Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong…

Yêu cầu cần đạt

Giải thích một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Giải tam giác vuông.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Để đo chiều cao của một toà lâu đài (H.4.11), người ta đặt giác kế thẳng đứng tại điểm M. Quay ống ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy đình P' của toà lâu đài dưới góc nhọn $α$ . Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại điểm N, $N M = 20$ m, thì nhìn thấy đỉnh P' dưới góc nhọn $β$ ( $β < α$ ). Biết chiều cao giác kế là 1,6 m, hãy tính chiều cao của toà lâu đài.

1 hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và sin, côsin của các góc nhọn

HĐ1

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a và các cạnh góc vuông b, c (H.4.12).
a) Viết các tỉ số lượng giác sin, côsin của góc B và góc C theo độ dài các cạnh của tam giác ABC.
b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và các tỉ số lượng giác trên của góc B và góc C.

Hình/bảng: Hình 4.12: Tam giác vuông ABC tại A, cạnh huyền BC=a, cạnh AC=b, cạnh AB=c.

Định lí 1

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kế.

Chú ý.

Trong tam giác ABC vuông tại A (H.4.12), ta có:
$b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C;$ $c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B$ .

Ví dụ 1

Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc $500 k m / h .$ Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc $30^{\circ}$ (H.4.13). Hỏi sau 1,2 phút, máy bay lên cao được bao nhiêu kilômét theo phương thẳng đứng?

Hình/bảng: Hình 4.13: Sơ đồ máy bay bay lên, tạo góc 30 độ với phương ngang, vận tốc 500 km/h.

Lời giải

Giả sử trong Hình 4.13, AB là đoạn đường máy bay bay lên trong 1,2 phút thì BH chính là độ cao máy bay đạt được sau 1,2 phút đó.
Ta có $1, 2 ph \overset{ˊ}{u} t = \frac{1}{50}$ giờ nên $A B = 500 \cdot \frac{1}{50} = 10 (k m) .$
Tam giác ABH vuông tại H, có $\hat{A} = 30^{\circ}$ . Theo Định lí 1, ta có
$B H = A B \cdot \sin A = 10 \cdot \sin 30^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 (k m) .$
Vậy sau 1,2 phút, máy bay lên cao được 5 km.

Luyện tập 1

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

1. Một chiếc thang dài 3 m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến số thập phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc "an toàn" $65^{\circ}$ (tức là đảm bảo thang chắc chắn khi sử dụng) (H.4.14)?
2. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc $α$ bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút)? (H.4.15).

Hình/bảng: Hình 4.14: Hình ảnh một chiếc thang dựa vào tường, tạo góc 65 độ với mặt đất. Hình 4.15: Sơ đồ con đò qua sông, với chiều rộng sông 250m và quãng đường chèo 320m.

2 hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia và tang, côtang của các góc nhọn

HĐ2

Xét tam giác ABC trong Hình 4.16.
a) Viết các tỉ số lượng giác tang, côtang của góc B và góc C theo b. c.
b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh góc vuông kia và các tỉ số lượng giác trên của góc B và góc C.

Hình/bảng: Hình 4.16: Tam giác vuông ABC tại A, cạnh huyền BC=a, cạnh AC=b, cạnh AB=c.

Định lí 2

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Chú ý.

Trong tam giác ABC vuông tại A (H.4.16), ta có:
$b = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C;$ $c = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B$

Ví dụ 2

Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng $34^{\circ}$ và bóng của một toà tháp trên mặt đất dài 8,6 m (H.4.17). Tính chiều cao của toà tháp đó (làm tròn đến mét).

Hình/bảng: Hình 4.17: Sơ đồ tòa tháp với bóng trên mặt đất dài 8.6m, góc nắng 34 độ, chiều cao h.

