Bài 36. Các trường hợp đồng dạng của hai tam…

Yêu cầu cần đạt

Giải thích các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với việc vận dụng các tam giác vuông đồng dạng.

Nam và Việt muốn đo chiều cao của cột cờ ở sân trường mà hai bạn không trèo lên được. Vào buổi chiều, Nam đo thấy bóng của cột cờ dài 6 m và bóng của Việt dài 70 cm. Nam hỏi Việt cao bao nhiêu, Việt trả lời là cao 1,4 m. Nam liền reo lên: “Tớ biết cột cờ cao bao nhiêu rồi đấy!". Vậy cột cờ cao bao nhiêu và làm sao bạn Nam biết được?Qua bài này, các em sẽ có câu trả lời cho câu hỏi trên.

1 áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

Từ các trường hợp đồng dạng góc – góc và cạnh – góc – cạnh của hai tam giác trong bài trước, ta suy ra hai định lí sau:

Định lí 1

Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Định lí 2

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. $△ A B C$ vuông tại A, $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ vuông tại A'. $∙$ Nếu $\hat{B^{'}} = \hat{B}$ thì $△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A B C$ . $∙$ Nếu $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ thì $△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A B C$ .

Hình 9.47. Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' với góc vuông tại A và A' tương ứng.

Hãy chỉ ra hai cặp tam giác vuông đồng dạng trong Hình 9.48.

Hình 9.48. Hình vẽ gồm nhiều tam giác vuông:

△ C D E

(vuông tại D, góc C = 60 độ),

△ K F G

(vuông tại F, cạnh FG = 6),

△ P M N

(vuông tại M, cạnh PM = 2, góc P = 50 độ),

△ X Z Y

(vuông tại Z, góc X = 60 độ).

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H.Chứng minh rằng:a) $H A \cdot H D = H B \cdot H E = H C \cdot H F$ ;b) $△ A E F \sim △ A B C$ .

Lời giải

Giải. (H.9.49)GT $△ A B C$ , các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại HKL a) $H A \cdot H D = H B \cdot H E = H C \cdot H F$ ;b) $△ A E F \sim △ A B C$ .a) Hai tam giác vuông AHF (vuông tại F) và CHD (vuông tại D) có: $\hat{A H F} = \hat{C H D}$ (hai góc đối đỉnh).Do đó $△ A H F \sim △ C H D$ . Suy ra $\frac{H A}{H C} = \frac{H F}{H D}$ hay $H A \cdot H D = H C \cdot H F$ . (1)Tương tự, vì $\hat{A H E} = \hat{B H D}$ (hai góc đối đỉnh) nên hai tam giác vuông AHE (vuông tại E) và BHD (vuông tại D) đồng dạng với nhau.Suy ra $\frac{H A}{H B} = \frac{H E}{H D}$ hay $H A \cdot H D = H B \cdot H E$ . (2)Từ (1) và (2) suy ra $H A \cdot H D = H B \cdot H E = H C \cdot H F$ .b) Hai tam giác vuông ABE (vuông tại E) và ACF (vuông tại F) có góc $\hat{A}$ chung nên $△ A B E \sim △ A C F$ . Suy ra $\frac{A E}{A F} = \frac{A B}{A C}$ , hay $\frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C}$ .Hai tam giác AEF và ABC có: $\hat{A}$ chung, $\frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C}$ (chứng minh trên).Vậy $△ A E F \sim △ A B C$ (c.g.c).

Hình 9.49. Tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. D trên BC, E trên AC, F trên AB.

Luyện tập 1

Trở lại tình huống mở đầu, ta thấy chiếc cột cùng với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của tam giác ABC vuông tại đỉnh A, bạn Việt và bóng của mình cũng được xem là hai cạnh góc vuông của tam giác A'B'C' vuông tại đỉnh A' (H.9.50). Vì các tia sáng Mặt Trời tạo với hai cái bóng các góc bằng nhau nên $\hat{B} = \hat{B^{'}}$ .a) Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có đồng dạng với nhau không?b) Bạn Nam đã tính chiều cao chiếc cột, tức là độ dài đoạn thẳng AB như thế nào và kết quả là bao nhiêu?

Hình 9.50. Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' mô tả cột và bóng của nó, và người và bóng của người. Góc B và B' là góc tạo bởi tia sáng mặt trời với mặt đất.

