Bài 23. Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Thuật ngữ: Phép cộng và phép trừ các phân thức đại số

Thực hiện phép cộng và phép trừ phân thức đại số.
Vận dụng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng phân thức và quy tắc dấu ngoặc với phân thức trong tính toán.

Hãy rút gọn biểu thức:
$P = \frac{x}{x + 1} - [(\frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x + 1}) - \frac{1}{x - 1}] .$
Không cần tính toán, em thấy ngay kết quả là $P = 0$
Làm thế nào mà Vuông thấy ngay được kết quả thế nhỉ?

1 cộng hai phân thức cùng mẫu

Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu

Ở lớp 6, các em đã biết để cộng các phân số cùng mẫu ta chỉ cần cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số. Phép cộng các phân thức cùng mẫu cũng tương tự như vậy.
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng $\frac{2 x + y}{x - y} + \frac{- x + 3 y}{x - y} .$

HĐ1

Cộng các tử thức của hai phân thức đã cho.

HĐ2

Viết phân thức có tử là tổng các tử thức và mẫu là mẫu thức chung ta được kết quả của phép cộng đã cho.

Tổng quát, ta có quy tắc sau:

Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:
$\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$

Chú ý.

Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.

Ví dụ 1

Cộng hai phân thức $\frac{5 x^{2}}{x - 1}$ và $\frac{5 - 10 x}{x - 1}$

Lời giải

Giải
Ta có: $\frac{5 x^{2}}{x - 1} + \frac{5 - 10 x}{x - 1} = \frac{5 x^{2} + 5 - 10 x}{x - 1} = \frac{5 (x^{2} - 2 x + 1)}{x - 1} = \frac{5 (x - 1)^{2}}{x - 1} = 5 (x - 1)$ .

Luyện tập 1

Dạng bài: Cộng phân thức cùng mẫu

Tính các tổng sau:
a) $\frac{3 x + 1}{x y} + \frac{2 x - 1}{x y}$
b) $\frac{3 x}{x^{2} + 1} + \frac{- 3 x + 1}{x^{2} + 1}$

2. Cộng hai phân thức khác mẫu

Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng $\frac{1}{x} + \frac{- 1}{y} .$

HĐ3

Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho.

HĐ4

Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức nhận được trong HĐ3 ta được kết quả của phép cộng $\frac{1}{x} + \frac{- 1}{y}$

Tổng quát, ta có quy tắc sau:

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ví dụ 2

Tính tổng $\frac{5}{x} + \frac{3}{1 - x}$

Lời giải

Giải
Quy đồng mẫu hai phân thức đã cho: $\frac{5}{x} = \frac{5 (1 - x)}{x (1 - x)}; \frac{3}{1 - x} = \frac{3 x}{x (1 - x)} .$
Do đó $\frac{5}{x} + \frac{3}{1 - x} = \frac{5 (1 - x)}{x (1 - x)} + \frac{3 x}{x (1 - x)} = \frac{5 (1 - x) + 3 x}{x (1 - x)} = \frac{5 - 2 x}{x (1 - x)} .$

Luyện tập 2

Dạng bài: Cộng phân thức khác mẫu

Tính tổng $\frac{5}{2 x^{2} (6 x + y)} + \frac{3}{5 x y (6 x + y)} .$

3 trừ hai phân thức

Quy tắc trừ hai phân thức

Ở lớp 6, các em đã biết: Để trừ hai phân số cùng mẫu ta trừ các tử và giữ nguyên mẫu; để trừ hai phân số khác mẫu ta quy đồng mẫu hai phân số rồi trừ hai phân số cùng mẫu nhận được. Để trừ hai phân thức, ta cũng làm tương tự như vậy.

HĐ5

Trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức để tính $\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{2 x + 3}{x + 1}$

HĐ6

Quy đồng mẫu thức của hai phân thức $\frac{1}{x + 1}$ và $\frac{1}{x}$ ; trừ các tử thức của hai phân thức nhận được và giữ nguyên mẫu thức chung để tỉnh $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}$

Tổng quát, ta có quy tắc sau:

Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ví dụ 3

Tính $\frac{2 x + 1}{x} - \frac{y - 1}{y} .$

Lời giải

Giải
Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho:
$\frac{2 x + 1}{x} = \frac{(2 x + 1) y}{x y}; \frac{y - 1}{y} = \frac{x (y - 1)}{x y}$
Do đó $\frac{2 x + 1}{x} - \frac{y - 1}{y} = \frac{(2 x + 1) y}{x y} - \frac{x (y - 1)}{x y} = \frac{(2 x + 1) y - x (y - 1)}{x y} = \frac{x y + x + y}{x y} .$

Luyện tập 3

Dạng bài: Trừ phân thức

Thực hiện các phép tính sau:
a) $\frac{3 - 2 x}{x - 1} - \frac{2 + 5 x}{x - 1};$
b) $\frac{1}{4 x^{2} y} - \frac{1}{6 x y^{2}}$

Chú ý.

Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau:
$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{- C}{D}$
$\frac{- C}{D}$ gọi là phân thức đối của phân thức $\frac{C}{D}$ và kí hiệu là $- \frac{C}{D}$ ; tổng của một phân thức và phân thức đối của nó bằng 0.