Lời giải

Ta nhận thấy đường cao của tháp đối diện với góc $34^{\circ}$ (góc tạo bởi tia nắng mặt trời và bóng của tháp trên mặt đất).
Theo Định lí 2, ta có $h = 8, 6 \cdot \tan 34^{\circ} \approx 6 (m) .$
Vậy chiều cao của tháp là khoảng 6 m.

Luyện tập 2

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Bóng trên mặt đất của một cây dài 25 m. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến dm), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc $40^{\circ}$ (H.4.18).

Hình/bảng: Hình 4.18: Sơ đồ cây với bóng trên mặt đất dài 25m, góc nắng 40 độ.

3. Giải tam giác vuông

Ví dụ 3

Cho tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông $A B = 5$ , $A C = 8 (H .4.19) .$ Hãy tính cạnh BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) và các góc B, C (làm tròn đến độ).

Hình/bảng: Hình 4.19: Tam giác vuông ABC tại A, AB=5, AC=8.

Lời giải

Giải. Xét $△ A B C$ vuông tại A.
Cách 1. Theo định lí Pythagore, ta có:
$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{5^{2} + 8^{2}} \approx 9, 4$
Ta có tan $C = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{8} = 0, 625.$ Từ đó tìm được $\hat{C} \approx 32^{\circ},$
suy ra $\hat{B} = 90^{\circ} - \hat{C} \approx 90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ} .$

Cách 2. Sau khi tìm được $\hat{C} \approx 32^{\circ}$ , ta tính cạnh BC.
Ta có sin $32^{o} \approx \sin C = \frac{A β}{β C} = \frac{5}{β C}$ suy ra $B C \approx \frac{5}{\sin 32^{\circ}} \approx 9, 4.$

Luyện tập 3

Dạng bài: Giải tam giác vuông

Cho tam giác vuông ABC có cạnh góc vuông $A B = 4$ , cạnh huyền $B C = 8.$ Tính cạnh AC (làm tròn đến số thập phân thứ ba) và các góc B, C (làm tròn đến độ).

Ví dụ 4

Cho tam giác ABC vuông tại A có $A B = 3$ , $\hat{B} = 42^{\circ} (H .4.20)$ . Tính góc C và các cạnh AC, BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Hình/bảng: Hình 4.20: Tam giác vuông ABC tại A, AB=3, góc B=42 độ.

Lời giải

Giải
Xét $△ A B C$ vuông tại A.
Ta có: $\hat{C} = 90^{\circ} - \hat{B} = 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ};$
$A C = A B \cdot \tan B = 3 \cdot \tan 42^{\circ} \approx 2, 701$ .
Theo định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
$\cos B = \frac{A B}{B C}$ , suy ra $B C = \frac{A B}{\cos B} = \frac{3}{\cos 42^{\circ}} \approx 4, 037.$

Giải tam giác vuông là gì?
Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là bài toán Giải tam giác vuông.

Ví dụ 3, Luyện tập 3 và Ví dụ 4 là những bài toán Giải tam giác vuông.

1.

Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết hai cạnh $A B = c,$ $A C = b$ hoặc $A B = c,$ $B C = a v \overset{ˋ}{a}$ không sử dụng định lí Pythagore (H.4.21).

Hình/bảng: Hình 4.21: Tam giác vuông ABC tại A, cạnh huyền BC=a, cạnh AC=b, cạnh AB=c.

2.

Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết cạnh góc vuông AB (hoặc cạnh huyền BC) và góc B.

Luyện tập 4

Dạng bài: Giải tam giác vuông

Giải tam giác ABC vuông tại A, biết $B C = 9$ , $\hat{C} = 53^{\circ} .$

Vận dụng

Giải bài toán ở tình huống mở đầu với $α = 27^{\circ}$ và $β = 19^{\circ}$

Bài tập

4.8

Dạng bài: Giải tam giác vuông

Giải tam giác ABC vuông tại A có $B C = a,$ $A C = b,$ $A B = C,$ trong các trường hợp:
a) $a = 21$ $b = 18$
b) $b = 10$ , $\hat{C} = 30^{\circ};$
c) $c = 5,$ $b = 3$ .

