Bài 32. Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm…

Thuật ngữ: Xác suất thực nghiệm

Nhận xét

Việc tính xác suất của một biến cố E trong một hành động hay thực nghiệm đồng khả năng sẽ gồm các bước sau:
Bước 1. Đếm các kết quả có thể (thường bằng cách liệt kê);
Bước 2. Chỉ ra các kết quả có thể là đồng khả năng;
Bước 3. Đếm các kết quả thuận lợi cho biến cố E;
Bước 4. Lập tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố E và tổng số kết quả có thể.

Ví dụ 1

Một tấm bìa cứng hình tròn được chia thành 12 hình quạt như nhau và đánh số 1; 2; 3;...; 12 (H.8.1), được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm. Quay tấm bìa xem mũi tên chỉ vào hình quạt nào khi tấm bìa dừng lại, tỉnh xác suất của các biến cố sau:
a) A: "Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số nguyên tố";
b) B: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số chính phương".

Hình/bảng: Hình 8.1: Một vòng tròn được chia thành 12 phần bằng nhau, đánh số từ 1 đến 12 theo chiều kim đồng hồ. Có một mũi tên ở tâm chỉ vào số 12.

Giải

Có 12 kết quả có thể, đó là 1; 2;...; 12. Do 12 hình quạt như nhau nên 12 kết quả có thể này là đồng khả năng.
a) Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là 2; 3; 5; 7; 11. Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố A. Do đó, xác suất của biến cố A là $P (A) = \frac{5}{12} .$
b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là 1; 4; 9. Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó, xác suất của biến cố B là $P (B) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} .$

Luyện tập 1

Trở lại tình huống mở đầu. Tính xác suất để Lan lấy được:
a) Viên kẹo sữa;
b) Viên kẹo chanh.

Ví dụ 2

Một hộp đựng 18 viên bi cùng khối lượng và kích thước, với hai màu đỏ và vàng, trong đó số viên bì màu vàng gấp đôi số viên bị màu đỏ. Bình lấy ngẫu nhiên một viên bị từ trong hộp. Tính xác suất để Bình lấy được viên bi màu vàng.

Giải

Gọi x là số viên bị màu đỏ. Khi đó số viên bi màu vàng là 2x.
Theo đề bài, ta có $x + 2 x = 18$ , hay $3 x = 18$ , tức là $x = 6$ .
Do đó, số viên bi màu vàng là 12.
Do Bình lấy ngẫu nhiên một viên bị từ hộp có 18 viên nên có 18 kết quả có thể và các kết quả đó là đồng khả năng.
Vậy xác suất để Bình được viên bị màu vàng là $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Luyện tập 2

Trên giá sách của thư viện có 15 cuốn sách, trong đó có một số cuốn tiểu thuyết. Người thủ thư đặt thêm 5 cuốn tiểu thuyết thư viện mới mua vào giá sách. Bạn Nam đến mượn sách, chọn ngẫu nhiên một cuốn sách trên giả. Biết rằng xác suất để chọn được cuốn tiểu thuyết là $\frac{3}{4}$ . Hỏi lúc đầu trên giá sách có bao nhiêu cuốn tiểu thuyết?

Tranh luận

Một túi đựng 17 viên bị cùng khối lượng và kích thước, chỉ khác màu, trong đó có 8 viên bì màu đỏ, 5 viên bị màu xanh và 4 viên bị màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bị từ trong túi. Tính xác suất của biến cố E: “Lấy được viên bì màu đỏ".
Có 17 viên bị nên có 17 kết quả có thể. Có 8 viên bi màu đỏ nên có 8 kết quả thuận lợi cho biến cố E. Vậy $P (E) = \frac{8}{17}$ .
Các viên bị cùng khối lượng và kích thước, chỉ khác màu, nên chỉ có 3 kết quả có thể là viên bi màu đỏ, viên bị màu trắng và viên bì màu vàng. Do đó $P (E) = \frac{1}{3}$ .
Vuông và Tròn ai nói đúng? Tại sao?

Bài tập

8.4

Một hình tròn được chia thành 20 hình quạt như nhau, đánh số từ 1; 2;...; 20 và được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm (H.8.2). Quay tấm bìa và quan sát xem mũi tên chỉ vào hình quạt nào khi tấm bìa dừng lại.