4 cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Cách cộng, trừ nhiều phân thức

Vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó nên các biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức. Chẳng hạn, biểu thức $P = \frac{2 x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}$ có thể viết thành
$P = \frac{2 x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x - 1} + \frac{- 1}{x^{2} - 1} .$

Cũng như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp. Vì vậy, khi làm tính với một biểu thức chỉ gồm các phép cộng phân thức ta có thể đổi chỗ, nhóm (kết hợp) các số hạng một cách tuỳ ý.

2 cộng hai phân thức khác mẫu

Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu

3 trừ hai phân thức

Quy tắc trừ hai phân thứcỞ lớp 6, các em đã biết: Để trừ hai phân số cùng mẫu ta trừ các tử và giữ nguyên mẫu; để trừ hai phân số khác mẫu ta quy đồng hai phân số rồi trừ hai phân số cùng mẫu nhận được. Để trừ hai phân thức, ta cũng làm tương tự như vậy.

Chú ý. Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{- C}{D}$ . $\frac{- C}{D}$ gọi là phân thức đối của phân thức $\frac{C}{D}$ và kí hiệu là $- \frac{C}{D}$ ; tổng của một phân thức và phân thức đối của nó bằng 0.

4 cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Cách cộng, trừ nhiều phân thức

Ví dụ 4

Rút gọn biểu thức $P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{x}$ .

Lời giải

GiảiTa có: $P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{- 1}{x}$ $\leftarrow$ Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối $= \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{1}{y}$ $\leftarrow$ Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp $= 0 + \frac{1}{y} = \frac{1}{y}$ .

Chú ý. Ta cũng có thể viết $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0 + \frac{1}{y} = \frac{1}{y}$ .

Tổng quát, trong các biểu thức ta có thể đổi chỗ các số hạng kèm theo dấu của nó.

Luyện tập 4

Rút gọn biểu thức $P = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$

Rút gọn biểu thức có dấu ngoặcCũng như khi tính toán với phân số, khi rút gọn một biểu thức có dấu ngoặc, ta có thể bỏ các dấu ngoặc bằng cách sử dụng quy tắc dấu ngoặc sau:• Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.• Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc.

Ví dụ 5

Rút gọn biểu thức $P = [\frac{3}{2 x + 1} + \frac{5}{4 x - 1}] - [\frac{5}{4 x - 1} + \frac{3}{2 x + 1}]$

Lời giải

GiảiTa có $P = [\frac{3}{2 x + 1} + \frac{5}{4 x - 1}] - [\frac{5}{4 x - 1} + \frac{3}{2 x + 1}]$ $= \frac{3}{2 x + 1} + \frac{5}{4 x - 1} - \frac{5}{4 x - 1} - \frac{3}{2 x + 1}$ $\leftarrow$ Trước dấu ngoặc có dấu "-", đổi dấu các số hạng trong ngoặc $= \frac{3}{2 x + 1} - \frac{3}{2 x + 1} + \frac{5}{4 x - 1} - \frac{5}{4 x - 1}$ $\leftarrow$ Trước dấu ngoặc có dấu "+" $= (\frac{3}{2 x + 1} - \frac{3}{2 x + 1}) + (\frac{5}{4 x - 1} - \frac{5}{4 x - 1})$ $\leftarrow$ Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp $= 0$ .

Luyện tập 5

Em hãy giải thích cách làm của Vuông trong tình huống mở đầu.

Vận dụng

Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng 20 km, xe chạy trong thành phố với vận tốc $x$ (km/h). Trên 50 km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm 55 km/h. Ra khỏi cao tốc, xe còn phải chạy thêm 15 phút thì về đến quê.a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên đường cao tốc.b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê.

Bài tập

Trong các bài tập từ 6.20 đến 6.24 dưới đây, hãy thực hiện các phép tính đã chỉ ra.

6.20.

a) $\frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x^{2}} + \frac{5 x - 1 - x^{2}}{2 x^{2}}$ b) $\frac{x}{x - y} + \frac{y}{x - y}$ c) $\frac{x}{2 x - 6} + \frac{9}{2 x (3 - x)}$

6.21.

a) $\frac{5 - 3 x}{x + 1} - \frac{- 2 + 5 x}{x + 1}$ b) $\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}$ c) $\frac{3}{x + 1} - \frac{2 + 3 x}{x^{3} + 1}$

6.22.

a) $\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}$ b) $\frac{2 x - 1}{x} + \frac{1 - x}{x^{2} - 9} + \frac{3}{2 x + 1}$

6.23.

a) $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{x}{2 - x} - \frac{4 - x}{5 x - 10}$ b) $[\frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{3}{x + 6}] - [\frac{2 - x}{x + 4} - \frac{1}{x + 6} + \frac{x - 2}{x^{2} + 1}]$

6.24.

a) $\frac{x - y}{x y} + \frac{y - z}{y z} + \frac{z - x}{z x}$ b) $\frac{x}{(x - y)^{2}} + \frac{y}{y^{2} - x^{2}}$

6.25.

Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 15 km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 10 km/h và vận tốc của dòng nước là $x$ (km/h).a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo $x$ thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy.b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 16–19).