Bài 33. Hai tam giác đồng dạng

Các em gặp rất nhiều hình ảnh trong cuộc sống và thế giới tự nhiên được tạo nên bởi các hình giống nhau. Chẳng hạn, những toà nhà trong thành phố, những bông hoa trên cây,... Những hình như vậy trong mặt phẳng ta gọi là hình đồng dạng. Trong chương này các em sẽ được tìm hiểu về chúng, đặc biệt là các tam giác đồng dạng.

Hai tam giác đồng dạng | Nhận biết hai tam giác đồng dạng và giải thích các tính chất của chúng.
Tỉ số đồng dạng | Giải thích định lí về trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác.

Có một chiếc bóng điện được mắc trên đỉnh (điểm A) của cột đèn thẳng đứng. Để tính chiều cao AB của cột đèn, bác Dương cắm một chiếc cọc gỗ (đoạn CD) thẳng đứng trên mặt đất rồi đo chiều dài bóng của cọc gỗ do ánh đèn điện tạo ra và đo khoảng cách từ điểm E đến chân cột đèn (điểm B) (H.9.1). Theo em, bác Dương đã tính như thế nào để ra được chiều cao cột đèn?

Chúng ta đã biết hai tam giác bằng nhau sẽ có các góc tương ứng bằng nhau và hình dạng giống nhau. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu một trường hợp mà hai tam giác có thể không bằng nhau những vẫn có các góc bằng nhau và hình dạng giống nhau.

Hai tam giác như Hình 9.2 được gọi là hai tam giác đồng dạng. Cụ thể, ta có định nghĩa về hai tam giác đồng dạng như sau :

Tỉ số $k=\frac{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}{AB}=\frac{B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}{BC}=\frac{A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}{AC}$ được gọi là tỉ số đồng dạng của $\mathrm{△}{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ với $\mathrm{△}ABC\mathrm{.}$

Ta có: $BC=CA=AB=4cm$, $B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}=C^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}=A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}=3cm$, $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}={60}^{\circ }$ và $\widehat{A^{\mathrm{\prime }}}=\widehat{B^{\mathrm{\prime }}}=\widehat{C^{\mathrm{\prime }}}={60}^{\circ }\mathrm{.}$
Do vậy hai tam giác ABC và A'B'C' có: $\frac{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}{AB}=\frac{B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}{BC}=\frac{A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}{AC}=\frac{3}{4}$ và $\widehat{A^{\mathrm{\prime }}}=\widehat{A},$ $\widehat{B^{\mathrm{\prime }}}=\widehat{B},$ $\widehat{C^{\mathrm{\prime }}}=\widehat{C}\mathrm{.}$
Vậy $\mathrm{△}{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}\sim \mathrm{△}ABC$ với tỉ số đồng dạng $\frac{3}{4}$

Kẻ đường thẳng đi qua N song song với AB và cắt BC tại P. Hãy chứng tỏ $MN=BP$ và suy ra $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}\mathrm{.}$
Tam giác ABC và tam giác AMN có đồng dạng không? Nếu có hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Tổng quát, ta có định lí sau:

$\mathrm{\Delta }ABC,MN\parallel BC(M\in AB;N\in AC)\mathrm{.}$

$\mathrm{\Delta }AMN\sim \mathrm{\Delta }ABC\mathrm{.}$

Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MN // BC. (1)
Do đó $\mathrm{△}AMN\sim \mathrm{△}ABC$ (theo định lí trên).
Tương tự, PQ là đường trung bình của tam giác AMN nên PQ // MN. (2)
Do đó $\mathrm{△}APQ\sim \mathrm{△}AMN$ (theo định lí trên).
Từ (1) và (2), suy ra PQ // BC. Do đó $\mathrm{△}APQ\sim \mathrm{△}ABC$ (theo định lí trên).
Vậy có tất cả ba cặp tam giác đồng dạng là: $\mathrm{△}AMN\sim \mathrm{△}ABC;$ $\mathrm{△}APQ\sim \mathrm{△}AMN$ và $\mathrm{△}APQ\sim \mathrm{△}ABC$

Cho tam giác ABC và các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC như Hình 9.4.

$\mathrm{\Delta }ABC,MN⊩BC(M\in AB;N\in AC)\mathrm{.}$

$\mathrm{\mid }{\mathrm{\mid }}_{\mathrm{\Delta }AMN\mathrm{\Theta }\mathrm{\Delta }ABC\mathrm{.}}$