Bài 37. Hình đồng dạng – Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết hai hình đồng dạng.
Nhận biết hai hình đồng dạng phối cảnh.
Nhận biết được vẻ đẹp trong tự nhiên, nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo,... biểu hiện qua hình đồng dạng.

Thuật ngữ: Hình đồng dạng · Hình đồng dạng phối cảnh

Ta thấy rằng hai hình phẳng bằng nhau, tức là hai hình có thể chồng khít lên nhau, thì sẽ có hình dạng và kích thước giống nhau. Ngoài ra, còn có những hình có kích thước khác nhau nhưng vẫn có hình dạng giống nhau (ví dụ hình chụp những chú cá trong Hình 9.60). Trong các hình đơn giản đã được học, có những hình nào có tính chất đó? Bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về những hình như vậy.

Hình 9.60. Hình ảnh một đàn cá.

Hình đồng dạng. Hình đồng dạng phối cảnh

HĐ1

Lấy điểm O và vẽ tam giác A'B'C' như Hình 9.61. Trên các tia OA', OB', OC', lấy các điểm A, B, C sao cho $O A = 2 O A^{'}$ , $O B = 2 O B^{'}$ , $O C = 2 O C^{'}$ .

Hình 9.61. Hai tam giác A'B'C' và ABC được vẽ sao cho O là tâm phối cảnh. Các điểm A, B, C nằm trên tia OA', OB', OC' tương ứng. Tam giác ABC là hình phóng to của A'B'C'.

Hãy giải thích vì sao $△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ với tỉ số đồng dạng bằng 2.– Dùng thước thẳng, em hãy kiểm tra xem đường thẳng MM', NN' nối các trung điểm có đi qua O không?Trong Hình 9.61, ta nói tam giác ABC là hình phóng to (2 lần) của tam giác A'B'C' và tam giác A'B'C' là hình thu nhỏ (2 lần) của tam giác ABC.

HĐ2

Hình 9.62 là hai bức hình chân dung của một cậu bé với kích thước $2 \times 3$ (hình $H$ ) và $4 \times 6$ (hình $H^{'}$ ) được đặt cạnh nhau theo chiều thẳng đứng. Ta thấy các đường thẳng AA', BB' nối các điểm tương ứng trên hai bức chân dung cùng đi qua một điểm O.Dùng thước thẳng, em hãy kiểm tra xem một đường thẳng nối hai điểm tương ứng tuỳ ý trên hai hình (ví dụ C và C) có đi qua điểm O không?Ta cũng nói hình $H^{'}$ là hình phóng to của hình $H$ với tỉ số $6 : 3 = 2$ , hình $H$ là hình thu nhỏ của hình $H^{'}$ với tỉ số $3 : 6 = \frac{1}{2}$ .

Hình 9.62. Hai bức hình chân dung của một cậu bé, một hình nhỏ (H) và một hình lớn (H'). Các điểm tương ứng A, A' và B, B' được nối với nhau và đi qua điểm O.

Các cặp hình phóng to – thu nhỏ tương tự như trên được gọi là các hình đồng dạng phối cảnh. Điểm đồng quy O trong mỗi hình được gọi là tâm phối cảnh của các cặp hình. Trong Hình 9.62, ta nói hình $H^{'}$ đồng dạng phối cảnh với hình $H$ theo tỉ số đồng dạng $k = \frac{O A^{'}}{O A} = 2$ .Trong cặp hình phóng to – thu nhỏ, nếu thay đổi vị trí của một hình đi thì chúng vẫn có hình dạng giống nhau (H.9.63). Khi đó chúng được gọi là hình đồng dạng. Cụ thể, một hình $H^{'}$ được gọi là đồng dạng với hình $H$ nếu nó bằng $H$ hoặc bằng với một hình phóng to hay thu nhỏ của $H$ (H.9.64).

Hình 9.63. Hình ảnh hai con bướm và hai bông hoa, mỗi cặp có hình dạng giống nhau nhưng kích thước khác nhau.

Hộp thoại màu xanh lá cây với nội dung: Hai hình đồng dạng có hình dạng giống nhau.

