Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Yêu cầu cần đạt

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc sử dụng máy tính cầm tay.

Thuật ngữ: Phương pháp thế · Phương pháp cộng đại số

Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó, biết rằng:

Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây;
Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

Làm quen với phương pháp thế

HĐ1

Cho hệ phương trình ${\begin{cases} x + y = 3 \\ 2 x - 3 y = 1 \end{cases}$ . Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:
1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x.
2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 1

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x + 2 y = 4 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Lời giải

Giải
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có $y = 2 x – 3$ . Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $x + 2 (2 x - 3) = 4$ hay $5 x - 6 = 4$ , suy ra $x = 2$ .
Từ đó $y = 2 \cdot 2 – 3 = 1$ . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2; 1)$ .

Luyện tập 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) ${\begin{cases} x - 3 y = 2 \\ - 2 x + 5 y = 1; \end{cases}$
b) ${\begin{cases} 4 x + y = - 1 \\ 7 x + 2 y = - 3. \end{cases}$

Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc biểu diễn y theo x.

Ví dụ 2

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x - y = - 2 \\ 2 x - 2 y = 8 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Lời giải

Giải
Từ phương trình thứ nhất ta có $x = y – 2$ . Thế vào phương trình thứ hai, ta được $2 (y - 2) - 2 y = 8$ hay $0 y - 4 = 8$ . (1)
Do không có giá trị nào của y thoả mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Luyện tập 2

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} - 2 x + y = 3 \\ 4 x - 2 y = - 4 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} - x + y = - 2 \\ 3 x - 3 y = 6 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Lời giải

Giải
Từ phương trình thứ nhất ta có $y = x - 2$ . (2)
Thế vào phương trình thứ hai, ta được $3 x – 3 (x - 2) = 6$ hay $0 x = 0$ . (3)
Ta thấy mọi giá trị của x đều thoả mãn (3).
Với giá trị tuỳ ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi (2).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(x, x – 2)$ với $x \in R$ tuỳ ý.

Luyện tập 3

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x + 3 y = - 1 \\ 3 x + 9 y = - 3 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Vận dụng 1

Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống $(x, y \in N^{*})$ .
a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x, y.
b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Làm quen với phương pháp cộng đại số

HĐ2

Cho hệ phương trình (II) ${\begin{cases} 2 x + 2 y = 3 \\ x - 2 y = 6 \end{cases}$ . Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối nhau (tổng của chúng bằng 0). Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:
1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.
2. Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} - 2 x + 5 y = 12 \\ 2 x + 3 y = 4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải

Giải
Cộng từng vế hai phương trình ta được $8 y = 16$ , suy ra $y = 2$ .
Thế $y = 2$ vào phương trình thứ hai ta được $2 x + 3 \cdot 2 = 4$ , hay $2 x = - 2$ , suy ra $x = - 1$ .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(- 1; 2)$ .

Ví dụ 5

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 5 x - 7 y = 9 \\ 5 x - 3 y = 1 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải

Giải
Trừ từng vế của hai phương trình, ta được $(5 x – 5 x) + (- 7 y + 3 y) = 9 - 1$ hay $- 4 y = 8$ , suy ra $y = - 2$ .
Thế $y = - 2$ vào phương trình thứ nhất, ta được $5 x – 7 \cdot (- 2) = 9$ hay $5 x + 14 = 9$ , suy ra $x = - 1$ .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(- 1; - 2)$ .

Luyện tập 4

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) ${\begin{cases} - 4 x + 3 y = 0 \\ 4 x - 5 y = - 8; \end{cases}$
b) ${\begin{cases} 4 x + 3 y = 0 \\ x + 3 y = 9. \end{cases}$

Chú ý

Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).

Ví dụ 6

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 7 \\ 2 x - 3 y = - 4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải

Giải
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được:
${\begin{cases} 9 x + 6 y = 21 \\ 4 x - 6 y = - 8. \end{cases}$
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được $13 x = 13$ hay $x = 1$ .
Thế $x = 1$ vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có $3 \cdot 1 + 2 y = 7$ , suy ra $y = 2$ .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(1; 2)$ .

Luyện tập 5

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 4 x + 3 y = 6 \\ - 6 x + 2 y = 4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Ví dụ 7

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 6 x + 10 y = - 4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải

Giải
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ
${\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 3 x + 5 y = - 2. \end{cases}$
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có $0 x + 0 y = 0$ . Hệ thức này luôn thoả mãn với các giá trị tuỳ ý của x và y.
Với giá trị tuỳ ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức $3 x – 5 y = 2$ , suy ra $y = \frac{3 x - 2}{5}$ .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(x; \frac{3 x - 2}{5})$ với $x \in R$ .