Thử thách nhỏ

Một người đo chiều cao của một cái cây bằng cách chôn một chiếc cọc xuống đất, cọc cao 2,4 m và cách vị trí gốc cây 19 m. Người đó đứng cách xa chiếc cọc 1 m và nhìn thấy đỉnh cọc thẳng với đỉnh của cây. Hãy tính chiều cao của cây, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,6 m (H.9.51).A: vị trí đỉnh câyB: vị trí gốc câyC: vị trí đỉnh cộtM: vị trí mắt

Hình 9.51. Hình vẽ mô tả một người (M) nhìn đỉnh cọc (C) và đỉnh cây (A) thẳng hàng. Cọc CD cao 2.4m, cách gốc cây B 19m. Người đứng cách cọc 1m. Chiều cao mắt người so với mặt đất là 1.6m.

2. Trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông

HĐ1

Các tam giác vuông AHB và A'H'B' trong Hình 9.52 mô tả hai con dốc có chiều dài lần lượt là $A B = 13$ m, $A^{'} B^{'} = 7, 5$ m và độ cao lần lượt là $B H = 5$ m, $B^{'} H^{'} = 2, 5$ m. Độ dốc của hai con dốc lần lượt được tính bởi số đo góc $\hat{H A B}$ và $\hat{H^{'} A^{'} B^{'}}$ .

Hình 9.52. Hai tam giác vuông AHB và A'H'B'. Tam giác AHB có cạnh huyền AB = 13, cạnh góc vuông BH = 5. Tam giác A'H'B' có cạnh huyền A'B' = 7.5, cạnh góc vuông B'H' = 2.5.

Nhận xét về hai đại lượng $\frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ và $\frac{B^{'} H^{'}}{B H}$ .– Dùng định lí Pythagore để tính AH và A'H'.– So sánh các đại lượng $\frac{A^{'} H^{'}}{A H}$ và $\frac{B^{'} H^{'}}{B H}$ .– Hai tam giác vuông A'H'B' và AHB có đồng dạng không? Từ đó rút ra kết luận gì về độ dốc của hai con dốc.

Tổng quát, ta có định lí sau:

Định lí (trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông)

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Chứng minh định lí (H.9.53)

GT $△ A B C$ , $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , $\hat{A} = 90^{\circ}$ , $\hat{A^{'}} = 90^{\circ}$ , $\frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ KL $△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A B C$ .

Hình 9.53. Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' với góc vuông tại A và A' tương ứng.

Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông A'B'C' và ABC, ta được: $B^{'} C^{' 2} = A^{'} B^{' 2} + A^{'} C^{' 2}$ ; $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .Suy ra $B^{'} C^{' 2} - A^{'} B^{' 2} = A^{'} C^{' 2}$ và $B C^{2} - A B^{2} = A C^{2}$ . Vậy từ giả thiết $\frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ ta có: $\frac{B^{'} C^{' 2}}{B C^{2}} = \frac{A^{'} B^{' 2}}{A B^{2}} \Rightarrow \frac{B^{'} C^{' 2} - A^{'} B^{' 2}}{B C^{2} - A B^{2}} = \frac{A^{'} C^{' 2}}{A C^{2}}$ .Do đó $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C}$ . Suy ra $△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A B C$ (c.c.c).

Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông đồng dạng với nhau trong Hình 9.54, viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hình 9.54. Hình vẽ gồm nhiều tam giác vuông.

△ A B D

(vuông tại D, cạnh AD = 4.5, BD = 3).

△ F D E

(vuông tại D, cạnh FD = 2, DE = 3).

△ P M N

(vuông tại M, cạnh PM = 4.5, MN = 3).

Ví dụ 2

Giả sử các chân đường cao H, H' lần lượt hạ từ đỉnh A và A' của hai tam giác ABC và A'B'C' thoả mãn $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{A^{'} H^{'}}{A H} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ . Chứng minh rằng $△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A B C$ .

Lời giải

Giải. (H.9.55)GT $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , $△ A B C$ , H thuộc cạnh BC, H' thuộc cạnh B'C', $A H ⊥ B C$ , $A^{'} H^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$ , $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{A^{'} H^{'}}{A H} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ KL $△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A B C$ .

Hình 9.55. Hai tam giác ABC và A'B'C' với đường cao AH và A'H' tương ứng.

Tam giác vuông ABH (vuông tại H) và tam giác vuông A'B'H' (vuông tại H') có: $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{A^{'} H^{'}}{A H}$ . Vậy $△ A^{'} B^{'} H^{'} \sim △ A B H$ . Suy ra $\hat{A^{'} B^{'} H^{'}} = \hat{A B H}$ . (1)Tam giác vuông ACH (vuông tại H) và tam giác vuông A'C'H' (vuông tại H') có: $\frac{A^{'} C^{'}}{A C} = \frac{A^{'} H^{'}}{A H}$ . Vậy $△ A^{'} C^{'} H^{'} \sim △ A C H$ . Suy ra $\hat{A^{'} C^{'} H^{'}} = \hat{A C H}$ . (2)Hai tam giác ABC và A'B'C' có: $\hat{A^{'} B^{'} C^{'}} = \hat{A B C}$ (theo (1)), $\hat{A^{'} C^{'} B^{'}} = \hat{A C B}$ (theo (2)).Vậy $△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A B C$ (g.g).

