Bài 21. Phân thức đại số – Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức

Thuật ngữ: Phân thức đại số · Tử thức · mẫu thức · Hai phân thức bằng nhau · Điều kiện xác định của phân thức · Giá trị của phân thức

Đại số

Ở lớp 7, từ tập hợp $Z$ các số nguyên ta đã xây dựng tập hợp $Q$ các số hữu tỉ mà mọi số nguyên cũng đều là số hữu tỉ. Tương tự, từ tập hợp các đa thức ta cũng có thể xây dựng một tập hợp mới gồm các phân thức đại số mà mọi đa thức cũng đều là phân thức đại số. Trong chương này các em sẽ biết thế nào là phân thức đại số, biết cách cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số tương tự như cộng, trừ, nhân, chia các phân số.

Phân thức đại số
Tử thức, mẫu thức
Hai phân thức bằng nhau
Điều kiện xác định của phân thức
Giá trị của phân thức

Nhận biết phân thức đại số, tử thức và mẫu thức của một phân thức.
Viết điều kiện xác định của phân thức và tính giả trị của phân thức tại giá trị của biến thoả mãn điều kiện xác định.
Nhận biết hai phân thức bằng nhau.

Trong một cuộc đua xe đạp, các vận động viên phải hoàn thành ba chặng đua bao gồm 9 km leo dốc; 5 km xuống dốc và 36 km đường bằng phẳng. Vận tốc trung bình của một vận động viên trên chặng đường bằng phẳng hơn vận tốc leo dốc $5 k m / h$ và kém vận tốc xuống dốc $10 k m / h .$ Nếu biết vận tốc trung bình của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng thì có tính được thời gian hoàn thành cuộc đua của vận động viên đó không?

Phân thức đại số là gì?

HD1

Trong tình huống mở đầu, giả sử vận tốc trung bình của một vận động viên đi xe đạp trên 36 km đường bằng phẳng là $x (k m / h)$ . Hãy viết biểu thức biểu thị thời gian vận động viên đó hoàn thành chặng leo dốc, chặng xuống dốc, chặng đường bằng phẳng.

HD2

Viết biểu thức biểu thị tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của một hình chữ nhật có chiều rộng là x (cm) và chiều dài là y (cm).

Các biểu thức nhận được ở HĐ1, HĐ2 và các biểu thức như $\frac{2 x - 1}{3 x + 1}; \frac{x^{2} - x + 1}{2 x + 1};$ ..... được gọi là những phân thức đại số. Tổng quát, ta có định nghĩa:

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ trong đó A, B là hai đa thức và B khác đa thức 0.
A được gọi là tử thức (hoặc tử) và B được gọi là mẫu thức (hoặc mẫu).

Nhận xét.

Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, số 0 và số 1 cũng là những phân thức đại số.

Ví dụ 1

a) Cách viết nào sau đây không cho một phân thức?
$\frac{6 y^{3} z}{x^{2}}; \frac{x y + z}{- 3}; \frac{y + z}{0}; \frac{0}{x + 1}; x^{3} - x y .$
b) Viết mẫu thức của mỗi phân thức trong các cách viết trên.

Lời giải

Giải
a) Trong các cách viết trên, $\frac{y + z}{0}$ không phải là một phân thức.
b) Các phân thức $\frac{6 y^{3} z}{x^{2}}; \frac{x y + z}{- 3}; \frac{0}{x + 1}; x^{3} - x y$ có mẫu thức lần lượt là: $x^{2}$ ; -3; $x + 1$ ; 1.

Luyện tập 1

Dạng bài: Nhận biết phân thức có cùng mẫu thức

Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có cùng mẫu thức?
a) $\frac{- 20 x}{3 y^{2}}$ và $\frac{4 x^{3}}{5 y^{2}}$
b) $\frac{5 x - 10}{x^{2} + 1}$ và $\frac{5 x - 10}{x^{2} - 1}$ c) $\frac{5 x + 10}{4 x - 8}$ và $\frac{4 - 2 x}{4 (x - 2)} .$

Tranh luận

$\frac{3 - 2 x}{3 + \frac{1}{x}}$ không phải là phân thức.
$\frac{3 - 2 x}{3 + \frac{1}{x}}$ là phân thức chứ!

Hình/bảng: Hai nhân vật hoạt hình đang tranh luận, một người nói 'không phải là phân thức', người kia nói 'là phân thức chứ!'

Theo em, bạn nào đúng?

2. Hai phân thức bằng nhau

Ở lớp 6 các em đã học quy tắc bằng nhau của hai phân số. Tương tự ta có:

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A D = B C$ .
$\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu $A D = B C$ .

