Bài 35. Định lí pythagore và ứng dụng

Yêu cầu cần đạt

Giải thích định lí Pythagore.
Tính độ dài cạnh trong tam giác vuông bằng cách sử dụng định lí Pythagore.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gần với việc vận dụng định lí Pythagore.

Thuật ngữ: Định lí Pythagore

Khái niệm, thuật ngữ Kiến thức, kĩ năng

Bác thợ muốn xây một cầu thang bắc từ mặt sàn lên sân thượng. Biết rằng bức tường từ sàn lên sân thượng cao 4 m, chân cầu thang cách bức tường 3m (H.9.31). Hỏi chiều dài của cầu thang là bao nhiêu mét?

Hình 9.31. Hình 9.31: Sơ đồ cầu thang. Bức tường cao 4m, khoảng cách từ chân cầu thang đến tường là 3m.

1. Định lí pythagore

Độ dài ba cạnh trong một tam giác vuông có liên hệ gì với nhau không?

HD1

Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông $A B = 3$ cm, $A C = 4$ cm (H.9.32). Hãy đo độ dài cạnh BC và so sánh hai đại lượng $A B^{2} + A C^{2}$ với $B C^{2}$

Hình/bảng: Hình 9.32: Tam giác vuông ABC tại A. Cạnh AB=3cm, AC=4cm.

HD2

Lấy giấy trắng cắt bốn tam giác vuông bằng nhau. Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của các tam giác vuông này. Cắt một hình vuông bằng tấm bìa có cạnh dài $a + b$ . Dán bốn tam giác vuông lên tấm bìa như Hình 9.33. Dùng ê ke kiểm tra xem phần bìa không bị che lấp có phải là hình vuông cạnh bằng c không. Từ đó tính diện tích phần bìa này theo c. Tổng diện tích bốn tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông a, b là bao nhiêu? Diện tích cả tấm bìa hình vuông cạnh $a + b$ bằng bao nhiêu? So sánh $c^{2} + 2 a b$ với $(a + b)^{2}$ để rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa hai đại lượng $c^{2}$ và $a^{2} + b^{2}$ .

Hình/bảng: Hình 9.33: Một hình vuông lớn cạnh (a+b) được chia thành một hình vuông nhỏ cạnh c ở giữa và bốn tam giác vuông xung quanh.

Định lí Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Chứng minh định lí (H.9.34)

$Δ A B C,$ $\hat{A} = 90^{\circ}$

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} .$

Hình 9.34. Hình 9.34: Tam giác vuông ABC tại A, có đường cao AH.

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Hai tam giác ABC và HBA có: $\hat{B A C} = 90^{\circ} = \hat{B H A},$ B chung. Vậy $△ A B C$ AHBA (g.g). Suy ra $\frac{A B}{H B} = \frac{B C}{A B}$ hay $A B^{2} = H B \cdot B C$ . (1) Tương tự, $△ A B C$ $△ H A C .$ Suy ra $\frac{A C}{H C} = \frac{B C}{A C}$ hay $A C^{2} = H C \cdot B C$ . (2) Từ (1) và (2) suy ra $A B^{2} + A C^{2} = (H B + H C) \cdot B C = B C^{2}$ .

Chú ý.

Người ta cũng chứng minh được định lí sau đây (định lí Pythagore dảo): Nếu tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

Tìm độ dài x và y trong Hình 9.35.

Hình 9.35. Hình 9.35: Hai tam giác vuông. Một tam giác có cạnh huyền x, một cạnh góc vuông 1. Một tam giác có cạnh huyền sqrt(5), một cạnh góc vuông 1, cạnh góc vuông còn lại y.

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC có $A B = 3$ cm, $A C = 4$ cm, $B C = x$ (cm). a) Tính x trong trường hợp tam giác ABC vuông tại B (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). b) $T i m x d \tilde{e}$ tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải

Giải a) Nếu tam giác ABC vuông tại B thì theo định lí Pythagore ta có: $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ , suy ra $3^{2} + x^{2} = 4^{2},$ hay $x = \sqrt{7} .$ Vậy $x \approx 2, 6$ b) Theo định lí Pythagore đảo thì tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ Vậy giá trị x cần tìm thoả mãn $x^{2} = 4^{2} + 3^{2}$ , hay $x = 5$ .