Hình 9.64. Hình vẽ minh họa các hình đồng dạng: Hình H (bằng H), Hình H (thu nhỏ của H).

Theo em, hai hình tam giác bằng nhau có phải là hai hình đồng dạng phối cảnh không?

Ví dụ

Trong các hình học đơn giản chúng ta đã học, những cặp hình dưới đây là cặp hình đồng dạng.

Hình 9.65. Các cặp hình đồng dạng: Cặp hình vuông, Cặp hình tròn, Cặp hình tam giác đều.

Những hình đồng dạng phối cảnh thường gặp:

Hình 9.66. Hình ảnh hai ngôi nhà và hai ngôi sao có hình dạng giống nhau nhưng kích thước khác nhau, được đặt trong phối cảnh.

Những hình đồng dạng trong thế giới tự nhiên:

Hình 9.67. Hình ảnh lá cây, đàn bướm, những viên đá cuội, minh họa các hình đồng dạng trong tự nhiên.

Những hình đồng dạng sử dụng trong các công trình kiến trúc và trang trí:

Hình 9.68. Hình ảnh cung điện Hawa Mahal (Ấn Độ), các tam giác đều, các kim tự tháp, minh họa các hình đồng dạng trong kiến trúc.

Những hình đồng dạng phối cảnh trong nghệ thuật và thiết kế:

Hình 9.69. Hình ảnh búp bê Nga, tác phẩm sắp đặt "The Wave" ở Copenhagen (Đan Mạch), các tầng tháp, minh họa các hình đồng dạng trong nghệ thuật và thiết kế.

Luyện tập

Trong những cặp hình dưới đây (H.9.70), cặp hình nào là hai hình đồng dạng? Hãy chỉ ra một cặp hình đồng dạng phối cảnh và vẽ cặp hình đó cùng tâm phối cảnh vào vở.

Hình 9.70. Ba cặp hình: Cặp hình 1 (hai hình cong), Cặp hình 2 (hai hình ziczac), Cặp hình 3 (hai hình tam giác).

Tranh luận

Tớ nghĩ là hai hình vuông bất kì đều đồng dạng với nhau.Tớ nghĩ hai hình tam giác đều bất kì đều đồng dạng phối cảnh với nhau.Theo em, bạn nào đúng, bạn nào sai? Cho biết ý kiến của em.

Bài tập

9.29

Lấy một điểm O nằm ngoài một đoạn thẳng AB. Hãy vẽ hình đồng dạng phối cảnh tâm O của đoạn thẳng AB theo tỉ số đồng dạng $\frac{1}{2}$ .

9.30

Biết rằng mỗi hình dưới đây đồng dạng với một hình khác, hãy tìm các cặp hình đồng dạng đó.

Hình 9.71. Bốn hình bông hoa có hình dạng giống nhau nhưng kích thước khác nhau.

9.31

Trong các cặp hình đồng dạng dưới đây, cặp hình nào là đồng dạng phối cảnh?

Hình 9.72. Ba cặp hình đồng dạng: Cặp hình lục giác đều, Cặp hình tam giác đều, Cặp hình vuông.

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết $A B = 5$ cm, $A H = 4$ cm.a) Chứng minh $△ A H B \sim △ C H A$ .b) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AC.

Lời giải

Giải. (H.9.73)GT $△ A B C$ , $\hat{A} = 90^{\circ}$ , AH vuông góc với BC tại H, $A B = 5$ cm, $A H = 4$ cm.KL a) $△ A H B \sim △ C H A$ ;b) Tính BH, CH, AC.a) Xét tam giác AHB vuông tại H và tam giác CHA vuông tại H, ta có: $\hat{A B H} = 90^{\circ} - \hat{H A B} = \hat{C A B} - \hat{H A B} = \hat{C A H}$ .Vậy $△ A H B \sim △ C H A$ (cặp góc nhọn bằng nhau).b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông AHB, ta có: $B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} = 5^{2} - 4^{2} = 3^{2}$ .Suy ra $B H = 3$ cm.Mặt khác, vì $△ A H B \sim △ C H A$ nên $\frac{A B}{C H} = \frac{A H}{H A}$ . Đồng thời $\frac{A B}{A C} = \frac{A H}{C H}$ . Suy ra $C H = \frac{A H^{2}}{B H} = \frac{4^{2}}{3} = \frac{16}{3}$ (cm).Do đó $A C = \frac{A B \cdot C H}{A H} = \frac{5 \cdot \frac{16}{3}}{4} = \frac{20}{3}$ (cm).