4.9

Dạng bài: Tính góc nghiêng

Tính góc nghiêng $α$ của thùng xe chở rác trong Hình 4.22.

Hình/bảng: Hình 4.22: Xe chở rác với thùng nghiêng, chiều cao thùng 4m, chiều dài đáy 5m, góc nghiêng alpha.

4.10

Dạng bài: Tính góc và chiều rộng

Tìm góc nghiêng $α$ và chiều rộng AB của mái nhà kho trong Hình 4.23.

Hình/bảng: Hình 4.23: Mái nhà kho với chiều cao 0.9m, chiều dài 15m, góc nghiêng alpha.

4.11

Dạng bài: Tính góc trong hình thoi

Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài $2 \sqrt{3}$ và 2.

4.12

Dạng bài: Giải bài toán hình thang

Cho hình thang ABCD (AD // BC) có $A D = 16 c m$ , $B C = 4 c m v \overset{ˋ}{a}$ $\hat{A} = \hat{B} = \hat{A C D} = 90^{\circ} .$
a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh $\overline{A D C} = \overline{A C E}$ . Tính sin của các góc $\overline{A D C}$ , $\overline{A C E}$ và suy ra $A C^{2} = A E \cdot A D$ . Từ đó tính AC.
b) Tính góc D của hình thang.

4.13

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Một người đứng tại điểm A, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt đất tại điểm B là 1,2 m, nhìn thấy hình phản chiếu qua gương B của ngọn cây (cây có gốc ở tại điểm C cách B là 4,8 m, B nằm giữa A và C). Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là 1,65 m. Tính chiều cao của cây (H.4.24).

Hình/bảng: Hình 4.24: Sơ đồ người nhìn cây qua gương, với các khoảng cách 1.2m, 4.8m và chiều cao mắt 1.65m.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, $A B = 5 c m,$ $A C = 12 c m .$
a) Tính các tỉ số lượng giác của góc B.
b) Từ kết quả câu a) suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.

Hình/bảng: Hình 4.25: Tam giác vuông ABC tại A, AB=5cm, AC=12cm.

Lời giải

Giải (H.4.25)
a) Xét tam giác ABC vuông tại A. Theo định lí Pythagore, ta có
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169$ suy ra $B C = 13 c m .$
Ta có: $\sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{12}{13},$ $\cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{13}$ $\tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{12}{5},$ cot $B = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{12}$
b) Do $\hat{B} + \hat{C} = 90^{\circ}$ nên $\sin C = \cos B = \frac{5}{13},$ $\cos C = \sin B = \frac{12}{13};$ $\tan C = \cot B = \frac{5}{12};$
$\cot C = \tan B = \frac{12}{5} .$

Ví dụ 2

Một bức tường đang xây dỡ có dạng hình thang vuông ABCD, vuông góc ở A và D, $A B = 1 m,$ $C D = 4 m$ , $A D = 6 m$ .
a) Hỏi góc $α$ tạo bởi đường thẳng BC và mặt đất AD có số đo xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến phút)? (H.4.26)
b) Tính độ dài cạnh BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hình/bảng: Hình 4.26: Hình thang vuông ABCD, AB=1m, CD=4m, AD=6m. Kẻ BE vuông góc CD.

Lời giải

Giải
a) Gọi $α$ là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD (mặt đất) cắt CD ở E thì khi đó $\hat{E B C} = \hat{D I C} = α$ (hai góc đồng vị).
Tứ giác ABED có $B E ∣ ∣ A D$ $A B / / D E,$ $\hat{A} = 90^{\circ}$ nên ABED là hình chữ nhật.
Do đó $B E = A D = 6 m$ , $E C = C D - E D = 4 - 1 = 3 (m) .$
Xét $△ B C E$ vuông tại E, ta có tan $α = \tan \hat{E B C} = \frac{E C}{B E} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} .$
Từ đó tính được $α \approx 26^{\circ} 34^{'}$
b) Cách 1. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BEC vuông tại E, ta có:
$B C^{2} = B E^{2} + E C^{2} = 6^{2} + 3^{2} = 45$ Suy ra $B C = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} \approx 6, 7$ (m)
Cách 2. Tam giác BEC vuông tại E nên $E C = B C \cdot \sin α$ .
suy ra $B C = \frac{E C}{\sin α} = \frac{3}{\sin 26^{\circ} 34^{'}} \approx 6, 7$ (m).