Ví dụ 2

Giải thích vì sao $\frac{1 + x}{1 - x^{2}} = \frac{1}{1 - x}$

Lời giải

Giải
Vì $(1 + x) (1 - x) = (1 - x^{2}) \cdot 1$ nên $\frac{1 + x}{1 - x^{2}} = \frac{1}{1 - x}$

Luyện tập 2

Dạng bài: Kiểm tra sự bằng nhau của phân thức

Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
$\frac{1}{x^{2} + x + 1} = \frac{1 - x}{1 - x^{3}}$

3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến

Giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến

Khi thay các biến trong một phân thức đại số bằng các số, ta được một biểu thức số (nếu mẫu số nhận được là số khác 0). Giá trị của biểu thức số đó gọi là giá trị của phân thức tại các giá trị đã cho của biến.

Như vậy, để tính giá trị của phân thức tại những giá trị cho trước của biến ta thay các giá trị cho trước của biến vào phân thức đó rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.

Ví dụ 3

Tính giá trị của phân thức $\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} + 3 x}$ tại $x = 2$ ; $x = 1$ .

Lời giải

Giải
Tại $x = 2$ , phân thức có giá trị là $\frac{2^{2} - 2 - 1}{2^{2} + 3 \cdot 2} = \frac{1}{10} .$
Tại $x = 1$ , phân thức có giá trị là $\frac{1^{2} - 1 - 1}{1^{2} + 3 \cdot 1} = \frac{- 1}{4}$

Điều kiện xác định của phân thức

Vì phép chia chỉ thực hiện được khi số chia khác 0 nên chỉ có thể tính được giá trị của phân thức $\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} + 3 x}$ khi x thoả mãn điều kiện $x^{2} + 3 x = 0$ .
Ta nói rằng $x^{2} + 3 x \neq 0$ là điều kiện xác định của phân thức $\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} + 3 x} .$

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức B khác 0.

Chú ý.

Ta chỉ cần quan tâm đến điều kiện xác định khi tính giá trị của phân thức.

Ví dụ 4

Viết điều kiện xác định của phân thức $\frac{x - 3}{x + 2}$

Lời giải

Giải
Điều kiện xác định của phân thức là $x + 2 \neq 0$ hay $x \neq - 2$ .

Luyện tập 3

Dạng bài: Viết điều kiện xác định và tính giá trị của phân thức

Viết điều kiện xác định của phân thức $\frac{x + 1}{x - 1}$ và tính giá trị của phân thức tại $x = 2$ .

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu. Nếu biết vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng là $30 k m / h$ , hãy tính thời gian vận động viên đó hoàn thành mỗi chặng đua và tỉnh tổng thời gian để hoàn thành cuộc đua.

Bài tập

6.1.

Dạng bài: Xác định tử thức, mẫu thức

Viết tử thức và mẫu thức của phân thức $\frac{5 x - 2}{3}$

6.2.

Dạng bài: Nhận biết phân thức có cùng mẫu thức

Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau?
a) $\frac{- 20 x}{3 y^{2}}$ và $\frac{4 x}{5 y^{2}}$
b) $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 1}$ và $\frac{3 x - 1}{x + 1}$
c) $\frac{x - 1}{3 x + 6}$ và $\frac{x + 1}{3 (x + 2)}$

6.3.

Dạng bài: Giải thích sự bằng nhau của phân thức

Vì sao các kết luận sau đúng?
a) $\frac{- 6}{- 4 y} = \frac{3 y}{2 y^{2}}$
b) $\frac{x + 3}{5} = \frac{x^{2} + 3 x}{5 x};$
c) $\frac{3 x (4 x + 1)}{16 x^{2} - 1} = \frac{- 3 x}{1 - 4 x}$

6.4.

Dạng bài: Viết điều kiện xác định và tính giá trị của phân thức

Viết điều kiện xác định của phân thức $\frac{x^{2} + x - 2}{x^{3} + 2} .$ Tính giá trị của phân thức trên lần lượt tại $x = 0$ ; $x = 1$ ; $x = 2$ .

6.5.

Dạng bài: Giải thích tính chất phân thức

Cho A là một đa thức khác 0 tuỳ ý. Hãy giải thích vì sao $\frac{0}{A} = 0$ và $\frac{A}{A} = 1$ .

6.6.

Dạng bài: Lập biểu thức và tính giá trị trong bài toán thực tế

Một ô tô chạy với vận tốc trung bình là $x (k m / h) .$
a) Viết biểu thức biểu thị thời gian ô tô (tính bằng giờ) chạy hết quãng đường 120 km.
b) Tính thời gian ô tô đi được 120 km trong trường hợp vận tốc trung bình của ô tô là $60 k m / h$

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 5–8).