Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết sin, côsin, tang, côtang của góc nhọn.
Giải thích bằng tỉ số lượng giác của các góc $30^{\circ},$ $45^{\circ}$ , $60^{\circ} .$
Giải thích quan hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
Biết dùng máy tính cầm tay để tính sin, côsin, tang, côtang của một góc nhọn.

Thuật ngữ: tỉ số lượng giác của góc nhọn · Sin, côsin, tang, côtang

Trong chương này ta xét các tỉ số hai độ dài hai cạnh của một tam giác vuông. Ta sẽ thấy các tỉ số này đặc trưng cho độ lớn của hai góc nhọn của tam giác vuông đó. Nói cách khác, nếu biết được mỏi tỉ số này, ta sẽ biết được độ lớn của hai góc nhọn.

Khái niệm, thuật ngữ

Ta có thể xác định “góc dốc" $α$ của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h không? (H.4.1).
(Trong các toà chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn $6^{\circ}$ ).

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Cho tam giác ABC vuông tại A. Xét góc nhọn B. Cạnh AC gọi là cạnh đối của góc B, cạnh AB gọi là cạnh kế của góc B (H.4.2).

Xét góc C của tam giác ABC vuông tại A (H.4.3). Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kế của góc C.

Khái niệm sin, côsin, tang, côtang của góc nhọn $\alpha$

HĐ1

Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ vuông tại $A^{'}$ có $\hat{B} = \hat{B^{'}} = α .$
Chứng minh rằng:
a) $△ A B C \Leftrightarrow △ A^{'} B^{'} C^{'};$
b) $\frac{A C}{B C} = \frac{A^{'} C^{'}}{B^{'} C^{'}}; \frac{A B}{B C} = \frac{A^{'} B^{'}}{B^{'} C^{'}}; \frac{A C}{A B} = \frac{A^{'} C^{'}}{A^{'} B^{'}}; \frac{A B}{A C} = \frac{A^{'} B^{'}}{A^{'} C^{'}} .$

Nhận xét. Trong Hình 4.4, các tam giác vuông có cùng một góc nhọn $α$ là đồng dạng với nhau. Vì vậy các tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền (cạnh kế và cạnh huyền), cạnh đối và cạnh kế (cạnh kế và cạnh đối) của góc nhọn $α$ là như nhau, cho dù độ dài các cạnh đối (các cạnh kể) của góc $α$ và các cạnh huyền có thể khác nhau với từng tam giác.

Cho góc nhọn $α$ . Xét tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng $α$ . (H.4.5). Ta có:

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của $α$ , kí hiệu sin $α$ .
Tỉ số giữa cạnh kế và cạnh huyền gọi là côsin của $α$ , kí hiệu cos $α$ .
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kể của góc $α$ gọi là tang của $α$ , kí hiệu tan $α$ .
Tỉ số giữa cạnh kể và cạnh đối của góc $α$ gọi là côtang của $α$ , kí hiệu cot $α$ .

Chú ý.

Ta có:
$\sin α = \frac{c a n h đ \overset{ˊ}{\hat{o}} i}{c a n h h u y \hat{e} n}$
$\cos α = \frac{c a n h k \hat{e}}{c a n h h u y \hat{e} n}$
$\tan α = \frac{c a n h đ \overset{ˊ}{\hat{o}} i}{c a n h k \hat{e}}; \cot α = \frac{c a n h k \hat{e}}{c a n h đ \overset{ˊ}{\hat{o}} i}$
$\cot α = \frac{1}{\tan α} .$
sin $α$ , cos $α$ , tan $α$ , cot $α$ gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn $α$ .

sin, côsin của góc nhọn luôn dương và bé hơn 1 vì trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất.

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, có $A B = 3 c m$ , $A C = 4$ cm (H.4.6).
Hãy tính các tỉ số lượng giác sin $α$ , cos $α$ , tan $α$ với $α = \hat{B}$

Hình/bảng: Hình 4.6: Tam giác vuông ABC tại A, AB=3cm, AC=4cm, góc B là alpha.

Lời giải

Xét $△ A B C$ vuông tại A, $\hat{B} = α .$
Theo Định lí Pythagore, ta có:
$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25$ nên $B C = 5$ (cm).
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, ta có
$\sin α = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{5}$ $\cos α = \frac{A B}{B C} = \frac{3}{5}$ , $\tan α = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{3} .$

sin $α$ còn được viết là sin B hay sin B. Tương tự cho cos $α$ , tan $α$ và cot $α$ .

