Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam…

Yêu cầu cần đạt

Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác.
Áp dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vào các vấn đề thực tiễn.

Trong môn bóng đá, độ khó của mỗi pha ghi bàn còn được tính bởi góc sút vào cầu môn là rộng hay hẹp. Nếu biết độ rộng của khung thành là 7,32 m, trái bóng cách hai cột gôn lần lượt là 10,98 m và 14,64 m thì em có cách nào để đo được góc sút ở vị trí này bởi các dụng cụ học tập không?

Hình 9.10. Hình 9.10: Sân bóng đá với khung thành và một quả bóng.

1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Để kiểm tra hai tam giác đồng dạng ta có nhất thiết phải kiểm tra tất cả các góc bằng nhau và độ dài tất cả các cạnh tỉ lệ với nhau không?

Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh

HĐ1

Cho hai tam giác ABC và $A^{'} B^{'} C^{'} c δ$ $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C}$ a) Nếu $A^{'} B^{'} = A B$ thì hai tam giác có đồng dạng với nhau không? Vì sao? b) Nếu $A^{'} B^{'} < A B$ như Hình 9.11. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho $A M = A^{'} B^{'} .$ Kẻ đường thẳng qua M song song với BC và cắt AC tại N. Hãy giải thích vì sao $△ A M N$ $△ A B C$ . Hãy chứng tỏ rằng $A N = A^{'} C^{'},$ $M N = B^{'} C^{'}$ để suy ra $Δ A M N = Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ (c.c.c). Hai tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ và ABC có đồng dạng với nhau không? Nếu có, em hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng giữa chúng. c) Nếu $A^{'} B^{'} > A B$ thì tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ có đồng dạng với tam giác ABC không? Vì sao?

Hình/bảng: Hình 9.11: Hai tam giác A'B'C' và ABC. Trong tam giác ABC, có điểm M trên AB và N trên AC sao cho MN song song với BC.

Tổng quát, ta có định lí sau:

Định lí (trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh)

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kía thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

$Δ A B C,$ $Δ A^{'} B^{'} C^{'},$ $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} .$

AA'B'C'S AABC.

Hình 9.12. Hình 9.12: Hai tam giác A'B'C' và ABC.

Những cặp tam giác nào dưới đây (H.9.13) là đồng dạng? (Các kích thước được tỉnh theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hình 9.13. Hình 9.13: Ba tam giác với các cạnh được ghi số đo: Tam giác ABC (cạnh 2, 3, 4), Tam giác DEF (cạnh 2.5, 3, 4), Tam giác MNP (cạnh 5, 6, 8).

Ví dụ 1

Cho các tam giác ABC và MNP có $3 A B = 4 B C = 8 C A,$ MN = 8 cm, $N P = 6$ cm, $P M = 3$ cm. Chứng minh rằng $△ A B C$ $△ M N P .$

Hình/bảng: Hình 9.14: Hai tam giác ABC và MNP. Tam giác MNP có các cạnh MN=8cm, NP=6cm, PM=3cm.

Lời giải

Giải. (H.9.14) GT $△ A B C,$ $△ M N P$ $3 A B = 4 B C = 8 C A$ MN = 8 cm, $N P = 6$ cm, PM = 3 cm. KL $Δ A B C$ $△ M N P$ Từ giả thiết ta có: $3 M N = 4 N P = 8 P M$ và $3 A B = 4 B C = 8 C A .$ Vậy $△ A B C$ và AMNP có: $\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P} = \frac{C A}{P M} .$ Do đó $△ A B C$ SAMNP (c.c.c).

Luyện tập 1

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27 cm. Biết rằng $A B = 4$ cm, $B C = 6$ cm, $D E = 6$ cm, $F D = 12$ cm. Chứng minh $△ A B C$ $△ D E F$

Hình/bảng: Hình ảnh hai nhân vật hoạt hình đang nói chuyện. Một nhân vật nói: "Tớ sẽ đi tìm độ dài cạnh còn lại của hai tam giác."

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu. Em hãy vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn. Từ đó tính góc sút bằng góc tương ứng của tam giác vừa vẽ được.

2. Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Nếu không đo tất cả các cạnh của hai tam giác, ta có cách nào để kiểm tra hai tam giác đó đồng dạng hay không?

Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh

HĐ2

Cho hai tam giác ABC và $A^{'} B^{'} C^{'}$ có độ dài các cạnh (theo đơn vị cm) như Hình 9.15. Biết rằng $\hat{A} = \hat{A^{'}}$ So sánh các tỉ số $\frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ $\frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ Dùng thước có vạch chia đo độ dài BC, B'C' và tính tỉ số $\frac{B^{'} C^{'}}{B C}$ Theo em, tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ có đồng dạng với tam giác ABC không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Hình/bảng: Hình 9.15: Hai tam giác A'B'C' và ABC. Tam giác A'B'C' có A'=60 độ, A'B'=2, A'C'=3. Tam giác ABC có A=60 độ, AB=3, AC=4.5.

Tổng quát, ta có định lí sau:

Định lí (trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh)

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Chứng minh định lí (H.9.16)

$△ A B C,$ $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ $\hat{A^{'}} = \hat{A} .$

$△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C$

Hình 9.16. Hình 9.16: Hai tam giác A'B'C' và ABC. Trong tam giác ABC, có điểm M trên AB và N trên AC.

Nếu $A^{'} B^{'} = A B t h i$ $A^{'} C^{'} = A C$ Do đó $△ A^{'} B^{'} C^{'} = △ A B C$ (c.g.c). Suy ra $△ A^{'} B^{'} C^{'} c$ $△ A B C .$ • Nếu $A^{'} B^{'} \neq A B t h i$ không mất tính tổng quát, ta giả sử $A^{'} B^{'} < A B$ . Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho $A M = A^{'} B^{'} .$ Kẻ đường thẳng qua M song song với BC, cắt AC tại N. Vì MN // BC nên $△ A M N$ $△ A B C$ (theo định lí trang 81). Do đó ta có $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} .$ Kết hợp với $A M = A^{'} B^{'}$ và giả thiết $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ ta suy ra: $A N = A^{'} C^{'} .$ Hai tam giác AMN và $A^{'} B^{'} C^{'}$ có: $A M = A^{'} B^{'}$ (theo cách dựng), $\hat{A} = \hat{A^{'}}$ (theo giả thiết), $A N = A^{'} C^{'}$ (chứng minh trên). Vậy $Δ A M N = Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ (c.g.c). Vì AAMNS $△ A B C$ nên $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C .$

Những cặp tam giác nào trong Hình 9.17 là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hình 9.17. Hình 9.17: Ba tam giác. Tam giác ABC có góc B=70 độ, cạnh AB=2, BC=3. Tam giác DEF có góc E=70 độ, cạnh DE=4, EF=3. Tam giác MNP có góc N=70 độ, cạnh MN=6, NP=8.

Ví dụ 2

Cho $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ABC và M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, $B^{'} C$ . Chứng minh rằng $△ A^{'} B^{'} M^{'}$ AABM.

Hình/bảng: Hình 9.18: Hai tam giác A'B'C' và ABC. M là trung điểm BC, M' là trung điểm B'C'.

Lời giải

Giải. (H.9.18) GT $△ A^{'} B^{'} C^{'} \subset △ A B C$ $M \in B C$ , $M^{'} \in B^{'} C^{'}$ , $B M = M C,$ $B^{'} M^{'} = M^{'} C^{'}$ . KL $Δ A^{'} B^{'} M^{'}$ $Δ A B M .$

Vi $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C$ nên $\hat{B^{'}} = \hat{B}$ và $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C}$ Do M, M' lần lượt là trung điểm của BC, $B^{'} C^{'}$ nên $\frac{M^{'} B^{'}}{M B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ Hai tam giác $A^{'} B^{'} M^{'}$ và ABM có: $\frac{M^{'} B^{'}}{M B} = \frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ và $\hat{B^{'}} = \hat{B}$ (theo chứng minh trên). Vậy $Δ A^{'} B^{'} M^{'}$ $Δ A B M$ (c.g.c).

Nhận xét.

