Bài 15. Độ dài của cung tròn. diện tích hình…

Yêu cầu cần đạt

Tính độ dài cung tròn.
Tính diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên.

Thuật ngữ: Hình quạt tròn · Hình vành khuyên

Khái niệm, thuật ngữ Kiến thức, kĩ năng• Hình quạt tròn - Tính độ dài cung tròn.• Hình vành khuyên - Tính diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên.

Số người trên một địa bàn đã được tiêm mũi 4 phòng dịch Covid-19 đạt 40% trong tổng số các đối tượng cần được tiêm. Để hoàn thành một biểu đồ hình quạt tròn, Trang cần vẽ hình quạt tròn biểu thị số liệu 40%. Em có thể giúp bạn Trang được không?

Độ dài của cung tròn

Công thức tính độ dài của cung tròn

Người ta chứng minh được rằng tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn luôn bằng một số vô tỉ không đổi gọi là số $π$ (đọc là pi). Ta có thể tìm được giá trị gần đúng của $π$ nhờ máy tính cầm tay. Trong đời sống, ta thường lấy $π \approx 3, 14$ .Do đó, ta có công thức tính độ dài C của đường tròn (O; R), đường kính d = 2R là: $C = π d = 2 π R$ . (1)

HĐ1

Biết rằng trên một đường tròn, hai cung bằng nhau thì có cùng độ dài và độ dài của cung tỉ lệ với số đo của nó. Từ đó hãy lập công thức tính độ dài cung $n^{\circ}$ của đường tròn bán kính R bằng cách thực hiện các bước sau:a) Từ (1), tính độ dài của cung $1^{\circ}$ .b) Tính độ dài $l$ của cung $n^{\circ}$ .Ta có công thức tính độ dài $l$ của cung $n^{\circ}$ trên đường tròn (O;R): $l = \frac{n}{180} π R$ . (2)

Nhận xét.

Từ hai công thức (1) và (2), ta được $l = \frac{n}{360} π d = \frac{n}{360} C$ hay $\frac{l}{C} = \frac{n}{360}$ nghĩa là:Tỉ số giữa độ dài cung $n^{\circ}$ và độ dài đường tròn (cùng bán kính) đúng bằng $\frac{n}{360}$ .

Ví dụ 1

Cho A và B là hai điểm trên đường tròn (O; 3 cm) sao cho $\hat{A O B} = 120^{\circ}$ . Tính số đo và độ dài các cung có hai mút A, B.

Giải

(H.5.13)Ta có hai cung:• Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm $\hat{A O B}$ .Do đó $sd AB = \hat{A O B} = 120^{\circ}$ ;Độ dài $l_{1}$ của cung AB là: $l_{1} = \frac{120}{180} π \cdot 3 = 2 π$ (cm).• Cung lớn AmB có số đo là: $sd AmB = 360^{\circ} - 120^{\circ} = 240^{\circ}$ .Độ dài $l_{2}$ của cung AmB là: $l_{2} = \frac{240}{180} π \cdot 3 = 4 π$ (cm).

Luyện tập 1

Tính độ dài cung $40^{\circ}$ của đường tròn bán kính 9 cm.

Vận dụng 1

Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có đường kính 650 mm. Biết rằng khi giò đĩa quay một vòng thì bánh xe quay được khoảng 3,3 vòng (H.5.14). Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp 10 vòng liên tục?Hướng dẫn: Khi bánh xe quay 3,3 vòng thì mỗi điểm trên bánh xe di chuyển được một độ dài bằng 3,3 lần chu vi đường tròn.

Hình/bảng: Hình 5.14: Hình ảnh giò đĩa và bánh xe đạp.

Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên

Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó (H.5.15).

Hình vành khuyên (còn gọi là hình vành khăn) (H.5.16) là phần nằm giữa hai đường tròn có cùng tâm và bán kính khác nhau (còn gọi là hai đường tròn đồng tâm).

Em hãy tìm một số hình ảnh của hình quạt tròn và hình vành khuyên trong thực tế.

Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Ta đã biết, diện tích hình tròn bán kính R được tính theo công thức $S = π R^{2}$ . Hãy thực hiện các hoạt động sau để tìm công thức tính diện tích của hình quạt tròn và hình vành khuyên.

HĐ2

Biết rằng hai hình quạt tròn ứng với hai cung bằng nhau trên một đường tròn thì có diện tích bằng nhau và diện tích hình quạt tròn tỉ lệ với số đo của cung tương ứng với nó. Hãy thiết lập công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung $n^{\circ}$ bằng cách thực hiện từng bước sau:a) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung $1^{\circ}$ ;b) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung $n^{\circ}$ .

HĐ3

Thiết lập công thức tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là R và r (R > r).