Luyện tập 1

Dạng bài: Tính tỉ số lượng giác

Cho tam giác ABC vuông tại A có $A B = 5$ cm, $A C = 12 c m$
Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc $30^{\circ},$ $45^{\circ}$, $60^{\circ}$

HĐ2

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và $A B = A C = a (H .4.7 a)$ .
a) Hãy tính BC và các tỉ số $\frac{A B}{B C}, \frac{A C}{B C} .$
Từ đó suy ra $\sin 45^{\circ}$ , $\cos 45^{\circ}$
b) Hãy tính các tỉ số $\frac{A B}{A C}$ và $\frac{A C}{A B}$ Từ đó suy ra $\tan 45^{\circ}$ $\cot 45^{\circ}$

Hình/bảng: Hình 4.7a: Tam giác vuông cân ABC tại A, AB=AC=a, góc B và C là 45 độ.

HĐ3

Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a.
a) Tính đường cao AH của tam giác ABC (H.4.7b).
b) Tính sin $30^{\circ}$ $\cos 30^{\circ}$ $\sin 60^{\circ}$ và cos $60^{\circ}$
c) Tính tan $30^{\circ}$ $\cot 30^{\circ}$ $\tan 60^{\circ}$ và $\cot 60^{\circ}$

Hình/bảng: Hình 4.7b: Tam giác đều ABC, cạnh 2a, đường cao AH, góc B là 60 độ, góc BAH là 30 độ.

Từ HĐ2 và HĐ3, ta có bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\alpha & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} \\
\hline
sin~\alpha & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\hline
cos~\alpha & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\
\hline
tan~\alpha & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \\
\hline
cot~\alpha. & \sqrt{3} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} \\
\hline
\end{array}

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{C} = 30^{\circ}$ và $B C = a (H .4.8) .$ Tính các cạnh AB, AC theo a.

Hình/bảng: Hình 4.8: Tam giác vuông ABC tại A, cạnh huyền BC=a, góc C=30 độ.

Lời giải

Ta có $\sin C = \frac{A B}{B C}$ suy ra $A B = B C \cdot \sin C = a \cdot \sin 30^{\circ} .$
Theo bảng trên, $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ nên $A B = \frac{a}{2}$
Tương tự, ta có $\cos C = \frac{A C}{B C}$ , suy ra $A C = B C \cdot \cos C = a \cdot \cos 30^{\circ} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Luyện tập 2

Dạng bài: Tính cạnh trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{C} = 45^{\circ}$ và $A B = C .$ Tính BC và AC theo c.

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

HĐ4

Cho tam giác ABC vuông tại C, có $\hat{A} = α$ $\hat{B} = β$ (H.4.9). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc $α$ , $β$ theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Hình/bảng: Hình 4.9: Tam giác vuông ABC tại C, góc A là alpha, góc B là beta.

Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Chú ý.

Cho $α$ và $β$ là hai góc phụ nhau (H.4.9), khi đó:
$\sin α = \cos β$ $\cos α = \sin β$ , $\tan α = \cot β$ , $\cot α = \tan β$ .

Về số đo, hai góc phụ nhau có thể coi là hai góc nhọn của một tam giác vuông.

Ví dụ 3

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn $45^{\circ}$ :
$\sin 60^{\circ}$ $\cos 75^{\circ}$ $\sin 52^{o} 30^{'},$ $\tan 80^{\circ},$ $\cot 82^{\circ}$

Lời giải

Ta có:
$\sin 60^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 30^{\circ};$
$\cos 75^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 75^{\circ}) = \sin 15^{\circ};$
$\sin 52^{\circ} 30^{'} = \cos (90^{\circ} - 52^{\circ} 30^{'}) = \cos 37^{\circ} 30^{'};$
$\tan 80^{\circ} = \cot (90^{\circ} - 80^{\circ}) = \cot 10^{\circ};$
$\cot 82^{\circ} = \tan (90^{\circ} - 82^{\circ}) = \tan 8^{\circ} .$

Luyện tập 3

Dạng bài: Giải thích quan hệ tỉ số lượng giác

Hãy giải thích tại sao sin $35^{\circ} = \cos 55^{\circ}$ tan $35^{\circ} = \cot 55^{\circ} .$

3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Về số đo góc, dưới đơn vị độ ( $\circ$ ) còn có các đơn vị phút ( $'$ ) và giây ( $''$ ) với $1^{\circ} = 60^{'}$ , $1^{'} = 60^{''}$ .

Ví dụ 4

Dùng MTCT, tính sin $27^{\circ}$ , $\cos 32^{\circ} 15^{'}$ , tan $52^{\circ} 12^{'}$ và cot $35^{\circ} 23^{'}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Hình/bảng: Bảng hướng dẫn bấm phím máy tính cầm tay để tính sin, cos, tan, cot của các góc.