Nếu $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C$ theo tỉ số k và AM, A'M' lần lượt là các đường trung tuyến của $△ A B C$ và $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ thì $\frac{A^{'} M^{'}}{A M} = k .$

Luyện tập 2

Cho $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C$ . Trên tia đối của các tia CB, C'B' lần lượt lấy các điểm M, M' sao cho $\frac{M C}{M B} = \frac{M^{'} C^{'}}{M^{'} B^{'}}$ Chứng minh rằng $Δ A^{'} B^{'} M^{'}$ $Δ A B M$

Tranh luận

1.

Bạn Lan nhận xét rằng nếu tam giác ABC và tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ có $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ và $\hat{B^{'}} = \hat{B}$ thì chúng đồng dạng. Theo em, bạn Lan nhận xét có đúng không? Vì sao? Gợi ý. Khi góc ACB tù, lấy điểm M trên tia BC sao cho $△ A M C$ cân (H.9.19) rồi xét xem trong hai tam giác ABC và ABM, tam giác nào đồng dạng với tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Hình/bảng: Hình 9.19: Tam giác ABC với điểm M trên BC sao cho tam giác AMC cân tại A.

2.

Nếu thêm giả thiết $\hat{C}$ và $\hat{C^{'}}$ đều là góc nhọn thì hai tam giác ABC và $A^{'} B^{'} C^{'}$ có đồng dạng không?

3. Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Nếu chỉ đo các góc của hai tam giác, ta có thể kiểm tra được hai tam giác đó có đồng dạng không?

Trường hợp đồng dạng góc - góc

Bạn Tròn đang đứng ở vị trí điểm A bên bờ sông và nhờ anh Pi tính giúp khoảng cách từ chỗ mình đứng đến chân một cột cờ tại điểm C bên kia sông (H.9.20a). Anh Pi lấy một vị trí B sao cho $A B = 10 m$ , $\overline{A B C} = 70^{\circ}$ , $\overline{B A C} = 80^{\circ}$ và vẽ một tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ trên giấy với $A^{'} B^{'} = 2$ cm, $\overline{A^{'} B^{'} C^{'}} = 70^{\circ}$ , $\overline{B^{'} A^{'} C^{'}} = 80^{\circ}$ (H.9.20b).

Hình 9.20. Hình 9.20: a) Sơ đồ đo khoảng cách qua sông. b) Tam giác A'B'C' trên lưới ô vuông.

HĐ3

Em hãy dự đoán xem tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ có đồng dạng với tam giác ABC không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

HD4

Nếu $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C$ và anh Pi đo được $A^{'} C^{'} = 3, 76$ cm thì khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là bao nhiêu mét?

Tổng quát, ta có định lí sau:

Định lí (trường hợp đồng dạng góc – góc)

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Chứng minh định lí (H.9.21)

$△ A B C$ $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $\hat{A} = \hat{A^{'}},$ $\hat{B} = \hat{B^{'}} .$

Hình 9.21. Hình 9.21: Hai tam giác A'B'C' và ABC. Trong tam giác ABC, có điểm M trên AB và N trên AC.

Nếu A'B' = AB thì $Δ A^{'} B^{'} C^{'} = Δ A B C$ (g.c.g). Suy ra $△ A^{'} B^{'} C^{'} \subset △ A B C .$ • Nếu $A^{'} B^{'} \neq A B t h i$ không mất tính tổng quát, ta giả sử $A^{'} B^{'} < A B$ . Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho $A M = A^{'} B^{'} .$ Kẻ đường thẳng qua M song song với BC, cắt AC tại N. Vì MN // BC nên $△ A M N$ $△ A B C$ (theo định lí trang 81). Do đó ta có $\hat{A M N} = \hat{A B C} = \hat{A^{'} B^{'} C^{'}}$ . Hai tam giác AMN và $A^{'} B^{'} C^{'} c \dot{o};$ : $\hat{A} = \hat{A^{'}}$ (theo giả thiết), $A M = A^{'} B^{'}$ (theo cách dựng), $\hat{A M N} = \overline{A^{'} B^{'} C^{'}}$ (chứng mình trên). Vậy $Δ A M N = Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ (g.c.g). Vì $△ A M N$ $△ A B C$ nên $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C .$

Những cặp tam giác nào trong Hình 9.22 là đồng dạng? Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hình 9.22. Hình 9.22: Ba tam giác. Tam giác ABC có góc A=60 độ, B=50 độ. Tam giác DEF có góc E=50 độ, F=60 độ. Tam giác MNP có góc M=60 độ, N=70 độ.

