 360^{\circ} - α$ .

Chú ý

Cung có số đo $n^{\circ}$ còn gọi là cung $n^{\circ}$ . Cả đường tròn được coi là cung $360^{\circ}$ . Đôi khi ta cũng coi một điểm là cung $0^{\circ}$ .• Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo.

Tại sao số đo cung lớn của một đường tròn luôn lớn hơn $180^{\circ}$ ?

Nhận xét

Nếu A là một điểm thuộc cung $BAC$ thì $sd BAC = sd BA + sd AC$ (H.5.10).

Ví dụ 3

Tính số đo của các cung có các đầu mút là hai trong các điểm A, B, C trong Hình 5.11, biết rằng ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A.

Hình/bảng: Hình 5.11: Đường tròn tâm O, tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp đường tròn.

Giải

Trên Hình 5.11, ta thấy $AB$ và $AC$ là các cung nhỏ bị chắn bởi các góc ở tâm thứ tự là $\hat{A O B}$ và $\hat{A O C}$ . Do tam giác ABC vuông cân tại A nên đường trung tuyến AO cũng là đường cao, tức là $A O ⊥ B C$ . Do đó $\hat{A O B} = \hat{A O C} = 90^{\circ}$ , suy ra $sd AB = sd AC = 90^{\circ}$ .• $ACB$ là cung lớn có chung hai mút A, B với cung nhỏ $AB$ nên $sd ACB = 360^{\circ} - sd AB = 360^{\circ} - 90^{\circ} = 270^{\circ}$ .Tương tự, ta có: $sd ABC = 360^{\circ} - sd AC = 360^{\circ} - 90^{\circ} = 270^{\circ}$ .Ngoài ra còn có hai nửa đường tròn có chung hai mút A và B, có số đo bằng $180^{\circ}$ .

Luyện tập 2

Cho điểm C nằm trên đường tròn (O). Đường trung trực của đoạn OC cắt (O) tại A và B. Tính số đo của các cung $ACB$ và $ABC$ .

Bài tập

5.5.

Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M tuỳ ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn $\frac{A B}{2}$ .

5.6.

Cho đường tròn (O; 5 cm) và AB là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết AB = 6 cm.a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.b) Tính $\tan α$ nếu góc ở tâm chắn cung AB bằng $2 α$ .

5.7.

Tâm O của một đường tròn cách dây AB của nó một khoảng 3 cm. Tính bán kính của đường tròn (O), biết rằng cung nhỏ AB có số đo bằng $100^{\circ}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

5.8.

Trên mặt một chiếc đồng hồ có các vạch chia như Hình 5.12. Hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian 36 phút:a) Đầu kim phút vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?b) Đầu kim giờ vạch nên một cung có số đo bao nhiêu độ?

Hình/bảng: Hình 5.12: Mặt đồng hồ với các vạch chia số.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 87–90).