Luyện tập 1

Trên giấy kẻ ô vuông (cạnh ô vuông bằng 1 cm), cho các điểm A, B, C như Hình 9.36. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Hình/bảng: Hình 9.36: Tam giác ABC trên lưới ô vuông.

Vận dụng 1

Trở lại tình huống mở đầu. Xem thành cầu thang như cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC (H.9.37). Từ đó, hãy tỉnh độ dài cạnh BC để suy ra chiều dài cầu thang cần xây.

2. Ứng dụng của định lí pythagore

Tính độ dài đoạn thẳng

Bài toán 1.

Cho tam giác ABC vuông tại A có $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm. Hãy tính độ dài cạnh BC, đường cao AH và các đoạn thẳng BH, CH.

Hình/bảng: Hình 9.38: Tam giác vuông ABC tại A, có đường cao AH. Các cạnh AB=6, AC=8.

Lời giải

Giải. (H.9.38) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC, ta được $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100,$ hay $B C = 10$ (cm). Vì diện tích của tam giác ABC bằng $\frac{A B \cdot A C}{2}$ và cũng bằng $\frac{A H \cdot B C}{2}$ nên $\frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{A H \cdot B C}{2}$ , hay $A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8$ (cm). Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông AHB, ta được: $B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} = 6^{2} - 4, 8^{2} = 12, 96$ hay BH = 3,6 cm. Suy ra $C H = B C - B H = 10 - 3, 6 = 6, 4$ (cm).

Nhận xét.

Nếu tam giác vuông ABC tại A có đường cao $A H = h$ các cạnh $B C = a$ $A C = b$ AB = c thì $h \cdot a = b \cdot c$ .

Luyện tập 2

Cho các tam giác vuông với kích thước như Hình 9.39. Hãy tỉnh độ dài x và cho biết những tam giác nào đồng dạng, viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hình/bảng: Hình 9.39: Ba tam giác vuông. Tam giác ABC có cạnh huyền 13, một cạnh góc vuông 12, cạnh góc vuông còn lại x. Tam giác DEF có cạnh huyền 13, một cạnh góc vuông 5. Tam giác MNP có cạnh huyền 2.5, một cạnh góc vuông 1, cạnh góc vuông còn lại y.

Vận dụng 2

Để đón được một người khách, một xe taxi xuất phát từ vị trí điểm A, chạy dọc một con phố dài 3 km đến điểm B thì rẽ vuông góc sang trái, chạy được 3 km đến điểm C thì tài xế cho xe rẽ vuông góc sang phải, chạy 1 km nữa thì gặp người khách tại điểm D (H.9.40). Hỏi lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khách là bao nhiêu kilômét?

Hình 9.40. Hình 9.40: Sơ đồ đường đi của xe taxi từ A đến D. AB=3km, BC=3km, CD=1km.

Chứng minh tính chất hình học

Bài toán 2.

Một chiếc cột có chiều cao h dựng thẳng đứng trên mặt đất tại điểm M, người ta kéo căng các sợi dây từ đỉnh cột (điểm A) lần lượt đến các điểm C và D trên mặt đất (H.9.41). Biết rằng $C M = c$ , $D M = d$ và $c < d$ . Hãy chứng minh rằng a < b.

Hình/bảng: Hình 9.41: Cột AM cao h. Dây AC=a, AD=b. CM=c, DM=d.

Lời giải

Giải. (H.9.41) Áp dụng định lí Pythagore cho hai tam giác vuông AMC và AMD, ta được: $A C^{2} = A M^{2} + C M^{2}$ hay $a^{2} = h^{2} + c^{2}$ (1) và $A D^{2} = A M^{2} + D M^{2}$ hay $b^{2} = h^{2} + d^{2}$ (2). Vì $c < d$ nên từ (1) và (2) suy ra $a^{2} < b^{2}$ . Do đó $a < b$

Chú ý.

Trong Bài toán 2, nếu gọi AM là đường cao, các đoạn thẳng AC, AD là đường xiên thì đoạn thẳng MC được gọi là hình chiếu của đường xiên AC và đoạn thẳng MD được gọi là hình chiếu của hình xiên AD.