Ví dụ 3

Cho $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C$ và AM, $A^{'} M^{'}$ lần lượt là các đường phân giác của tam giác ABC và tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ . Chứng minh rằng $Δ A^{'} B^{'} M^{'}$ $Δ A B M .$

Hình/bảng: Hình 9.23: Hai tam giác A'B'C' và ABC. AM và A'M' là các đường phân giác.

Lời giải

Giải. (H.9.23) GT $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ $Δ A B C$ $M \in B C$ , $M^{'} \in B^{'} C^{'}$ , $\hat{B A M} = \overline{M A C}$ , $\overline{B^{'} A^{'} M^{'}} = \overline{M^{'} A^{'} C^{'}}$ . KL $Δ A^{'} B^{'} M^{'}$ $Δ A B M .$ VÌ $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C$ nên $\hat{B^{'}} = \hat{B}$ và $\overline{B^{'} A^{'} C^{'}} = \overline{B A C}$ Vì AM, $A^{'} M^{'}$ lần lượt là các đường phân giác của $\overline{B A C}$ và $B^{'} A^{'} C^{'}$ nên $\overline{B^{'} A^{'} M^{'}} = \frac{B^{'} A^{'} C^{'}}{2} = \overline{B A M} .$ Hai tam giác ABM và $A^{'} B^{'} M^{'}$ có $\hat{A^{'} B^{'} M^{'}} = \hat{A B M}$ , $\overline{B^{'} A^{'} M^{'}} = \overline{B A M}$ (theo chứng minh trên). Vậy $Δ A^{'} B^{'} M^{'}$ $Δ A B M$ (g.g).

Nhận xét.

Nếu $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C$ theo tỉ số k và AM, A'M' lần lượt là các đường phân giác của $△ A B C$ và $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ thì $\frac{A^{'} M^{'}}{A M} = k .$

Luyện tập 3

Cho các điểm A, B, C, D như Hình 9.24. Biết rằng $\overline{A B C} = \overline{A D B} .$ Hãy chứng minh $△ A B C$ $△ A D B$ và $A B^{2} = A D \cdot A C .$

Hình/bảng: Hình 9.24: Tam giác ABC với điểm D trên AC.

Thử thách nhỏ

Biết rằng ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy tại I , ba đường phân giác của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ đồng quy tại I'. Hãy chứng tỏ rằng nếu $\hat{A^{'} T^{'} B^{'}} = \hat{A I B}$ và $\hat{A^{'} Γ^{'} C^{'}} = \hat{A / C}$ thì $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C$ .

Bài tập

9.5.

Khẳng định nào sau đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng? a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia. b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau. c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia. d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.

9.6.

Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4 cm, 8 cm và 10 cm. Tam giác thứ hai có chu vi là 33 cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây? a) 6 cm, 12 cm, 15 cm. b) 8 cm, 16 cm, 20 cm. c) 6 cm, 9 cm, 18 cm. d) 8 cm, 10 cm, 15 cm.

9.7.

Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'} .$ Biết rằng $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ $△ A B C$ . Chứng minh rằng $\frac{A^{'} M^{'}}{A M} = \frac{B^{'} N^{'}}{B N} = \frac{C^{'} P^{'}}{C P} .$

9.8.

Cho tam giác ABC có $A B = 12$ cm, $A C = 15$ cm. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $A M = 10$ cm, $A N = 8$ cm. Chứng minh rằng $△ A B C$ $Δ A N M$ .

9.9.

Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho $\hat{A B N} = \overline{A C M} .$ a) Chứng minh rằng $Δ A B N$ $Δ A C M .$ b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng $I B \cdot I N = I C \cdot I M .$

9.10.

Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 3 m và 2 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25), hãy tính độ cao h của điểm đó so với mặt đất.

Hình/bảng: Hình 9.25: Hai cột cao 3m và 2m, nối chéo bằng dây. Dây cắt nhau tại độ cao h.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 9.26, biết rằng $A B = 6 c m,$ $A C = 9 c m$ , $A D = 8 c m,$ $B C = 12 c m .$ $B D = 4$ cm. Chứng minh rằng $△ A B C$ $△ B D A$ và $△ B D E$ SAАСЕ.

