Bài 22. Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Thuật ngữ: Tính chất cơ bản của phân thức đại số · Mẫu thức chung · Nhân tử phụ · Quy đồng mẫu thức

Mô tả tính chất cơ bản của phân thức đại số.
Rút gọn phân thức đại số.
Biết quy đồng mẫu thức nhiều phân thức trong trường hợp thuận lợi.

Liệu có phân thức nào đơn giản hơn nhưng bằng phân thức $\frac{x - y}{x^{3} - y^{3}}$ không nhỉ?

1 tính chất cơ bản của phân thức

Nhận biết tính chất cơ bản của phân thức đại số

HĐ1

Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x + y}{x - y}$ với 2x ta được phân thức mới nào?
Giải thích vì sao phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho.

HĐ2

Tử và mẫu của phân thức $\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ có nhân tử chung là $x - 1$ Viết phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung đó.
So sánh phân thức mới nhận được với phân thức đã cho.

Từ HĐ1 và HĐ2, ta thấy phân thức đại số có tính chất cơ bản sau:

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:
$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}$ (M là một đa thức khác đa thức 0).
Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho:
$\frac{A : N}{B : N} = \frac{A}{B}$ (N là một nhân tử chung).

Ví dụ 1

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao $\frac{2 x + 2}{x^{2} - 1} = \frac{2}{x - 1}$

Lời giải

Giải
Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức, ta có: $\frac{2 x + 2}{x^{2} - 1} = \frac{2 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{2}{x - 1} .$

Luyện tập 1

Dạng bài: Kiểm tra tính đúng sai của rút gọn phân thức

Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
$\frac{30 x y^{2} (x - y)}{45 x y (x - y)^{2}} = \frac{2 y}{3 (x - y)} .$

Luyện tập 2

Dạng bài: Giải thích sự bằng nhau của phân thức

Giải thích vì sao $\frac{- x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1} .$

Chú ý.

Tổng quát, ta có quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
$\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$
Đổi dấu một đa thức là đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức đó.

2. Vận dụng

a) Rút gọn phân thức

Cách rút gọn một phân thức

Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.
Hãy thực hiện các yêu cầu sau đây để rút gọn phân thức $\frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1}$

HĐ3

Phân tích tử và mẫu của phân thức $\frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1}$ thành nhân tử và tìm các nhân tử chung của chúng.

HĐ4

Chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1}$ cho các nhân tử chung, ta nhận được một phân thức mới bằng phân thức đã cho nhưng đơn giản hơn.

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ 2

Rút gọn phân thức $P = \frac{x^{2} - x y}{3 (x y^{2} - y^{3})} .$

Lời giải

Giải
Ta có: $P = \frac{x^{2} - x y}{3 (x y^{2} - y^{3})} = \frac{x (x - y)}{3 y^{2} (x - y)} = \frac{x}{3 y^{2}} .$

Luyện tập 3

Dạng bài: Vận dụng kiến thức để trả lời câu hỏi

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Tranh luận

Tròn thực hiện rút gọn một phân thức như hình bên. $\frac{x^{2} + 2 x}{3 x^{3} + 2 x} = \frac{x^{2}}{3 x^{3}} = \frac{1}{3 x} .$
Hỏi bạn Tròn làm đúng hay sai? Vì sao?

Hình/bảng: Hình ảnh nhân vật hoạt hình Tròn đang viết phép rút gọn phân thức

Thử thách nhỏ

Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
$\frac{- a x^{2} - a x}{x^{2} - 1} v \overset{ˋ}{a} \frac{3 x}{x - 1} .$

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Cách quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để quy đồng mẫu thức hai phân thức:
$\frac{1}{2 x^{2} + 2 x} v \overset{ˋ}{a} \frac{1}{3 x^{2} - 6 x}$

HĐ5

Phân tích các mẫu thức của hai phân thức đã cho thành nhân tử.

HĐ6

Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bằng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:
Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);
Với mỗi luỹ thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn luỹ thừa với số mũ cao nhất.

HĐ7

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó.

HĐ8

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn.

