Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Thuật ngữ: Căn bậc ba · Căn thức bậc ba

Khái niệm, thuật ngữ

Căn bậc ba\nCăn thức bậc ba

Căn bậc hai của một số thực (dương) có một vai trò quan trọng trong đời sống và toán học. Căn bậc hai của số thực a không âm là các số thực x thoả mãn điều kiện $x^{2} = a$ Trong bài học này, các em sẽ được làm quen với khái niệm căn bậc ba, một khái niệm tương tự khái niệm căn bậc hai.

1 căn bậc ba

Căn bậc ba của một số thực

HĐ1

Kí hiệu V là thể tích của hình lập phương với cạnh x. Hãy thay dầu "?" trong bảng sau bằng các giá trị thích hợp.

Hình/bảng: A table with columns X and V=x^3, and rows with values (2, 8), (?, 27), (?, 64). A 3D cube is shown next to the table.

X	$v = x^{3}$
2	8
?	27
?	64

Tổng quát, ta định nghĩa:\nCăn bậc ba của số thực a là số thực x thoả mãn $x^{3} = a$ .

Chú ý

Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. Căn bậc ba của số a được kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ Trong kí hiệu $\sqrt[3]{a}$ , số 3 được gọi là chỉ số của căn. Phép tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.

Ví dụ 1

a) Chứng tỏ rằng $\sqrt[3]{64} = 4$ .\nb) Tính $\sqrt[3]{0}$ và $\sqrt[3]{- 27}$

Lời giải

Giải. a) Vì $4^{3} = 64$ nên $\sqrt[3]{64} = 4$ .\nb) $V i 0^{3} = 0$ nên $\sqrt[3]{0} = 0$ $V i (- 3)^{3} = - 27$ nên $\sqrt[3]{- 27} = - 3$ .

Nhận xét

Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có $(\sqrt[3]{a})^{3} = \sqrt[3]{a^{3}} = a$ với mọi số thực a. Do đó có thể giải Ví dụ 1 như sau: $\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^{3}} = 4.$

Luyện tập 1

Tính: a) $\sqrt[3]{125}$ \nb) $\sqrt[3]{0, 008}$ \nc) $\sqrt[3]{\frac{- 8}{27}} .$

Tính căn bậc ba của một số bằng máy tính cầm tay

Ta có thể sử dụng loại MTCT thích hợp để tính căn bậc ba của một số. Chẳng hạn, để tính $\sqrt[3]{12}$ và $\sqrt[3]{3375}$ ta làm như sau:

Phép tính	Bấm các phím	Kết quả
$\sqrt[3]{343}$	[SHIFT] [ $\sqrt[3]{}$ ] 3 4 3 [=]	7
$\sqrt[3]{12}$	[SHIFT] [ $\sqrt[3]{}$ ] 1 2 [=]	2,289428485

Chú ý

Màn hình MTCT chỉ hiển thị được một số hữu hạn chữ số nên các kết quả là số thập phân vô hạn (tuần hoàn hay không tuần hoàn) đều được làm tròn, chẳng hạn: $\sqrt[3]{12} \approx 2, 289428485.$

Ví dụ 2

Sử dụng MTCT, tính $\sqrt[3]{3, 25}$ rồi làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Lời giải

Giải. Bấm các phim [SHIFT] [ $\sqrt[3]{}$ ] 3 . 2 5 [=], màn hình hiện kết quả 1,481248034.\nLàm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được $\sqrt[3]{3, 25} \approx 1, 48$ .

Luyện tập 2

Sử dụng MTCT, tính $\sqrt[3]{45}$ và làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005.

Thử thách nhỏ

Có thể xếp 125 khối lập phương đơn vị (có cạnh bằng 1 cm) thành một khối lập phương lớn được không nhỉ?

Hình/bảng: A cartoon character thinking.

2 căn thức bậc ba

Nhận biết căn thức bậc ba

Tương tự như căn thức bậc hai, ta có định nghĩa sau:

Căn thức bậc ba là biểu thức có dạng $\sqrt[3]{A},$ trong đó A là một biểu thức đại số.

Chú ý

Tương tự căn bậc ba của một số, ta cũng có $(\sqrt[3]{A})^{3} = \sqrt[3]{A^{3}} = A$ (A là một biểu thức).\n• Để tính giá trị của $\sqrt[3]{A}$ tại những giá trị cho trước của biển, ta thay các giá trị cho trước của biến vào căn thức rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.

Ví dụ 3

Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{2 x + 5}$ tại:\na) $x = 60;$ \nb) $x = - 6, 5$

Lời giải

Giải\na) Với $x = 60$ ta có $\sqrt[3]{2 \cdot 60 + 5} = \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^{3}} = 5$ \nb) Với $x = - 6, 5$ ta có $\sqrt[3]{2 \cdot (- 6, 5) + 5} = \sqrt[3]{- 8} = \sqrt[3]{(- 2)^{3}} = - 2.$

Ví dụ 4

Rút gọn biểu thức $- x + 5 + \sqrt[3]{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$ .

Lời giải

Giải\nTa có $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = (x + 1)^{3} .$ hằng đẳng thức lập phương của một tổng\nDo đó $- x + 5 + \sqrt[3]{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1} = - x + 5 + \sqrt[3]{(x + 1)^{3}} = - x + 5 + (x + 1) = 6.$

Luyện tập 3

a) Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{5 x - 1}$ tại $x = 0$ và tại $x = - 1, 4$ \nb) Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}$ .