Luyện tập 6

Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình ${\begin{cases} - 0, 5 x + 0, 5 y = 1 \\ - 2 x + 2 y = 8. \end{cases}$

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cách tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay

Muốn tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay (MTCT), chúng ta cần sử dụng loại máy có chức năng này (thường có phím MODE).
Trước hết ta phải viết hệ phương trình cần tìm nghiệm dưới dạng:
${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} . \end{cases}$
Chẳng hạn để tìm nghiệm của hệ ${\begin{cases} 2 x + 3 y - 4 = 0 \\ 5 x + 6 y - 7 = 0 \end{cases}$ , ta viết nó dưới dạng ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 4 \\ 5 x + 6 y = 7 \end{cases}$ .
Khi đó, ta có $a_{1} = 2, b_{1} = 3, c_{1} = 4; a_{2} = 5, b_{2} = 6$ và $c_{2} = 7$ . Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):
Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn các phím MODE 5 1 (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí $a_{1}$ ).
Bước 2. Nhập các số $a_{1} = 2, b_{1} = 3, c_{1} = 4; a_{2} = 5, b_{2} = 6$ và $c_{2} = 7$ bằng cách nhấn:
2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = (xem màn hình sau bước 2).
Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, nhấn =, màn hình cho $x = - 1$ ; nhấn tiếp phím =, màn hình cho $y = 2$ (xem màn hình sau bước 3). Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là $(- 1; 2)$ .

Màn hình sau bước 1. Màn hình máy tính hiển thị chế độ giải phương trình tuyến tính với 2 ẩn.

Màn hình sau bước 2. Màn hình máy tính hiển thị các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 đã được nhập.

Màn hình sau bước 3. Màn hình máy tính hiển thị kết quả nghiệm y = 2.

Chú ý

1. Muốn xoá số vừa mới nhập thì nhấn phím AC; muốn thay đổi số đã nhập ở một vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.
2. Nhấn phím $◀$ hay $▶$ để chuyển đổi hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.
3. Nếu máy báo "Infinite Sol” thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. Nếu máy báo "No-Solution” thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Thực hành

Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
a) ${\begin{cases} 2 x + 3 y = - 4 \\ - 3 x - 7 y = 13; \end{cases}$
b) ${\begin{cases} 2 x - 3 y = 1 \\ - x - 1, 5 y = 1; \end{cases}$
c) ${\begin{cases} 8 x - 2 y - 6 = 0 \\ 4 x - y - 3 = 0. \end{cases}$

Vận dụng 2

Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%.
a) Gọi x là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20%, y là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y:
Thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.

Tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn là x, y.
Giải hệ phương trình này để tính số mililít cần lấy của mỗi dung dịch acid HCl ở trên.

Bài tập

1.6.

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) ${\begin{cases} x - y = 3 \\ 3 x - 4 y = 2; \end{cases}$
b) ${\begin{cases} 7 x - 3 y = 13 \\ 4 x + y = 2; \end{cases}$
c) ${\begin{cases} 0, 5 x - 1, 5 y = 1 \\ - x + 3 y = 2. \end{cases}$

1.7.

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 6 \\ 2 x - 2 y = 14; \end{cases}$
b) ${\begin{cases} 0, 3 x + 0, 5 y = 3 \\ 1, 5 x - 2 y = 1, 5; \end{cases}$
c) ${\begin{cases} - 2 x + 6 y = 8 \\ 3 x - 9 y = - 12. \end{cases}$

1.8.

Cho hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = - 3 \\ - 2 m^{2} x + 9 y = 3 (m + 3) \end{cases}$ trong đó m là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) $m = - 2$ ;
b) $m = - 3$ ;
c) $m = 3$ .

1.9.

Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
a) ${\begin{cases} 12 x - 5 y + 24 = 0 \\ - 5 x - 3 y - 10 = 0; \end{cases}$
b) ${\begin{cases} \frac{1}{2} x - y = \frac{2}{3} \\ x - 3 y = 2; \end{cases}$
c) ${\begin{cases} \frac{3}{4} x - \frac{2}{9} y = - 11 \\ \frac{2}{5} x + \frac{1}{9} y = - 2. \end{cases}$

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 11–16).