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:
Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC cho mẫu thức đó;
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ 3

Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{3}{5 x^{3} + 5 x^{2}} v \overset{ˋ}{a} \frac{- 7}{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x} .$

Lời giải

Giải
Ta có: $5 x^{3} + 5 x^{2} = 5 x^{2} \cdot (x + 1)$
$2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x = 2 x \cdot (x^{2} + 2 x + 1) = 2 x \cdot (x + 1)^{2}$ .
Mẫu thức chung là $10 x^{2} (x + 1)^{2}$ .
Nhân tử phụ của $5 x^{3} + 5 x^{2}$ là
MTC $: (5 x^{3} + 5 x^{2}) = 10 x^{2} (x + 1)^{2} : [5 x^{2} (x + 1)] = 2 (x + 1) .$
Nhân tử phụ của $2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x$ là
MTC $: (2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x) = 10 x^{2} (x + 1)^{2} : [2 x (x + 1)^{2}] = 5 x .$
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
$\frac{3}{5 x^{3} + 5 x^{2}} = \frac{3 \cdot 2 (x + 1)}{10 x^{2} (x + 1)^{2}} = \frac{6 (x + 1)}{10 x^{2} (x + 1)^{2}} v \overset{ˋ}{a} \frac{- 7}{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x} = \frac{- 7 \cdot 5 x}{10 x^{2} (x + 1)^{2}} = \frac{- 35 x}{10 x^{2} (x + 1)^{2}} .$

Luyện tập 4

Dạng bài: Quy đồng mẫu thức

Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{3 x^{2} - 3} v \overset{ˋ}{a} \frac{1}{x^{3} - 1} .$

Tranh luận

Hai phân thức $\frac{5}{x - 1}$ và $\frac{x}{1 - x}$ có MTC là $x - 1.$
Không đúng, MTC là $(x - 1) (1 - x)$ chứ!

Hình/bảng: Hai nhân vật hoạt hình đang tranh luận về MTC

Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí hơn? Vì sao?

Bài tập

6.7.

Dạng bài: Giải thích sự bằng nhau của phân thức

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng.
a) $\frac{(x - 2)^{3}}{x^{2} - 2 x} = \frac{(x - 2)^{2}}{x};$
b) $\frac{1 - x}{- 5 x + 1} = \frac{x - 1}{5 x - 1}$

6.8.

Dạng bài: Tìm đa thức thích hợp để phân thức bằng nhau

Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu "?".
$\frac{y - x}{4 - x} = \frac{?}{x - 4}$

6.9.

Dạng bài: Rút gọn phân thức

Rút gọn các phân thức sau:
a) $\frac{5 x + 10}{25 x^{2} + 50};$ b) $\frac{45 x (3 - x)}{15 x (x - 3)^{3}}$
c) $\frac{(x^{2} - 1)^{2}}{(x + 1) (x^{3} + 1)}$

6.10.

Dạng bài: Rút gọn phân thức và tính giá trị

Cho phân thức $P = \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$
a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Q là phân thức nhận được.
b) Tính giá trị của P và Q tại $x = 11$ So sánh hai kết quả đó.

6.11.

Dạng bài: Tìm tham số để hai phân thức bằng nhau

Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
$\frac{5 x}{x + 1} v \overset{ˋ}{a} \frac{a x (x - 1)}{(1 - x) (x + 1)} .$

6.12.

Dạng bài: Quy đồng mẫu thức

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) $\frac{1}{x^{3} - 8} v \overset{ˋ}{a} \frac{3}{4 - 2 x}$
b) $\frac{x}{x^{2} - 1} v \overset{ˋ}{a} \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$

6.13.

Dạng bài: Quy đồng mẫu thức

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) $\frac{1}{x + 2}; \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 4} v \overset{ˋ}{a} \frac{5}{2 - x} .$ b) $\frac{1}{3 x + 3 y}; \frac{2 x}{x^{2} - y^{2}} v \overset{ˋ}{a} \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} .$

6.14.

Dạng bài: Rút gọn và quy đồng mẫu thức

Cho hai phân thức $\frac{9 x^{2} + 3 x + 1}{27 x^{3} - 1} v \overset{ˋ}{a} \frac{x^{2} - 4 x}{16 - x^{2}}$
a) Rút gọn hai phân thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.

Ví dụ 1

Cho phân thức $P = \frac{x^{2} - 4}{x - 2} .$
a) Viết điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn P và kí hiệu Q là phân thức nhận được.
c) Kiểm tra $x = 13$ có thoả mãn điều kiện xác định của P hay không. Tính giá trị của P và Q tại $x = 13$ rồi so sánh hai kết quả.

