Hoạt động thực hành trải nghiệm

Giới thiệu một vài ứng dụng đơn giản của hàm số bậc nhất trong tài chính.

Hàm số bậc nhất được sử dụng trong nhiều vấn đề của cuộc sống. Trong những tình huống đơn giản, hàm chi phí trong sản xuất hoặc tiêu dùng một loại hàng hoá, hàm cung và hàm cầu của một mặt hàng là những hàm số bậc nhất. Trong bài này, chúng ta sẽ tìm hiểu một vài mô hình đơn giản trong tài chính liên quan đến hàm số bậc nhất.

• Thu thập số liệu về giá cước của một số gói dịch vụ truyền hình, gói internet phổ biến.

• Thu thập số liệu về giá tiền và công suất tiêu thụ điện của một số loại ti vi, tủ lạnh phổ biến dành cho gia đình.

• Máy tính cầm tay.

Chia lớp thành bốn nhóm và thực hiện lần lượt các bước sau:

Bước 1. Các nhóm thực hiện HĐ1 và HĐ2 dưới đây để tìm hiểu về cách xây dựng công thức của hàm chi phí và phương pháp khấu hao đường thẳng.

Chi phí sử dụng truyền hình cáp của hai công ty dịch vụ truyền hình A và B như sau:

Trong lí thuyết tài chính, giá trị sổ sách là giá trị của một tài sản mà công ty sử dụng để tạo ra bảng cân đối kế toán của mình. Một số công ty khấu hao tài sản của họ bằng cách sử dụng khấu hao đường thẳng để giá trị của tài sản giảm một lượng cố định mỗi năm. Mức suy giảm phụ thuộc vào thời gian sử dụng hữu ích mà công ty đặt vào tài sản.

Giả sử rằng một hãng taxi vừa mua một số ô tô để chạy dịch vụ với chỉ phí là 480 triệu đồng một chiếc. Công ty chọn khấu hao từng chiếc xe theo phương pháp khấu hao đường thẳng trong vòng 8 năm. Điều này có nghĩa là mỗi chiếc xe sẽ giảm giá 480 : $8=60$ triệu đồng mỗi năm.

Bước 2. Sử dụng các thông tin ở phần Chuẩn bị, mỗi nhóm lựa chọn một tình huống thực tế liên quan đến việc lựa chọn sản phẩm hoặc dịch vụ. Sau đó sử dụng kiến thức đã tiếp thu ở Bước 1 để ước tính chi phí khi sử dụng, từ đó có phương án lựa chọn hợp lí. Cuối cùng, các nhóm trình bày kết quả trước lớp. Khi xây dựng tình huống vận dụng thực tiễn, các nhóm có thể tham khảo các yêu cầu trong Vận dụng sau:

Bác An dự định mua một chiếc tủ lạnh loại 150 lít của hãng A, có công suất $1kWh\mathrm{/}ng\dot{a}y$ với giá 5 000 000 đồng và dự định sẽ sử dụng nó trong vòng 10 năm.

• Ứng dụng định li Thalès để đo chiều cao của ngọn cây (toà nhà, toà tháp).

Ứng dụng định li Pythagore và tam giác đồng dạng để đo khoảng cách những điểm không tới được.

• Cọc thẳng cắm được trên mặt đất hoặc dựng đứng được, thước ngắm thẳng gắn ở trên cọc có thể quay được, thước dây, thước kẻ.

• Giấy, bút, máy tính cầm tay.

• Địa điểm thực hiện: sân trường, nơi dã ngoại.

• Chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm từ 6 đến 8 học sinh.

• Dựng cọc AC thẳng đứng trên mặt đất, chỉnh cho thước ngắm đi qua đỉnh $C^{\mathrm{\prime }}$ của ngọn cây.

• Xác định giao điểm B của đường thẳng đi qua CC' (chứa thước ngắm) với mặt đất.

• Gọi A là gốc cây thì $AC\mathrm{/}\mathrm{/}{A}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$. Theo định lí Thalès ta có: $\frac{AC}{A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}=\frac{BA}{B{A}^{\mathrm{\prime }}}$

• Đo các khoảng cách AC, BA', BA và tính chiều cao A'C' của cây theo công thức: $A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}=\frac{AC\cdot B{A}^{\mathrm{\prime }}}{BA}\mathrm{.}$

Các nhóm cùng đo chiều cao của một cây nhưng ở các vị trí khác nhau và so sánh kết quả với nhau.

• Giác kế ngang (dụng cụ đo góc trên mặt đất), thước dây.

• Địa điểm thực hiện: sân trường, dã ngoại.