Nhận xét

Ngược lại, nếu $△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A B C$ theo tỉ số $k$ và AH, A'H' lần lượt là các đường cao của $△ A B C$ và $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ thì $△ A^{'} B^{'} H^{'} \sim △ A B H$ (do $\hat{B} = \hat{B^{'}}$ ) theo tỉ số $k$ và $\frac{A^{'} H^{'}}{A H} = k$ .

Luyện tập 2

Một ngôi nhà với hai mái lệch AB, CD được thiết kế như Hình 9.56 sao cho $C D = 6$ m, $A B = 4$ m, $H A = 2$ m, $A C = 1$ m. Chứng tỏ rằng $\hat{A B D} = \hat{C D B}$ .

Hình 9.56. Hình vẽ mô tả một ngôi nhà có hai mái lệch AB và CD. CD = 6m, AB = 4m, HA = 2m, AC = 1m. H là chân đường vuông góc từ A xuống đường thẳng chứa CD.

Vận dụng

Thường ngày đến công trường, bác Hoan dùng một chiếc thang lớn dựng lên một bức tường cao 6 m. Khi đặt chân thang cách chân tường 1,5 m thì vừa dựng thang lên đúng mặt trên bức tường. Hôm nay, bác Hoan chỉ có một chiếc thang nhỏ dài bằng $\frac{2}{3}$ chiếc thang lớn. Để đảm bảo an toàn, bác đặt chân thang cách chân tường 1 m (H.9.57). Hỏi khi dựng chiếc thang nhỏ lên thì điểm cao nhất của thang cách mặt trên bức tường bao nhiêu mét?

Hình 9.57. Hai chiếc thang dựa vào tường. Thang lớn có chiều dài 6m, chân cách tường 1.5m. Thang nhỏ có chân cách tường 1m.

Bài tập

9.23

Điều kiện nào dưới đây chứng tỏ rằng hai tam giác vuông đồng dạng?a) Một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia.b) Cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác kia.c) Một cạnh góc vuông của tam giác này bằng một cạnh góc vuông của tam giác kia.d) Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia.

9.24

Cặp tam giác vuông nào đồng dạng với nhau trong Hình 9.58?

Hình 9.58. Bốn hình tam giác vuông: a) cạnh góc vuông 1, cạnh huyền 4. b) cạnh góc vuông 2, cạnh huyền 4. c) góc 60 độ, góc 70 độ (không phải tam giác vuông). d) cạnh góc vuông 1, cạnh góc vuông 3, cạnh huyền 4.5, cạnh góc vuông 1.5, cạnh góc vuông 2.

9.25

Cho góc nhọn xOy, các điểm A, N nằm trên tia Ox, các điểm B, M nằm trên tia Oy sao cho AM, BN lần lượt vuông góc với Oy, Ox. Chứng minh rằng tam giác OAM đồng dạng với tam giác OBN.

9.26

Cho hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' thoả mãn $A C = 3 A B$ , $B^{'} D^{'} = 3 A^{'} B^{'}$ .a) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C'.b) Nếu $A^{'} B^{'} = 2 A B$ và diện tích hình chữ nhật ABCD là 2 m $^{2}$ thì diện tích hình chữ nhật A'B'C'D' là bao nhiêu?

9.27

Cho tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. Gọi A'H' và AH lần lượt là các đường cao đỉnh A' và A của tam giác A'B'C' và tam giác ABC. Chứng minh rằng:a) $\frac{A^{'} H^{'}}{A H} = k$ ;b) Diện tích tam giác A'B'C' bằng $k^{2}$ lần diện tích tam giác ABC.

9.28

Một người ở vị trí điểm A muốn đo khoảng cách đến điểm B ở bên kia sông mà không thể qua sông được. Sử dụng giác kế, người đó xác định được một điểm M trên bờ sông sao cho $A M = 2$ m, AM vuông góc với AB và đo được số đo góc AMB. Tiếp theo, người đó vẽ trên giấy tam giác A'M'B' vuông tại A', có $A^{'} M^{'} = 1$ cm, $\hat{A^{'} M^{'} B^{'}} = \hat{A M B}$ và đo được $A^{'} B^{'} = 5$ cm (H.9.59). Hỏi khoảng cách từ A đến B là bao nhiêu mét?

Hình 9.59. Hai tam giác vuông AMB và A'M'B'. Tam giác AMB có AM = 2m. Tam giác A'M'B' có A'M' = 1cm, A'B' = 5cm.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 98–103).