Hình/bảng: Hình 8.2: Một vòng tròn được chia thành 20 phần bằng nhau, đánh số từ 1 đến 20 theo chiều kim đồng hồ. Có một mũi tên ở tâm chỉ vào số 19.

Tính xác suất để mũi tên:
a) Chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4.
b) Chỉ vào hình quạt ghi số không phải là số nguyên tố.

8.5

Một túi đựng các viên kẹo giống hệt nhau, chỉ khác màu, trong đó có 5 viên kẹo màu đen, 3 viên kẹo màu đỏ, 7 viên kẹo màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một viên kẹo trong túi.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a) E: “Lấy được viên kẹo màu đen";
b) F: “Lấy được viên kẹo màu đen hoặc màu đỏ";
c) G: “Lấy được viên kẹo màu trắng";
d) H: “Không lấy được viên kẹo màu đỏ".

8.6

Trong một chiếc hộp có 15 tấm thẻ giống nhau được đánh số 10; 11;...; 24. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: “Rút được tấm thẻ ghi số lẻ";
b) B: “Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố".

8.7

Trò chơi vòng quay may mắn.
Một bánh xe hình tròn được chia thành 12 hình quạt như nhau, trong đó có 2 hình quạt ghi 100 điểm, 2 hình quạt ghi 200 điểm, 2 hình quạt ghi 300 điểm, 2 hình quạt ghi 400 điểm, 1 hình quạt ghi 500 điểm, 2 hình quạt ghi 1 000 điểm, 1 hình quạt ghi 2 000 điểm (H.8.3). Ở mỗi lượt, người chơi quay bánh xe. Mũi tên cố định gắn trên vành bánh xe dừng ở hình quạt nào thì người chơi nhận được số điểm ghi trên hình quạt đó.
Bạn Lan chơi trò chơi này. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: “Trong một lượt quay, Lan được 400 điểm";
b) B: “Trong một lượt quay, Lan được ít nhất 500 điểm".

Hình/bảng: Hình 8.3: Một vòng quay may mắn được chia thành 12 phần với các giá trị điểm khác nhau: 2000, 1000, 500, 400, 300, 200, 100. Các giá trị lặp lại.

1. Xác suất thực nghiệm của một biến cố

Ở lớp 6, chúng ta đã biết khái niệm xác suất thực nghiệm của một sự kiện trong một số trò chơi, thí nghiệm đơn giản. Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm xác suất thực nghiệm của một biến cố trong những tình huống thực tế.

HĐ1

Ông An theo dõi và thống kê số cuộc gọi điện thoại đến cho ông trong một ngày. Sau 59 ngày theo dõi, kết quả thu được như sau:
Gọi A là biến cố "Trong một ngày ông An nhận được nhiều hơn 6 cuộc gọi". Hỏi trong 59 ngày, có bao nhiêu ngày biến cố A xuất hiện?

Hình/bảng: Bảng thống kê số cuộc điện thoại gọi đến trong một ngày và số ngày tương ứng: 0 cuộc gọi (5 ngày), 1 (9), 2 (15), 3 (10), 4 (5), 5 (6), 6 (4), 7 (2), 8 (3).

Giả sử trong n lần thực nghiệm hoặc n lần theo dõi (quan sát) một hiện tượng ta thấy biến cố E xảy ra k lần. Khi đó xác suất thực nghiệm của biến cố E bằng $\frac{k}{n}$ , tức là bằng tỉ số giữa số lần xuất hiện biến cố E và số lần thực hiện thực nghiệm hoặc theo dõi hiện tượng đó.

Ví dụ 1

Trở lại tình huống trong HĐ1. Gọi E là biến cố "Trong một ngày ông An nhận được ít nhất 5 cuộc gọi điện thoại” và F là biến cố “Trong một ngày ông An nhận được nhiều nhất 3 cuộc điện thoại". Tính xác suất thực nghiệm của biến cố E và biến cố F.

Giải

Trong 59 ngày theo dõi có 6 ngày có 5 cuộc gọi, 4 ngày có 6 cuộc gọi, 2 ngày có 7 cuộc gọi và 3 ngày có 8 cuộc gọi.