Cho Hình 9.42, trong các đoạn thẳng AC, AD, AE, đoạn nào có độ dài lớn nhất, đoạn nào có độ dài nhỏ nhất?

Hình 9.42. Hình 9.42: Đường thẳng HE với điểm H. Điểm A nằm ngoài đường thẳng. Các đoạn thẳng AC, AD, AE nối A với các điểm trên đường thẳng.

Luyện tập 3

Trước đây chúng ta thừa nhận định lí về trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam giác vuông: “Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau . Áp dụng định lí Pythagore, em hãy chứng minh định lí trên.

$Δ A B C, △ A^{'} B^{'} C^{'}$ $\hat{A} = \hat{A^{'}} = 90^{\circ}$ , $A B = A^{'} B^{'}$ $B C = B^{'} C^{'}$ .

$Δ A B C = Δ A^{'} B^{'} C^{'}$

Hình 9.43. Hình 9.43: Hai tam giác vuông ABC và A'B'C'.

Thử thách nhỏ

Hãy tính chiều cao theo đơn vị centimét của một tam giác đều cạnh 2 cm (H.9.44) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hình 9.44. Hình 9.44: Tam giác đều ABC cạnh 2cm, có đường cao AH.

Bài tập

9.17.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? a) $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ . b) $B C^{2} - A C^{2} = A B^{2} .$ c) $A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$ . d) $B C^{2} - A B^{2} = A C^{2}$ .

9.18.

Những bộ ba số đo nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông? a) 1 cm, 1 cm, 2 cm. b) 2 cm, 4 cm, 20 cm. c) 5 cm, 4 cm, 3 cm. d) 2 cm, 2 cm, $2 \sqrt{2}$ cm.

9.19.

Tính các độ dài x, y, z, t trong Hinh 9.45.

Hình/bảng: Hình 9.45: Bốn tam giác vuông. Tam giác 1: cạnh huyền x, cạnh góc vuông 2, 4. Tam giác 2: cạnh huyền 5, cạnh góc vuông 4, y. Tam giác 3: cạnh huyền z, cạnh góc vuông 2, sqrt(5). Tam giác 4: cạnh huyền sqrt(5), cạnh góc vuông 1, t.

9.20.

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, chiều cao $A H = 3$ cm và cạnh đáy $B C = 10$ cm. Hãy tính độ dài các cạnh bên AB, AC.

9.21.

Hãy tính diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 8 cm và đường chéo dài 17 cm.

9.22.

Chú cún bị xích bởi một sợi dây dài 6 m để canh một mảnh vườn giới hạn bởi các điểm A, B, E, F, D trong hình vuông ABCD có cạnh 5 m như Hình 9.46. Đầu xích buộc cố định tại điểm A của mảnh vườn. Hỏi chú cún có thể chạy đến tất cả các điểm của mảnh vườn mình phải canh không?

Hình/bảng: Hình 9.46: Mảnh vườn hình vuông ABCD cạnh 5m. Các điểm E, F, D trên các cạnh. Chú cún buộc ở A với dây dài 6m.

Vận dụng 2

Hình 9.41. Hình vẽ một cột AM vuông góc với mặt đất, có chiều cao h. Từ đỉnh A có hai sợi dây AC và AD kéo xuống mặt đất. CM = c, DM = d. AC = a, AD = b.

Một hộp thoại màu xanh lá cây với nội dung: Với cùng một đường cao, hình chiếu càng lớn thì đường xiên càng lớn.

9.19

Tính các độ dài x, y, z, t trong Hình 9.45.

Hình 9.45. Hình vẽ gồm nhiều tam giác vuông. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông 4 và cạnh huyền y. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông 4 và cạnh huyền 5. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông x và cạnh huyền 2. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông 2 và cạnh huyền

\sqrt{5}

. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông 1 và cạnh huyền z. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông 1 và cạnh huyền t.

Hình 9.46. Hình vuông ABCD có cạnh 5m. Các điểm E, F nằm trên cạnh BC và CD. AE = 3m, ED = 4m, EF = 2m. Một chú cún được xích tại A với sợi dây dài 6m.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 93–97).