Bài tập

4.14

Dạng bài: Tính góc và tỉ số lượng giác trong hình chữ nhật

Một cuốn sách khổ $17 \times 24$ cm, tức là chiều rộng 17 cm, chiều dài 24 cm. Gọi $α$ là góc giữa đường chéo và cạnh 17 cm. Tính sin $α$ , cos $α$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) và tính số đo $α$ (làm tròn đến độ).

4.15

Dạng bài: Giải tam giác

Cho tam giác ABC có chân đường cao AH nằm giữa B và C. Biết $H B = 3$ cm, $H C = 6$ cm, $\hat{H A C} = 60^{\circ} .$ Hãy tính độ dài các cạnh (làm tròn đến cm), số đo các góc của tam giác ABC (làm tròn đến độ).

4.16

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Tìm chiều rộng d của dòng sông trong Hình 4.27 (làm tròn đến m).

Hình/bảng: Hình 4.27: Sơ đồ đo chiều rộng sông d, với các góc 40 độ và khoảng cách 50m.

4.17

Dạng bài: Tính toán trong tam giác vuông

Tính các số liệu còn thiếu (dấu "?") ở Hình 4.28 với góc làm tròn đến độ, với độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

Hình/bảng: Hình 4.28: Bốn hình tam giác vuông với các cạnh và góc có giá trị đã cho hoặc dấu hỏi.

4.18

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Một bạn muốn tính khoảng cách giữa hai địa điểm A, B ở hai bên hồ nước. Biết rằng các khoảng cách từ một điểm C đến A và đến B là $C A = 90 m$ , $C B = 150$ m và $\hat{A C B} = 120^{\circ} (H .4.29)$ Hãy tính AB giúp bạn.

Hình/bảng: Hình 4.29: Sơ đồ đo khoảng cách AB qua hồ nước, với điểm C, CA=90m, CB=150m, góc ACB=120 độ.

4.19

Dạng bài: Giải bài toán hình thang

Mặt cắt ngang của một đập ngăn nước có dạng hình thang ABCD (H.4.30). Chiều rộng của mặt trên AB của đập là 3 m. Độ dốc của sườn AD, tức là tan $D = 1, 25$ . Độ dốc của sườn BC, tức là tan $C = 1, 5$ . Chiều cao của đập là 3,5 m. Hãy tỉnh chiều rộng CD của chân đập, chiều dài của các sườn AD và BC (làm tròn đến dm).

Hình/bảng: Hình 4.30: Mặt cắt ngang đập ngăn nước hình thang ABCD, AB=3m, chiều cao 3.5m.

4.20

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Trong một buổi tập trận, một tàu ngầm đang ở trên mặt biển bắt đầu di chuyển theo đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc $21^{\circ}$ để lặn xuống (H.4.31).
a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 200 m thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước biển? (làm tròn đến m).
b) Giả sử tốc độ của tàu là $9 k m / h$ thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 200 m (tức là cách mặt nước biển 200 m)?

Hình/bảng: Hình 4.31: Sơ đồ tàu ngầm lặn xuống dưới mặt biển với góc 21 độ.

4.14.

Một cuốn sách khổ 17 x 24 cm, tức là chiều rộng 17 cm, chiều dài 24 cm. Gọi $α$ là góc giữa đường chéo và cạnh 17 cm. Tính $\sin α$ , $\cos α$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) và tính số đo $α$ (làm tròn đến độ).

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 74–80).