Hình 9.73. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC có $A B = 4$ cm, $A C = 3$ cm, $B C = 5$ cm. Cho AH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng:a) $A B^{2} = B H \cdot B C$ ; $A C^{2} = C H \cdot B C$ ;b) $A H^{2} = B H \cdot C H$ ;c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH. Chứng minh rằng $△ A N B \sim △ C M A$ .

Lời giải

Giải. (H.9.74)Từ giả thiết, ta thấy $B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} = 25$ .Theo định lí Pythagore đảo thì ABC là tam giác vuông tại A.a) Tam giác AHB vuông tại H và tam giác CAB vuông tại A có: góc B chung nên $△ A H B \sim △ C A B$ (một góc nhọn bằng nhau).

Hình 9.74. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. M là trung điểm của AH, N là trung điểm của BH.

Do đó $\frac{A B}{B C} = \frac{B H}{A B}$ hay $A B^{2} = B H \cdot B C$ . Tương tự $A C^{2} = C H \cdot B C$ .b) Tam giác AHB vuông tại H và tam giác CHA vuông tại H có: $\hat{A B H} = \hat{A B C} = 90^{\circ} - \hat{A C B} = 90^{\circ} - \hat{A C H} = \hat{C A H}$ .Vậy $△ A H B \sim △ C H A$ (một góc nhọn bằng nhau). Do đó $\frac{A H}{C H} = \frac{H B}{H A}$ hay $A H^{2} = B H \cdot C H$ .c) Vì $△ A H B \sim △ C H A$ nên $\frac{A B}{C A} = \frac{H B}{H A}$ và $\hat{H B A} = \hat{H A C}$ .Hai tam giác ANB và CMA có: $\frac{N B}{A B} = \frac{H B}{2 A B}$ , $\frac{H A}{C A} = \frac{A M}{2 C A}$ . $\hat{N B A} = \hat{H B A} = \hat{H A C} = \hat{M A C}$ .Vậy $△ A N B \sim △ C M A$ (c.g.c).

Nhận xét

Cho $△ A B C$ vuông tại A có đường cao AH với $B C = a$ , $A C = b$ , $A B = c$ , $B H = b^{'}$ , $C H = c^{'}$ , $A H = h$ . Theo chứng minh câu a và câu b của Ví dụ 2 ta suy ra $b^{2} = a b^{'}$ ; $c^{2} = a c^{'}$ ; $h^{2} = b^{'} c^{'}$ .

Bài tập

9.32

Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH. Biết rằng $B H = 16$ cm, $C H = 9$ cm.a) Tính độ dài đoạn thẳng AH.b) Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC.

9.33

Cho tam giác ABC có $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm, $B C = 10$ cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho $B M = 4$ cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB tại P.a) Chứng minh rằng $△ B M P \sim △ C M N$ .b) Tính độ dài đoạn thẳng AM.

9.34

Trong Hình 9.75, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng:a) $△ A E H \sim △ A H B$ ;b) $△ A F H \sim △ A H C$ ;c) $△ A F E \sim △ A B C$ .

Hình 9.75. Tam giác ABC với đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC.

9.35

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh $△ H B M \sim △ H A N$ .

9.36

Vào gần buổi trưa, khi bóng bạn An dài 60 cm thì bóng cột cờ dài 3 m.a) Biết rằng bạn An cao 1,4 m. Hỏi cột cờ cao bao nhiêu mét?b) Vào buổi chiều khi bóng bạn An dài 3 m, hỏi bóng cột cờ dài bao nhiêu mét?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 104–109).