Lời giải

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba ta được sin $27^{\circ} \approx 0, 454$ ; $\cos 32^{\circ} 15^{'} \approx 0, 846;$
tan $52^{\circ} 12^{'} \approx 1, 289;$ cot $35^{\circ} 23^{'} \approx 1, 408$ .

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Để tính} & \text{Bấm phím} & \text{Kết quả} \\
\hline
sin~27^{\circ} & \text{sin 27 }\fbox{=}\text{} & 0,4539904997 \\
\hline
cos~32^{\circ}15^{\prime} & \text{COS 32 }\fbox{\circ'"}\text{ 15 }\fbox{\circ'"}\text{ }\fbox{=}\text{} & 0,8457278217 \\
\hline
tan~52^{\circ}12^{\prime} & \text{tan 5 2 }\fbox{\circ'"}\text{ 12 }\fbox{\circ'"}\text{ }\fbox{=}\text{} & 1,289192232 \\
\hline
cot~35^{\circ}23^{\prime} & \text{tan 35 }\fbox{\circ'"}\text{ 23 }\fbox{\circ'"}\text{ }\fbox{x^{-1}}\text{ }\fbox{=}\text{} & 1,408003909 \\
\hline
\end{array}

Lưu ý, $\cot 35^{\circ} 23^{'} = \frac{1}{\tan 35^{\circ} 23^{'}} .$

Nhận xét.

Để tính cot $35^{\circ} 23^{'}$ ta có thể tính trực tiếp như trên, hoặc có thể tìm góc phụ với góc $35^{\circ} 23^{'}$ là $54^{\circ} 37^{'}$ rồi dùng MTCT tính tan $54^{\circ} 37^{'}$ và suy ra kết quả.

Luyện tập 4

Dạng bài: Sử dụng MTCT tính tỉ số lượng giác

Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:
a) $\sin 40^{\circ} 54^{'}$
c) tan $69^{\circ} 36^{'}$ ;
b) $\cos 52^{\circ} 15^{'}$ ;
d) $\cot 25^{\circ} 18^{'}$ .

Chú ý.

Sử dụng MTCT, ta còn có thể tìm được góc khi biết một trong các tỉ số lượng giác của góc đó.

Ví dụ 5

Dùng MTCT, tìm các góc (làm tròn đến phút) biết sin $α_{1} = 0, 3214$ cos $α_{2} = 0, 4321$ , tan $α_{3} = 1, 2742$ và cot $α_{4} = 1, 5384$

Hình/bảng: Bảng hướng dẫn bấm phím máy tính cầm tay để tìm góc khi biết tỉ số lượng giác.

Lời giải

Làm tròn đến phút ta được $α_{1} \approx 18^{\circ} 45^{'}$ ; $α_{2} \approx 64^{\circ} 24^{'}$ ; $α_{3} \approx 51^{\circ} 52^{'}$ ; $α_{4} \approx 33^{\circ} 1^{'}$ .

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Biết} & \text{Bấm phím} & \text{Kết quả} & \text{Bấm tiếp} \\
\hline
sin~\alpha_{1}=0,3214 & \text{SHIFT sin }\fbox{0}\text{ }\fbox{3}\text{ }\fbox{2}\text{ }\fbox{1}\text{ }\fbox{4}\text{ }\fbox{=}\text{} & 18,74761209 & 18^{\circ}44^{\prime}51,4^{\prime\prime} \\
\hline
cos~\alpha_{2}=0,4321 & \text{SHIFT COS }\fbox{0}\text{ }\fbox{4}\text{ }\fbox{3}\text{ }\fbox{2}\text{ }\fbox{1}\text{ }\fbox{=}\text{} & 64,39909458 & 64^{\circ}23^{\prime}56,74^{\prime\prime} \\
\hline
tan~\alpha_{3}=1,2742 & \text{SHIFT tan }\fbox{1}\text{ }\fbox{2}\text{ }\fbox{7}\text{ }\fbox{4}\text{ }\fbox{2}\text{ }\fbox{=}\text{} & 51,87495892 & 51^{\circ}52^{\prime}29,85^{\prime\prime} \\
\hline
cot~\alpha_{4}=1,5384 & \text{SHIFT tan }\fbox{1}\text{ }\fbox{/}\text{ }\fbox{1}\text{ }\fbox{5}\text{ }\fbox{3}\text{ }\fbox{8}\text{ }\fbox{4}\text{ }\fbox{=}\text{} & 33,02491482 & 33^{\circ}1^{\prime}29,69^{\prime\prime} \\
\hline
\end{array}

Chú ý.

Để tìm góc $α$ khi biết cot $α$ , ta có thể tìm góc $(90^{\circ} - α)$ (vì tan $(90^{\circ} - α) = \cot α)$ rồi suy ra $α$ .

