Bài 6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Yêu cầu cần đạt

Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Khái niệm nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Thuật ngữ: Bất phương trình bậc nhất một ẩn · Nghiệm của bất phương trình

Bạn Thanh có 100 nghìn đồng. Bạn muốn mua một cái bút giá 18 nghìn đồng và một số quyển vở, mỗi quyển vở giá 7 nghìn đồng. Hỏi bạn Thanh mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?

Trong bài toán mở đầu, nếu kí hiệu số vở mà Thanh mua là $x (x \in N^{*})$ thì x phải thoả mãn hệ thức $7 x + 18 \leq 100$ Khi đó ta nói hệ thức $7 x + 18 \leq 100$ là bất phương trình với ẩn là x. Trong bất phương trình này, ta gọi $7 x + 18$ là vế trái, 100 là vế phải. Ta có thể biến đổi bất phương trình này về dạng $7 x - 82 \leq 0$ . Hệ thức này là bất phương trình bậc nhất với ẩn là x.

Bất phương trình dạng $a x + b < 0$ (hoặc $a x + b > 0;$ $a x + b \leq 0;$ $a x + b \geq 0)$ trong đó a, b là hai số đã cho, $a \neq 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

Ví dụ 1

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn x? a) $3 x + 16 \leq 0$ ; b) $- 5 x + 5 > 0$ c) $x^{2} - 4 > 0$ ; d) $- 3 x < 0,$

Lời giải

Giải a), b), d) là bất phương trình bậc nhất một ẩn x. c) không là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì $x^{2} - 4$ là một đa thức bậc hai.

Luyện tập 1

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn x? a) $- 3 x + 7 \leq 0$ ; b) $4 x - \frac{3}{2} > 0$ ; c) $x^{3} > 0$ .

Xét bất phương trình $3 x + 8 < 20$ . Khi thay giá trị $x = \frac{4}{3}$ vào bất phương trình, ta được $3 \cdot \frac{4}{3} + 8 < 20$ là một khẳng định đúng. Ta nói số $\frac{4}{3}$ (hay giá trị $x = \frac{4}{3})$ là một nghiệm của bất phương trình. Khi thay giá trị $x = 5$ vào bất phương trình, ta được $3 \cdot 5 + 8 < 20$ là một khẳng định sai. Ta nói số 5 (hay giá trị $x = 5$ ) không phải là nghiệm của bất phương trình.

Số $x_{0}$ là một nghiệm của bất phương trình $A (x) < B (x)$ nếu $A (x_{0}) < B (x_{0})$ là khẳng định đúng. Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Luyện tập 2

Trong các số -2; 0; 5, những số nào là nghiệm của bất phương trình $2 x - 10 < 0^{'}$ ?

Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

HD

Xét bất phương trình $5 x + 3 < 0$ . (1) Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải bất phương trình (1): a) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức, cộng vào hai vế của bất phương trình (1) với -3, ta được một bất phương trình, kí hiệu là (2). b) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức, nhân vào hai vế của bất phương trình (2) với $\frac{1}{5}$ (tức là chia cả hai vế của bất phương trình (2) cho hệ số của x là 5) để tìm nghiệm của bất phương trình.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn $a x + b < 0$ $(a \neq 0)$ được giải như sau: $a x + b < 0$ $a x < - b$ Nếu $a > 0$ thì $x < - \frac{b}{a}$ Nếu $a < 0$ thì $x > - \frac{b}{a}$

Chú ý

Các bất phương trình $a x + b > 0$ , $a x + b \leq 0$ , $a x + b \geq 0$ được giải tương tự.

Ví dụ 2

Giải bất phương trình $- 2 x - 4 > 0$

Lời giải

Giải. Ta có $- 2 x - 4 > 0$ $- 2 x > 0 + 4$ Cộng hai vế của bất phương trình với 4. $- 2 x > 4$ $x < 4 \cdot (- \frac{1}{2})$ nhân hai vế với số âm $- \frac{1}{2}$ và đổi chiều bất đẳng thức. $x < - 2$ Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - 2.$

Luyện tập 3

Giải các bất phương trình: a) $6 x + 5 < 0$ b) $- 2 x - 7 > 0$ .