Bài tập

3.23

Tính:\na) $\sqrt[3]{216}$ \nb) $\sqrt[3]{- 512}$ \nc) $\sqrt[3]{- 0, 001}$ \nd) $\sqrt[3]{1, 331}$

3.24

Sử dụng MTCT, tính các căn bậc ba sau đây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):\na) $\sqrt[3]{2, 1}$ \nb) $\sqrt[3]{- 18}$ \nc) $\sqrt[3]{- 28}$ \nd) $\sqrt[3]{0, 35}$

3.25

Một người thợ muốn làm một thùng tôn hình lập phương có thể tích bằng $730 d m^{3} .$ Em hãy ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng bao nhiêu dm?

3.26

Rút gọn các biểu thức sau:\na)\n\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})}^{3}};\nb)\n $\sqrt[3]{(2 \sqrt{2} + 1)^{3}};$ \nc) ) $(\sqrt[3]{2} + 1)^{3}$

3.27

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $\sqrt[3]{27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1}$ tại $x = 7$ .

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^{2}} - \sqrt{3 (\sqrt{3} + 1)^{2}} + \sqrt{4} .$

Lời giải

Giải\nTa có $A = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^{2}} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^{2}} + \sqrt{2^{2}} = (\sqrt{3} + 1) - \sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) + 2 = 0$

Ví dụ 2

Cho biểu thức\n $P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ với $x > 1$ .\na) Rút gọn P.\nb) Sử dụng kết quả câu a, tính giá trị của P khi $x = 101$

Lời giải

Giải\na) $P = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) + \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} .$ \nb) Khi $x = 101 t h) P = \frac{2 \cdot 101}{101 - 1} = \frac{202}{100} = 2, 02.$

Ví dụ 3

Người ta cần làm một thùng hình lập phương bằng bìa cứng không có nắp trên và có thể tích $216 d m^{3}$ để đựng đồ. Tính diện tích bìa cứng cần dùng để làm thùng đựng đó (coi diện tích các mép nối là không đáng kể).

Hình/bảng: A 3D cube representing a box.

Lời giải

Giải\nGọi $x (d m, x > 0)$ là độ dài cạnh của thùng hình lập phương cần làm.\nTa có: $x^{3} = 216$ , suy ra $x = \sqrt[3]{216} = 6$ (dm).\nVì thùng đựng không có nắp nên thùng gồm 4 mặt bên và 1 mặt đáy, mỗi mặt là một hình vuông cạnh 6 dm. Do đó diện tích bìa cứng cần dùng là\n $S = 5 \cdot 6^{2} = 180 (d m^{2})$

3.28

Rút gọn các biểu thức sau:\na) $\frac{5 + 3 \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5} - 2};$ \nb) $\sqrt{(\sqrt{7} - 2)^{2}} - \sqrt{63} + \frac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}};$ \nc) $\frac{\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}} + \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2}}}{2 \sqrt{12}};$ \nd) $\frac{\sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^{3}} - 1}{\sqrt{50}} .$

3.29

Tính giá trị của các biểu thức sau:\na) $3 \sqrt{45} + \frac{5 \sqrt{15}}{\sqrt{3}} - 2 \sqrt{245};$ \nb) $\frac{\sqrt{12} - \sqrt{4}}{\sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{21} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + 1} + \sqrt{7};$ \nc) $\frac{3 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3} - 1) + \sqrt{12};$ \nd) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - 1} - \frac{6}{\sqrt{6}} .$

3.30

Giả sử lực F của gió khi thổi theo phương vuông góc với bề mặt cánh buồm của một con thuyền tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ của gió, hệ số tỉ lệ là 30. Trong đó, lực F được tính bằng N (Newton) và tốc độ được tính bằng $m / s .$
a) Khi tốc độ của gió là 10 $m / s$ thì lực F là bao nhiêu Newton?\nb) Nếu cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12 000 N thì con thuyền đó có thể đi được trong gió với tốc độ gió tối đa là bao nhiêu?

3.31

Rút gọn các biểu thức sau:\na) $\sqrt[3]{(- x - 1)^{3}}$ \nb) $\sqrt[3]{8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1}$ .

Luyện tập chung

Ví dụ 2

Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ với $x > 1$ .
a) Rút gọn P.
b) Sử dụng kết quả câu a, tính giá trị của P khi $x = 101$

Lời giải

a) $P = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) + \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} .$
b) Khi $x = 101 th \overset{ˋ}{ı} P = \frac{2 \cdot 101}{101 - 1} = \frac{202}{100} = 2, 02.$

Bài tập

3.28

Dạng bài: Rút gọn biểu thức

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\frac{5 + 3 \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5} - 2};$
c) $\frac{\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}} + \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2}}}{2 \sqrt{12}};$
b) $\sqrt{(\sqrt{7} - 2)^{2}} - \sqrt{63} + \frac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}};$
d) $\frac{\sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^{3}} - 1}{\sqrt{50}} .$

3.29

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức

Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $3 \sqrt{45} + \frac{5 \sqrt{15}}{\sqrt{3}} - 2 \sqrt{245};$
c) $\frac{3 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3} - 1) + \sqrt{12};$
b) $\frac{\sqrt{12} - \sqrt{4}}{\sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{21} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + 1} + \sqrt{7};$
d) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - 1} - \frac{6}{\sqrt{6}} .$

3.31

Dạng bài: Rút gọn biểu thức

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\sqrt[3]{(- x - 1)^{3}}$
b) $\sqrt[3]{8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1}$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 60–64).