Luyện tập 5

Dạng bài: Sử dụng MTCT tìm góc

Dùng MTCT, tìm các góc $α$ (làm tròn đến phút), biết:
a) sin $α$ = 0,3782;
c) tan $α$ =2,154;
b) $\cos α = 0, 6251$ ;
d) $\cot α = 3, 253$

Vận dụng

Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một toà chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh toà nhà dài 4 m, độ cao của đỉnh dốc bằng 0,4 m.
a) Hãy tính góc dốc.
b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn không?

12 Tranh luận

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A, B không đo trực tiếp được, chẳng hạn A và B là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm C về phía bờ sông có chứa B sao cho tam giác ABC vuông tại B. Ở bên bờ sông chứa B, người ta đo được $\hat{A C B} = α .$ và $B C = a (H .4.10)$ . Với các dữ liệu đó, đã tính được khoảng cách AB chưa? Nếu được, hãy tính AB, biết $α = 55^{\circ}$ $a = 70$ m.

Hình/bảng: Hình 4.10: Tam giác vuông ABC tại B, góc C là alpha, cạnh BC là a.

Không thể tính được AB vì trong tam giác vuông ABC, theo định lí Pythagore, phải biết được hai cạnh mới tính được cạnh thứ ba.

Với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách AB rồi.

Em hãy cho biết ý kiến của mình.

Bài tập

4.1

Dạng bài: Tính tỉ số lượng giác

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn B và C khi biết:
a) $A B = 8$ cm, $B C = 17$ cm;
b) $A C = 0, 9$ cm, $A B = 1, 2$ cm.

4.2

Dạng bài: Tính cạnh trong tam giác vuông

Cho tam giác vuông có một góc nhọn $60^{\circ}$ và cạnh kể với góc $60^{\circ}$ bằng 3 cm. Hãy tính cạnh đối của góc này.

4.3

Dạng bài: Tính cạnh trong tam giác vuông

Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng $30^{\circ}$ và cạnh đối với góc này bằng 5 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

4.4

Dạng bài: Tính góc trong hình chữ nhật

Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 3 và $\sqrt{3}$ . Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69).

4.5

Dạng bài: Chuyển đổi và tính tỉ số lượng giác

a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn $45^{\circ} :$
sin $55^{\circ}$ , $\cos 62^{\circ}$ , tan $57^{\circ}$ , $\cot 64^{\circ}$ .
b) Tính $\frac{\tan 25^{\circ}}{\cot 65^{\circ}}$ tan $34^{\circ}$ -cot $56^{\circ}$ .

4.6

Dạng bài: Sử dụng MTCT tính tỉ số lượng giác

Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):
a) sin $40^{\circ} 12^{''}$ ;
c) tan $63^{\circ} 36^{'}$ ;
b) $\cos 52^{\circ} 54^{'}$
d) $\cot 25^{\circ} 18^{'}$ .

4.7

Dạng bài: Sử dụng MTCT tìm góc

Dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng:
a) $\sin x = 0, 2368$ ;
c) $\tan x = 1, 236$
b) $\cos x = 0, 6224,$
d) $\cot x = 2, 154$ .

EM CÓ BIẾT? (Đọc thêm)

LỊCH SỬ RA ĐỜI CÁC TỪ sin, côsin, tang, côtang
Ở thế kỉ II, nhà thiên văn người Hy Lạp Ptolemy $(85 - 165)$ đã nghiên cứu mối liên hệ giữa độ dài cung tròn và dây căng cung tròn đó. Sau đó, những nhà thiên văn người Hindu đã nghiên cứu mối liên hệ giữa bán cung và nửa dây, gọi dây căng cung là jiva. Nhà thiên văn người Ả Rập Al-Battani $(850 - 929)$ đã phiên âm jiva thành djiba mà nghĩa đen là "nếp gấp". Đến năm 1150, nhà phiên dịch người Ý Gerard de Cremone $(1114 - 1187)$ dịch djiba sang tiếng Latinh thành sinus viết tắt là sin (trên hình: ( ) là đường tròn bán kính bằng 1, P là điểm chính giữa của cung nhỏ MN, H là trung điểm của dây MN, khi đó sin $\hat{M O P} = H M ⟩$ .
Năm 1583, nhà vật lí và toán học người Đức Thomas Finck đã đưa vào từ "tang" (trong từ ngữ khoa học Ả Rập, chữ tang có nghĩa là bóng của một vật) và các kí hiệu sin.com, tan.com (chữ com là viết tắt của chữ complemantary, ý nói góc phụ). Mài 40 năm sau, người ta mới dùng kí hiệu côsin, côtang thay cho sin.com, tan.com.
(theo Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Seuil, Pháp, 1992)

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 66–73).