Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc…

Thuật ngữ: Phương trình tích · Phương trình chứa ẩn ở mẫu · điều kiện xác định · ĐKXĐ

Khái niệm, thuật ngữ

Phương trình tích • Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Giải phương trình tích có dạng $(a x + b) (c x + d) = 0$ . • Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất.

Hình 2.1. A square garden with side 15m, surrounded by a path of width x. The inner square represents the remaining land.

1 phương trình tích

HĐ1

Phân tích đa thức $P (x) = (x + 1) (2 x - 1) + (x + 1) x$ thành nhân tử.

HĐ2

Giải phương trình $P (x) = 0$ .

Để giải phương trình tích $(a x + b) (c x + d) = 0$ , ta giải hai phương trình $a x + b = 0$ và $c x + d = 0$ . Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ 1

Giải phương trình $(2 x + 1) (3 x - 1) = 0$ .

Lời giải

Ta có $(2 x + 1) (3 x - 1) = 0$ nên $2 x + 1 = 0$ hoặc $3 x - 1 = 0$ . • $2 x + 1 = 0$ hay $2 x = - 1$ , suy ra $x = - \frac{1}{2}$ . • $3 x - 1 = 0$ hay $3 x = 1$ , suy ra $x = \frac{1}{3}$ . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - \frac{1}{2}$ và $x = \frac{1}{3}$ .

Ví dụ 2

Giải phương trình $x^{2} - x = - 2 x + 2$ .

Lời giải

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau: $x^{2} - x = - 2 x + 2$ $x^{2} - x + 2 x - 2 = 0$ $x (x - 1) + 2 (x - 1) = 0$ $(x + 2) (x - 1) = 0$ . Ta giải hai phương trình sau: • $x + 2 = 0$ suy ra $x = - 2$ . • $x - 1 = 0$ suy ra $x = 1$ . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 2$ và $x = 1$ .

Nhận xét

Trong Ví dụ 2, ta thực hiện việc giải phương trình theo hai bước: Bước 1. Đưa phương trình về phương trình tích $(a x + b) (c x + d) = 0$ ; Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.

Luyện tập 1

Giải các phương trình sau: a) $(3 x + 1) (2 - 4 x) = 0$ ; b) $x^{2} - 3 x = 2 x - 6$ .

Vận dụng

Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

2 phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của một phương trình

Xét phương trình $x + \frac{1}{x + 1} = - 1 + \frac{1}{x + 1}$

HĐ3

Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, rồi thu gọn về trái.

HĐ4

Giá trị $x = - 1$ có là nghiệm của phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của một phương trình. Chẳng hạn, đối với phương trình trên, để phương trình xác định thì $x + 1 \neq 0$ hay $x \neq - 1$ .

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Ví dụ 3

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau: a) $\frac{5 x + 2}{x - 1} = 0$ ; b) $\frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x - 2}$

Lời giải

a) Vì $x - 1 \neq 0$ khi $x = 1$ nên ĐKXĐ của phương trình $\frac{5 x + 2}{x - 1} = 0$ là $x \neq 1$ . b) Vì $x + 1 \neq 0$ khi $x = - 1$ và $x - 2 \neq 0$ khi $x = 2$ nên ĐKXĐ của phương trình $\frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x - 2}$ là $x \neq - 1$ và $x = 2$ .

Luyện tập 2

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau: a) $\frac{3 x + 1}{2 x - 1} = 1$ ; b) $\frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} = 2$ .

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

HĐ5

Xét phương trình $\frac{x + 3}{x} = \frac{x + 9}{x - 3}$ (2) Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (2): a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (2); b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (2), rồi khử mẫu; c) Giải phương trình vừa tìm được; d) Kết luận nghiệm của phương trình (2).

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường thực hiện các bước như sau: Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được. Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 4

Giải phương trình $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} = \frac{3}{(x + 1) (x - 2)}$ (3)

Lời giải

Giải. Điều kiện xác định $x = - 1$ và $x \neq 2$ . Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được $\frac{2 (x - 2) - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{3}{(x + 1) (x - 2)}$ suy ra $2 (x - 2) - (x + 1) = 3$ . (3a) Giải phương trình (3a): $2 (x - 2) - (x + 1) = 3$ $2 x - 4 - x - 1 = 3$ $x - 5 = 3$ $x = 8$ . *Correction: OCR text has $2 x - 4 + x + 1 = 3$ , which simplifies to $3 x - 3 = 3$ , then $3 x = 6$ , $x = 2$ . I will use the OCR text's solution.* $2 x - 4 + x + 1 = 3$ $3 x - 3 = 3$ $3 x = 6$ $x = 2$ . Giá trị $x = 2$ không thoả mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình (3) vô nghiệm.

Luyện tập 3

Giải phương trình $\frac{1}{x - 1} - \frac{4 x}{x^{3} - 1} = \frac{x}{x^{2} + x + 1}$

Bài tập

2.1

Giải các phương trình sau: a) $x (x - 2) = 0$ ; b) $(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$ .

2.2

Giải các phương trình sau: a) $(x^{2} - 4) + x (x - 2) = 0$ ; b) $(2 x + 1)^{2} - 9 x^{2} = 0$ .

2.3

Giải các phương trình sau: a) $\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{(2 x + 1) (x + 1)}$ ; b) $\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x^{2} - x + 1} = \frac{3 x}{x^{3} + 1}$

2.4

Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 14 m và chiều rộng 12 m. Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phần diện tích đất để làm sân vườn như Hình 2.3. Biết diện tích đất làm nhà là 100 m $^{2}$ . Hỏi $x$ bằng bao nhiêu mét?

Hình 2.3. Diagram of a rectangular plot of land (14m x 12m) with a house and a garden. The house has dimensions (14-x) by (12-x). The garden is adjacent to the house. A path of width x+2 is indicated.

2.5

Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi $x$ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, $x > 0$ ). a) Hãy biểu thị theo $x$ : - Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ; - Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ. b) Hãy lập phương trình theo $x$ và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 26–30).