Hướng dẫn đo khoảng cách từ vị trí đang đứng (điểm A) đến vị trí khó đi đến được (điểm B) theo một trong hai phương pháp sau:

• Dùng giác kế chọn một điểm C sao cho AC vuông góc AB, chọn điểm D trên đường thẳng BC sao cho AD vuông góc BC.

Diện tích tam giác ABC bằng $\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{AD\cdot BC}{2}\mathrm{.}$

Do đó $A{D}^2=\frac{A{B}^2\cdot A{C}^2}{B{C}^2}=\frac{A{B}^2\cdot A{C}^2}{A{B}^2+A{C}^2}\mathrm{.}$

Suy ra $A{B}^2=\frac{A{C}^2\cdot A{D}^2}{A{C}^2-A{D}^2}\mathrm{.}$

• Đo độ dài các đoạn thẳng AC, AD và tính ra kết quả độ dài đoạn thẳng AB.

• Lấy một điểm E tuỳ ý khác điểm A và không nằm trên đường thẳng AB.

• Sử dụng giác kế xác định số đo các góc $\overline{BAE}$ và $\overline{BEA}$.

• Vẽ lên giấy tam giác $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}$ có các góc $A^{\mathrm{\prime }}$ và $E^{\mathrm{\prime }}$ tương ứng bằng các góc A và E của tam giác ABE.

Như vậy tam giác $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}$ đồng dạng với tam giác ABE. Suy ra $\frac{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}{AB}=\frac{A^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}}{AE}$

• Đo độ dài đoạn thẳng AE bằng thước dây và độ dài các đoạn thẳng $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$, $A^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}$ bằng thước kẻ.

• Tính độ dài đoạn thẳng AB theo công thức $AB=\frac{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}\cdot AE}{A^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{.}$

Các nhóm khác nhau có thể xác định vị trí các điểm C, D, E khác nhau và so sánh kết quả cuối cùng với nhau.

• Ứng dụng định lí Thalès để đo chiều cao của ngọn cây (toà nhà, toà tháp).

• Ứng dụng định lí Pythagore và tam giác đồng dạng để đo khoảng cách những điểm không tới được.

• Dựng cọc AC thẳng đứng trên mặt đất, chỉnh cho thước ngắm đi qua đỉnh C' của ngọn cây.

• Gọi A là gốc cây thì AC // A'C'. Theo định lí Thalès ta có: $\frac{AC}{A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}=\frac{BA}{B{A}^{\mathrm{\prime }}}$.

• Đo các khoảng cách AC, BA', BA và tính chiều cao A'C' của cây theo công thức: $A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}=\frac{AC\cdot B{A}^{\mathrm{\prime }}}{BA}$.

• Sử dụng giác kế xác định số đo các góc BAE và BEA.

• Vẽ lên giấy tam giác A'B'E' có các góc A' và E' tương ứng bằng các góc A và E của tam giác ABE.

Như vậy tam giác A'B'E' đồng dạng với tam giác ABE. Suy ra $\frac{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}{AB}=\frac{A^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}}{AE}$.

• Đo độ dài đoạn thẳng AE bằng thước dây và độ dài các đoạn thẳng A'B', A'E' bằng thước kẻ.

• Tính độ dài đoạn thẳng AB theo công thức $AB=\frac{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}\cdot AE}{A^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}}$.

Sử dụng phần mềm GeoGebra để tính toán các phép tính trên phân thức đại số, giải phương trình bậc nhất một ẩn và vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất.

Khởi động phần mềm GeoGebra chọn View → Complex Adaptive System (CAS) để thực hiện tính toán các phép tính trên phân thức đại số, giải phương trình bậc nhất một ẩn; chọn Graphics để vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất.

Để rút gọn một phân thức, ta dùng lệnh Simplify(<phân thức>), khi đó kết quả sẽ hiển thị ngay bên dưới.

Để nhập một phân thức, ta gõ tử số trong dấu (), sau đó dùng dấu /, và nhập mẫu.

Để cộng, trừ, nhân các phân thức, tương tự như đối với đa thức, ta cũng nhập các phân thức và các phép toán vào ô lệnh trên cửa sổ CAS. Khi đó máy sẽ thực hiện phép tính và tự động rút gọn kết quả.

Để thực hiện phép chia hai phân thức, ta nhập phân thức thứ nhất, dấu /, rồi nhập phân thức thứ hai. Khi đó máy sẽ thực hiện phép tính và tự động rút gọn kết quả.

Khi nhập phép chia hai phân thức, máy sẽ hiểu là ta tính một phân thức hữu tỉ có tử và mẫu là các phân thức.

Để giải phương trình nói chung, phương trình bậc nhất một ẩn nói riêng, ta dùng lệnh Solve(<phương trình>) hoặc Solutions(<phương trình>) trên ô lệnh của cửa sổ CAS, kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới.