Lời giải

Giải
a) Điều kiện xác định của P là $x - 2 \neq 0$ hay $x \neq 2$
b) $P = \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} = x + 2.$ Vậy $Q = x + 2$ .
c) Vì $x = 13 \neq 2$ nên $x = 13$ thoả mãn điều kiện xác định của P.
Khi đó, ta có $P = \frac{13^{2} - 4}{13 - 2} = \frac{165}{11} = 15$ và $Q = 13 + 2 = 15$ Hai kết quả bằng nhau.

Chú ý.

Khi tính giá trị của một phân thức tại giá trị đã cho của biển thoả mãn điều kiện xác định, ta nên rút gọn phân thức rồi thay giá trị đã cho của biến vào phân thức đã rút gọn.

Ví dụ 2

Bạn Nam về lá cờ Tổ quốc là một hình chữ nhật có chiều rộng 12 cm và chiều dài 19 cm.
a) Viết phân thức biểu thị tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật nhận được khi tăng mỗi cạnh của hình chữ nhật đã vẽ thêm x (cm).
b) Tính giá trị của phân thức trong câu a tại $x = 2$ và cho biết hình chữ nhật đó có đảm bảo tỉ lệ tiêu chuẩn $2 : 3$ của quốc kì Việt Nam không.

Lời giải

Giải
a) Khi tăng mỗi cạnh x (cm) thì hình chữ nhật mới có chiều rộng và chiều dài lần lượt là $12 + x$ và $19 + x$ (cm).
Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật mới là $\frac{12 + x}{19 + x}$
b) Giá trị của phân thức $\frac{12 + x}{19 + x}$ tại $x = 2$ là $\frac{12 + 2}{19 + 2} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3},$ vì vậy hình chữ nhật đó đảm bảo tỉ lệ tiêu chuẩn 2 : 3 của quốc kì Việt Nam.

Bài tập

6.15.

Dạng bài: Quy đồng mẫu thức

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) $\frac{1}{4 x y^{2}}$ và $\frac{5}{6 x^{2} y}$
b) $\frac{9}{4 x^{2} - 36} v \overset{ˋ}{a} \frac{1}{x^{2} + 6 x + 9} .$

6.16.

Dạng bài: Xác định điều kiện, rút gọn và tính giá trị phân thức

Cho phân thức $P = \frac{x^{3} - 4 x}{(x + 2)^{2}} .$
a) Viết điều kiện xác định của phân thức và tìm tất cả các giá trị của x thoả mãn điều kiện này.
b) Rút gọn phân thức P.
c) Tính giá trị của phân thức đã cho tại $x = 98$ .

6.17.

Dạng bài: Rút gọn và quy đồng mẫu thức

Cho hai phân thức $\frac{x^{2} + 5 x}{(x - 10) (x^{2} + 10 x + 25)} v \overset{ˋ}{a} \frac{x^{2} + 10 x}{x^{4} - 100 x^{2}} .$
a) Rút gọn hai phân thức đã cho. Kí hiệu P và Q là hai phân thức nhận được.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức P và Q.

6.18.

Dạng bài: Giải bài toán thực tế bằng phân thức

Lúc 6 giờ sáng, bác Vinh lái ô tô xuất phát từ Hà Nội đi huyện Tĩnh Gia (Thanh Hoá). Khi đến Phủ Lý (Hà Nam), cách Hà Nội khoảng 60 km, bác Vinh dừng lại ăn sáng trong 20 phút. Sau đó, bác Vinh tiếp tục đi về Tình Gia và phải tăng vận tốc thêm $10 k m / h$ để đến nơi đúng giờ dự định.
a) Gọi $x (k m / h)$ là vận tốc ô tô đi trên quãng đường Hà Nội – Phủ Lý. Hãy viết các phân thức biểu thị thời gian bác Vinh chạy xe trên các quãng đường Hà Nội – Phủ Lý và Phủ Lý - Tĩnh Gia, biết rằng quãng đường Hà Nội Tĩnh Gia có chiều dài khoảng 200 km.
b) Nếu vận tốc ô tô đi trên quãng đường Hà Nội – Phủ Lý là $60 k m / h$ thì bác Vinh đến Tĩnh Gia lúc mấy giờ?

6.19.

Dạng bài: Giải bài toán thực tế bằng phân thức

Để loại bỏ x (tính theo %) chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, ước tính cần chi phí là $\frac{1, 7 x}{100 - x}$ (tỉ đồng).
a) Nếu muốn loại bỏ 90% chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy thì cần chi phí là bao nhiêu?
b) Viết điều kiện xác định của phân thức $\frac{1, 7 x}{100 - x} .$ Hỏi có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy hay không?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 9–15).