Diện tích $S_{q}$ của hình quạt tròn bán kính R ứng với cung $n^{\circ}$ : $S_{q} = \frac{n}{360} π R^{2} = \frac{l R}{2} (3)$ • Diện tích $S_{v}$ của hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính R và r. $S_{v} = π (R^{2} - r^{2}) (với R > r). (4)$

Nhận xét

Công thức (3) có thể viết là $\frac{S_{q}}{S} = \frac{n}{360}$ hay $\frac{S_{q}}{S} = \frac{l}{C}$ nghĩa là:Tỉ số giữa diện tích hình quạt tròn ứng với cung $n^{\circ}$ và diện tích hình tròn (cùng bán kính) đúng bằng $\frac{n}{360}$ và bằng tỉ số giữa độ dài cung $n^{\circ}$ và độ dài đường tròn.

Ví dụ 2

Tính diện tích của hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3 m và 5 m.

Lời giải

Giải Gọi $S_{v}$ là diện tích cần tính.Ta có $S_{v} = π (5^{2} - 3^{2}) = 16 π$ (m²).

Ví dụ 3

Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 5 cm và có độ dài cung tương ứng với nó bằng $4 π$ cm.

Lời giải

Giải Theo đề bài, hình quạt tròn có độ dài cung tương ứng với nó là $l = 4 π$ cm, bán kính là R = 5 cm. Do đó theo (3), diện tích S của nó là: $S = \frac{l \cdot R}{2} = \frac{4 π \cdot 5}{2} = 10 π$ (cm²).

Thực hành

Trở lại tình huống mở đầu. Hãy vẽ (tô màu) hình quạt tròn theo hướng dẫn sau:– Vẽ đường tròn tâm O (với bán kính tuỳ chọn).– Hình quạt tròn cần vẽ ứng với cung có số đo bằng 40% của $360^{\circ}$ . Tính số đo của cung cần vẽ.– Vẽ góc ở tâm có số đo tìm được và tô màu hình quạt tròn tương ứng.

Luyện tập 2

Tính diện tích của hình quạt tròn đã vẽ trong Thực hành trên nếu bán kính của nó bằng 4 cm.

Vận dụng 2

Một tấm bia tạo bởi năm đường tròn đồng tâm lần lượt có bán kính là 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm và 30 cm (H.5.17). Giả thiết rằng người chơi ném phi tiêu một cách ngẫu nhiên và luôn trúng bia. Tính xác suất ném trúng vòng 8 (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và thứ ba), biết rằng xác suất cần tìm bằng tỉ số giữa diện tích của hình vành khuyên tương ứng với diện tích của hình tròn lớn nhất.

Hình/bảng: Hình 5.17: Tấm bia hình tròn với các vòng đồng tâm.

Bài tập

5.9.

Cho đường tròn (O; 4 cm) và ba điểm A, B, C trên đường tròn đó sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và số đo của cung nhỏ BC bằng $70^{\circ}$ .a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ AB và AC bằng nhau.b) Tính độ dài của các cung BC, AB và AC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

5.10.

Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 4 cm, ứng với cung $36^{\circ}$ .

5.11.

Tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 6 cm và 4 cm.

5.12.

Có hai chiếc bánh pizza hình tròn (H.5.18). Chiếc bánh thứ nhất có đường kính 16 cm được cắt thành 6 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Chiếc bánh thứ hai có đường kính 18 cm được cắt thành 8 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Hãy so sánh diện tích bề mặt của hai miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và thứ hai.

Hình/bảng: Hình 5.18: Hai chiếc bánh pizza, một chiếc cắt thành 6 miếng, một chiếc cắt thành 8 miếng.

5.13.

Một chiếc quạt giấy khi xoè ra có dạng nửa hình tròn bán kính 2,2 dm như Hình 5.19. Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,6 dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của dm²).

Hình/bảng: Hình 5.19: Chiếc quạt giấy xòe ra.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Cho tam giác nhọn ABC cân tại A. Từ B và C kẻ lần lượt hai đường cao BH và CK của tam giác ABC.a) Chứng minh rằng đường tròn tâm O đường kính BC đi qua K và H.b) Chứng minh rằng hai cung nhỏ BH và CK bằng nhau.c) Tính số đo của cung nhỏ KH nếu $\hat{B A C} = 40^{\circ}$ .

Hình/bảng: Hình 5.20: Tam giác nhọn ABC cân tại A. BH và CK là đường cao. Đường tròn tâm O, đường kính BC đi qua K và H.

Lời giải

Giải (H.5.20; học sinh tự ghi giả thiết, kết luận)a) Đặt $R = \frac{B C}{2} = O B = O C$ . Khi đó (O; R) là đường tròn đường kính BC. Dễ thấy HO là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông HBC nên $O H = \frac{B C}{2} = R$ . Do đó $H \in (O; R)$ .Tương tự, ta cũng có $K \in (O; R)$ .Vậy đường tròn (O; R) đi qua các điểm K và H.b) Hai tam giác vuông HBC và KCB có chung cạnh huyền BC và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (do tam giác ABC cân tại A) nên $△ H B C = △ K C B$ , suy ra BH = CK. Do đó $△ B O H = △ C O K$ (vì BO = CO, OH = OK, BH = CK). Từ đó ta có $\hat{B O H} = \hat{C O K}$ .Mặt khác, $sd BH = \hat{B O H}$ , $sd CK = \hat{C O K}$ , do đó $BH = CK$ .c) Ba tam giác cân ABC, OCH và OBK có các góc ở đáy bằng nhau nên ba góc ở đỉnh cũng bằng nhau. Bởi vậy ta có $\hat{B O K} = \hat{H O C} = \hat{B A C} = 40^{\circ}$ .Mặt khác, $\hat{B O K} + \hat{K O H} + \hat{H O C} = \hat{B O C} = 180^{\circ}$ . Do đó $\hat{K O H} = 180^{\circ} - \hat{B O K} - \hat{H O C} = 100^{\circ}$ .Do $\hat{K O H}$ là góc ở tâm khác góc bẹt nên $KH$ là cung nhỏ. Do đó $sd KH = \hat{K O H} = 100^{\circ}$ .