Phương trình nghiệm đúng với mọi x thì kết quả hiển thị là {x}. Phương trình vô nghiệm thì kết quả hiển thị là {}.

Khởi động GeoGebra và chọn View → Graphics để vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất. Khi đó màn hình hiển thị sẵn hệ trục toạ độ đang dưới ô vuông.

Có hai cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất:

Xác định hai điểm thuộc đồ thị hàm số rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Nhập hàm số vào ô lệnh, màn hình sẽ hiển thị đồ thị của hàm số cần vẽ.

Vẽ đồ thị hàm số $y=2x+4$.

Lấy điểm A(0; 4) và điểm B(-2; 0) thuộc đồ thị hàm số $y=2x+4$ bằng cách lần lượt nhập (0, 4) và (-2, 0) vào ô lệnh, màn hình sẽ hiển thị hai điểm A và B trên hệ trục toạ độ.

Trên thanh công cụ, chọn đường thẳng đi qua hai điểm $\overleftrightarrow{AB}$ để vẽ đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A và B.

Nhập $y=2x+4$ trên ô lệnh, màn hình sẽ hiển thị đồ thị của hàm số (H.T.5).

a) $\frac{x^4-x{y}^3}{2x+y^2}+\frac{x^3+x^{2}y+x{y}^2}{2x+y^2}+\frac{y+x}{x}$

a) $4,8-2,5(x+3)=x+0,5(2-6x)$;

b) $2\cdot \left(\frac{4}{5}\right)x=3-(\frac{7}{2}-2x)$.

a) $y=-3x+3$;

b) $y=\frac{1}{2}x-4$.

Mô tả thí nghiệm ngẫu nhiên với phần mềm bảng tính Excel, sử dụng một số hàm cơ bản và tính xác suất thực nghiệm của biến cố để thấy rằng khi số lần thực hiện thí nghiệm càng lớn thì xác suất thực nghiệm càng xấp xỉ tốt cho xác suất.

• Máy tính có cài đặt phần mềm bảng tính Excel.

• Tìm hiểu về cú pháp của hai hàm RANDBETWEEN, VLOOKUP, COUNTIF.

Bài toán: Một túi kín đựng 6 quả bóng có cùng kích thước, trong đó có 3 quả bóng xanh, 2 quả bóng đỏ và 1 quả bóng vàng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong túi 100 lần (có hoàn lại). Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Lấy được quả bóng màu xanh".

(Chuẩn bị dữ liệu):

• Mở phần mềm bảng tính Excel, nhập các giá trị 1; 2; 3; 4; 5; 6 vào các ô A1; A2; A3; A4; A5; A6.

• Nhập ba từ "Xanh”, hai từ “Đỏ”, một từ “Vàng” tương ứng vào các ô B1; B2; B3; B4; B5; B6.

(Thực hiện lấy bóng):

• Trong ô C1 gõ hàm "=RANDBETWEEN(1;6)".

• Trong ô D1 gõ hàm "=VLOOKUP(C1; $A$1:$B$6; 2)".

• Copy công thức của 2 ô C1, D1 bằng cách kéo từ dòng 1 đến dòng 100.

• Kết quả lấy bóng 100 lần được cho trong cột D từ dòng 1 đến dòng 100.

(Tính xác suất thực nghiệm):

• Trong ô E1 ghi “Xác suất thực nghiệm".

• Trong ô E2 nhập hàm "=COUNTIF(D1:D100, "Xanh")/100".

(Giải thích kết quả):

Chẳng hạn ta thu được bảng sau:

A B C D E
1 1 Xanh 6 Vang Xác suất thực nghiệm
2 2 Xanh 1 Xanh 0,53
3 3 Xanh 6 Vang
4 4 Do 1 Xanh
5 5 Do 5 Do
6 6 Vang 4 Do
7 2 Xanh
8 3 Xanh
9 4 Do
10 4 Do

Vậy ở lần 1 ta lấy được quả bóng màu vàng, lần 2 lấy được quả bóng màu xanh,... Kết quả của các lần lấy bóng được cho trong cột D. Sau 100 lần, xác suất thực nghiệm của sự kiện “Lấy được quả bóng màu xanh” là 0,53.

Tăng số lần thực hiện thí nghiệm lên 200; 300;...; 500 và nhận xét về kết quả tính xác suất thực nghiệm so với xác suất.

Một túi kín đựng 8 quả bóng có cùng kích thước, trong đó có 1 quả màu xanh, 2 quả màu vàng, 2 quả màu đỏ và 3 quả màu đen. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong túi 200 lần (có hoàn lại). Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Lấy được quả bóng không phải màu đen".