Ví dụ 3

Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Lời giải

Giải Gọi x (quyển) là số vở mà Thanh có thể mua. Theo bài ra, ta có bất phương trình: $7 x + 18 \leq 100$ $7 x \leq 100 - 18$ $7 x \leq 82$ $x \leq \frac{82}{7}$ Vì số vở là số tự nhiên nên Thanh có thể mua nhiều nhất 11 quyển vở.

Chú ý

Ta cũng có thể giải được các bất phương trình một ẩn đưa được về dạng $a x + b < 0$ , $a x + b > 0$ , $a x + b \leq 0$ , $a X + b \geq 0.$

Ví dụ 4

Giải các bất phương trình: a) $2 x + 5 < 3 x - 4$ b) $- 3 x + 5 \geq - 4 x + 3$

Lời giải

Giải a) Ta có $2 x + 5 < 3 x - 4$ $2 x - 3 x < - 4 - 5$ $- x < - 9$ $x > 9$ . Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > 9$ . b) Ta có $- 3 x + 5 \geq - 4 x + 3$ $- 3 x + 4 x \geq 3 - 5$ $x \geq - 2$ . Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq - 2,$

Ví dụ 5

Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng là 7,4%/năm. Bà Mai dự kiến gửi một khoản tiền vào ngân hàng này và cần số tiền lãi hằng năm ít nhất là 60 triệu để chi tiêu. Hỏi số tiền bà Mai cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?

Lời giải

Giải. Gọi x (triệu đồng) là số tiền bà Mai cần gửi tiết kiệm. Ta có số tiền lãi gửi tiết kiệm x (triệu đồng) trong một năm là $0, 074 \cdot x$ (triệu đồng). Để có số tiền lãi ít nhất là 60 triệu đồng/năm thì ta phải có: $0, 074 x \geq 60$ $x \geq 60 : 0, 074$ $x \geq 810, 81$ . Vậy bà Mai cần gửi ngân hàng ít nhất 811 triệu đồng.

Luyện tập 4

Giải các bất phương trình sau: a) $5 x + 7 > 8 x - 5$ ; b) $- 4 x + 3 \leq 3 x - 1$ .

Vận dụng

Trong một cuộc thi tuyển dụng việc làm, ban tổ chức quy định mỗi người ứng tuyển phải trả lời 25 câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi này có sẵn bốn đáp án, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Người ứng tuyển chọn đáp án đúng sẽ được cộng thêm 2 điểm, chọn đáp án sai bị trừ đi 1 điểm. Ở vòng sơ tuyển, ban tổ chức tặng cho mỗi người dự thi 5 điểm và theo quy định người ứng tuyển phải trả lời hết 25 câu hỏi; người nào có số điểm từ 25 trở lên mới được dự thi vòng tiếp theo. Hỏi người ứng tuyển phải trả lời chính xác ít nhất bao nhiêu câu hỏi ở vòng sơ tuyển thì mới được vào vòng tiếp theo?

Bài tập

2.16

Giải các bất phương trình sau: a) $x - 5 \geq 0$ b) $x + 5 \leq 0$ c) $- 2 x - 6 > 0$ ; d) $4 x - 12 < 0$ .

2.17

Giải các bất phương trình sau: a) $3 x + 2 > 2 x + 3$ ; b) $5 x + 4 < - 3 x - 2$ .

2.18

Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn 1 tháng là 0,4%. Hỏi nếu muốn có số tiền lãi hằng tháng ít nhất là 3 triệu đồng thì số tiền gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?

2.19

Một hãng taxi có giá mở cửa là 15 nghìn đồng và giá 12 nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Hỏi với 200 nghìn đồng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa bao nhiêu kilômét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

2.20

Người ta dùng một loại xe tải để chở bia cho một nhà máy. Mỗi thùng bia 24 lon nặng trung bình 6,7 kg. Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là 5,25 tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng bia, biết bác lái xe nặng 65 kg?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 38–41).