Ví dụ 2

Ta gọi hình giới hạn bởi một cung nhỏ của một đường tròn và dây căng cung đó là hình viên phân. Lập công thức tính diện tích hình viên phân ứng với cung $90^{\circ}$ , biết bán kính của đường tròn là R.

Hình/bảng: Hình 5.21: Đường tròn tâm O, bán kính R. Cung AB và dây AB tạo thành hình viên phân.

5.10.

Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 4 cm, ứng với cung 36°.

Hình 5.18. Hai chiếc bánh pizza, một chiếc nguyên và một chiếc đã cắt thành các miếng hình quạt.

5.13.

Một chiếc quạt giấy khi xoè ra có dạng nữa hình tròn bán kính 2,2 dm như Hình 5.19. Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,6 dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của dm²).

Hình/bảng: Hình 5.19: Một chiếc quạt giấy xòe ra.

Hình 5.19. Một chiếc quạt giấy xòe ra.

Giải

Giả sử AB là cung có số đo 90°; S là diện tích hình viên phân (phần tô màu trên Hình 5.21) và S là diện tích của hình quạt ứng với cung đó; S, là diện tích hình tam giác OAB. Ta có $S_{q} = \frac{90}{360} π R^{2} = \frac{1}{4} π R^{2}$ . $S_{t} = \frac{1}{2} O A \cdot O B = \frac{1}{2} R^{2}$ . Do đó $S = S_{q} - S_{t} = \frac{1}{4} π R^{2} - \frac{1}{2} R^{2} = R^{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$ .

Bài tập

5.14.

Cho dây AB không qua tâm của đường tròn (O). Gọi A' và B' là hai điểm lần lượt đối xứng với A và B qua O. Hỏi đường trung trực của A'B' có phải là trục đối xứng của (O) hay không? Tại sao?

5.15.

Cho tam giác ABC không là tam giác vuông. Gọi H và K là chân các đường vuông góc lần lượt hạ từ B và C xuống AC và AB. Chứng minh rằng: a) Đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K; b) KH < BC.

5.16.

Có thể xem guống nước (còn gọi là cọn nước) là một công cụ hay cỗ máy có dạng hình tròn, quay được nhờ sức nước chảy (H.5.22a). Guồng nước thường thấy ở các vùng miền núi. Nhiều guồng nước được làm bằng tre, dùng để đưa nước lên ruộng cao, giã gạo hoặc làm một số việc khác. Giả sử ngấn nước ngăn cách giữa phần trên và phần dưới nước của một guồng nước được biểu thị bởi cung ứng với một dây dài 4 m và điểm ngập sâu nhất là 0,5 m (trên Hình 5.22b, điểm ngập sâu nhất là điểm C, ta có AB = 4 m và HC = 0,5 m). Dựa vào đó, em hãy tính bán kính của guồng nước.

Hình/bảng: Hình 5.22: a) Guồng nước; b) Sơ đồ mặt cắt guồng nước với các điểm O, H, A, B, C.

Hình 5.22. a) Guồng nước; b) Sơ đồ mặt cắt guồng nước với các điểm O, H, A, B, C.

5.17.

Cho đường tròn (O; 5 cm).
a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm.
b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB.
d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.

5.18.

Ba bộ phận truyền chuyển động của một chiếc xe đạp gồm một giò đĩa (bánh răng gắn với bàn đạp), một chiếc líp (cũng có dạng bánh răng) gắn với bánh xe và bộ xích (H.5.23). Biết rằng giò đĩa có bán kính 15 cm, líp có bán kính 4 cm và bánh xe có đường kính 65 cm. Hỏi khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?

Hình/bảng: Hình 5.23: Sơ đồ bộ phận truyền chuyển động của xe đạp gồm líp, giò đĩa.

Hình 5.23. Sơ đồ bộ phận truyền chuyển động của xe đạp gồm líp, giò đĩa.

5.19.

Cho tam giác đều ABC có $A B = 2 \sqrt{3}$ cm. Nửa đường tròn đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E (khác B và C) (H.5.24).
a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ BD, DE và EC bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.
b) Tính diện tích của hình viên phân (xem Ví dụ 2) giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD.

Hình/bảng: Hình 5.24: Tam giác đều ABC với nửa đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E.

Hình 5.24. Tam giác đều ABC với nửa đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 91–98).