Bài 26. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một xe máy khởi hành từ một địa điểm ở Hà Nội đi Thanh Hoá lúc 6 giờ với vận tốc 40 km/h. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng xuất phát từ điểm khởi hành của xe máy để đi Thanh Hoá với vận tốc 60 km/h và đi cùng tuyến đường với xe máy. Hỏi vào lúc mấy giờ thì ô tô đuổi kịp xe máy?

Xét bài toán mở đầu.

Các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1. Lập phương trình:

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Giải Gọi số tiền cô Hương dùng để mua trái phiếu doanh nghiệp là x (triệu đồng). Điều kiện: $0\le x\le 500$. Khi đó số tiền cô Hương dùng để mua trái phiếu chính phủ là $500\text{–}x$ (triệu đồng). Số tiền lãi cô Hương thu được từ trái phiếu doanh nghiệp là $0,08x$ (triệu đồng) và số tiền lãi thu được từ trái phiếu chính phủ là $0,05(500\text{–}x)$ (triệu đồng). Theo đề bài, ta có phương trình: $0,08x+0,05(500-x)=35,5$. Giải phương trình: $0,08x+0,05(500-x)=35,5$ $0,08x+25-0,05x=35,5$ $0,08x-0,05x=35,5-25$ $0,03x=10,5$ $x=350$. Giá trị này của x thoả mãn điều kiện của ẩn. Vậy cô Hương đã dùng 350 triệu đồng để mua trái phiếu doanh nghiệp và 150 triệu đồng để mua trái phiếu chính phủ.

Giải Gọi x (g) là khối lượng dung dịch acid nồng độ 60% cần lấy. Điều kiện: $0<x<300$. Khi đó khối lượng dung dịch acid nồng độ 30% là $300-x$ (g). Trong 300 g dung dịch acid nồng độ 50% có: $0,5\cdot 300=150$ (g) acid nguyên chất. Theo đề bài, ta có phương trình: $0,6x+0,3(300\text{–}x)=150$. Giải phương trình: $0,6x+0,3(300-x)=150$ $0,6x+90-0,3x=150$ $0,3x=60$. $x=200$. Giá trị này của x phù hợp với điều kiện của ẩn. Vậy phải lấy 200 g dung dịch acid nồng độ 60% pha với 100 g dung dịch acid nồng độ 30% để được 300 g dung dịch acid nồng độ 50%.

Cước thuê bao hằng tháng (đồng) Giá cước mỗi phút gọi (đồng) Công ty A 32 000 900 Công ty B 38 000 700

a) Gọi x là số phút gọi trong tháng. Hãy biểu thị theo x, số tiền phải trả trong tháng (tính theo nghìn đồng) khi sử dụng mỗi gói cước nói trên.

b) Hỏi với bao nhiêu phút gọi thì số tiền phải trả trong tháng khi sử dụng dịch vụ của hai công ty viễn thông này là như nhau?

Giải $\frac{1}{3}(x-2)-\frac{x-1}{2}=\frac{1}{5}(1-x)$ $\frac{10(x-2)-15(x-1)}{30}=\frac{6(1-x)}{30}$ ← Quy đồng mẫu hai vế $10(x-2)-15(x-1)=6(1-x)$ ← Nhân hai vế với 30 để khử mẫu $10x-20-15x+15=6-6x$ $10x-15x+6x=6+20-15$ ← Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang về trái, các hằng số sang về phải $x=11$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=11$.

Giải Đổi 4,5 triệu đồng = 4 500 nghìn đồng. Gọi x (km) là quãng đường mà bác Hưng đã di chuyển trên chiếc ô tô trong hai ngày đó. Điều kiện: $x>0$. Số tiền bác Hưng phải trả khi di chuyển x kilômét là $10x$ (nghìn đồng). Số tiền phí cố định mà bác Hưng phải trả cho 2 ngày thuê xe là $900\cdot 2=1800$ (nghìn đồng). Theo đề bài, ta có phương trình: $10x+1800=4500$. Giải phương trình: $10x+1800=4500$ $x+180=450$ $x=450-180$ $x=270$. Giá trị này của x thoả mãn điều kiện của ẩn. Vậy trong hai ngày đó, bác Hưng đã di chuyển quãng đường dài 270 km.

Giải Gọi x (g) là lượng bạc người thợ cần thêm vào. Điều kiện: $x>0$. Khối lượng của 10 chiếc nhẫn là $18\cdot 10=180$ (g). Lượng bạc có trong 10 chiếc nhẫn này là $0,1\cdot 180=18$ (g). Khối lượng bạc sau khi thêm x (g) vào là $18+x$ (g) và khối lượng dung dịch nấu chảy là $180+x$ (g). Theo đề bài, ta có phương trình: $18+x=0,25(180+x)$. Giải phương trình: $18+x=0,25(180+x)$ $18+x=45+0,25x$ $0,75x=27$ $x=36$. Giá trị này của x thoả mãn điều kiện của ẩn. Vậy người thợ đó cần thêm 36 g bạc.