Hình/bảng: Hình 9.26: Các điểm A, B, C, D, E tạo thành các tam giác.

Lời giải

Hai tam giác ABC và BDA có: $\frac{A B}{B D} = \frac{A C}{B A} = \frac{B C}{D A} = \frac{3}{2} .$ Vậy $△ A B C c o Δ Δ B D A$ (c.c.c). Từ đó suy ra $\overline{C A B} = \overline{A B D}$ Do đó, AC // BD (có hai góc so le trong bằng nhau). Vậy đường thẳng AC song song với cạnh BD của tam giác BDE và cắt hai cạnh BE, DE kéo dài lần lượt tại A và C. Suy ra ABDE SAACE.

Ví dụ 2

Cho góc xOy, các điểm A, B nằm trên tia Ox và các điểm C, D nằm trên tia Oy như Hình 9.27, sao cho $O A = 2 c m .$ $O B = 6 c m$ , $O C = 3 c m .$ , $O D = 4 c m$ . Biết AD cắt BC tại điểm E. Hãy tỉnh tỉ số $\frac{B E}{D E}$

Hình/bảng: Hình 9.27: Góc xOy với các điểm A, B trên Ox và C, D trên Oy. AD cắt BC tại E.

Lời giải

GT G\dot{oc xOy; A, $B \in O x .$ C, $D \in O y$ $O A = 2 c m .$ $O B = 6 c m .$ $O C = 3 c m .$ $O D = 4 c m :$ AD cắt BC tại E. KL $T i n h \frac{B E}{D E} .$ Hai tam giác OAD và OCB có: Ô chung, $\frac{O A}{O C} = \frac{O D}{O B} = \frac{2}{3} .$ Vậy $△ O A D c o △ O C B$ (c.g.c). Suy ra $\hat{O D A} = \overline{O B C}$ (*). Hai tam giác AEB và CED có: $\hat{A E B} = \hat{C E D}$ (hai góc đối đỉnh), $\hat{A B E} = \hat{C D E}$ (theo (*)). Vậy AAEB ACED (g.g). Do đó $\frac{B E}{D E} = \frac{A B}{C D} = \frac{O B - O A}{O D - O C} = \frac{4}{1} = 4.$

Bài tập

9.11.

Cho ABC SADEF. Biết $\hat{A} = 60^{\circ}$ , $\hat{E} = 80^{\circ},$ hãy tính số đo các góc $\hat{B},$ $\hat{C}$ $\hat{D},$ $\hat{F}$

9.12.

Cho $△ A B C$ $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Biết $A B = 3 c m$ , $A^{'} B^{'} = 6 c m$ và tam giác ABC có chu vi bằng 10 cm. Hãy tính chu vi tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

9.13.

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có $\hat{D A B} = \overline{D B C}$ (H.9.28). a) Chứng minh rằng $△ A B D \subset △ B D C$ . b) Giả sử $A B = 2 c m .$ , $A D = 3 c m$ , $B D = 4 c m .$ Tính độ dài các cạnh BC và DC.

Hình/bảng: Hình 9.28: Hình thang ABCD với AB song song CD. Các cạnh AB=2, AD=3, BD=4.

9.14.

Cho các điểm A, B, C, D, E, F như Hình 9.29. Biết rằng DE // AB, EF // BC, $D E = 4 c m .$ , AB = 6 cm. Chứng minh rằng $Δ A E F$ $△ E C D$ và tính tỉ số đồng dạng.

Hình/bảng: Hình 9.29: Các điểm A, B, C, D, E, F tạo thành các tam giác. DE song song AB, EF song song BC.

9.15.

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 9.30. Biết rằng $\hat{B A C} = \overline{C D B} .$ Chứng minh rằng AAED ABEC.

Hình/bảng: Hình 9.30: Các điểm A, B, C, D, E tạo thành các tam giác. Các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E.

9.16.

Cho hình thang ABCD (AB // CD) và các điểm M, N lần lượt trên cạnh AD và BC sao cho $2 A M = M D$ $2 B N = N C$ Biết $A B = 5 c m$ CD = 6 cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng MN.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 83–92).