Do đó, số ngày có ít nhất 5 cuộc gọi là $6 + 4 + 2 + 3 = 15$ (ngày).
Như vậy trong 59 ngày theo dõi, ông An thấy biến cố E xảy ra 15 lần.
Vậy xác suất thực nghiệm của biến cố E là $\frac{15}{59}$

Trong 59 ngày theo dõi có 5 ngày không có cuộc gọi, 9 ngày có 1 cuộc gọi, 15 ngày có 2 cuộc gọi và 10 ngày có 3 cuộc gọi.

Do đó, số ngày có nhiều nhất 3 cuộc gọi là $5 + 9 + 15 + 10 = 39$ (ngày).
Như vậy trong 59 ngày theo dõi, ông An thấy biến cố F xảy ra 39 lần.
Vậy xác suất thực nghiệm của biến cố F là $\frac{39}{59} .$

Luyện tập 1

Một cửa hàng thống kê số lượng các loại điện thoại bán được trong một năm vừa qua như sau:
Tính xác suất thực nghiệm của biến cố E: “Chiếc điện thoại loại A được bán ra trong năm đó của cửa hàng".

Hình/bảng: Bảng thống kê loại điện thoại (A, B, C) và số lượng bán được (chiếc): A (712), B (1035), C (1085).

2. Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất

Ta đã biết khả năng xảy ra của một biến cố được đo lường bằng một số nhận giá trị từ 0 đến 1, gọi là xác suất của biến cố đó. Trong Bài 31, ta đã có công thức tính xác suất của một biến cố với giả thiết rằng các kết quả có thể của một hành động hay thực nghiệm là đồng khả năng.

Tuy nhiên trong nhiều tình huống, giả thiết trên không thoả mãn. Người ta thấy rằng có thể ước lượng xác suất của một biến cố nhờ xác suất thực nghiệm.

Xác suất của biến cố E được ước lượng bằng xác suất thực nghiệm của E:
$P (E) \approx \frac{k}{n}$
trong đó n là số lần thực nghiệm hay theo dõi một hiện tượng,
k là số lần biến cố E xảy ra.

Ví dụ 2

Kiểm tra ngẫu nhiên 500 chiếc ti vi do nhà máy X sản xuất thì có 4 chiếc không đạt chất lượng. Hãy ước lượng xác suất của biến cố E: “Một ti vi của nhà máy X sản xuất không đạt chất lượng".

Giải

Trong 500 lần quan sát ta thấy biến cố E xảy ra 4 lần.
Do đó, xác suất thực nghiệm của biến cố E là $\frac{4}{500} = 0, 008 = 0, 8 % .$
Vậy xác suất của biến cố E được ước lượng là 0,8%.

Luyện tập 2

Trở lại tình huống mở đầu. Giả sử camera quan sát đường Nguyễn Trãi trong 365 ngày ghi nhận được 217 ngày tắc đường vào giờ cao điểm buổi sáng. Từ số liệu thống kê đó, hãy ước lượng xác suất của biến cố E: “Tắc đường vào giờ cao điểm buổi sáng ở đường Nguyễn Trãi".

Ví dụ 3

Thống kê tới ngày 26-12-2021, toàn thế giới có 279 830 788 người nhiễm Covid-19, trong đó có 5 413 126 người tử vong. (Theo www.worldometers.info).
Hãy ước lượng xác suất người nhiễm Covid-19 bị tử vong.

Hình/bảng: Hình ảnh minh họa một nhóm người đang đeo khẩu trang.

Giải

Theo dõi 279 830 788 người nhiễm Covid-19 và thống kê có 5 413 126 người tử vong.
Vậy xác suất thực nghiệm của biến cố “Người nhiễm Covid-19 bị tử vong là $\frac{5413126}{279830788} \approx 0, 0193 = 1, 93 % .$
Vậy xác suất người nhiễm Covid-19 bị tử vong được ước lượng là 1,93%.

Luyện tập 3

Trong 240 000 trẻ sơ sinh chào đời người ta thấy có 123 120 bé trai. Hãy ước lượng xác suất của biến cố "Trẻ sơ sinh là bé gái".

3. Ứng dụng

Xác suất thực nghiệm có thể sử dụng để đưa ra dự báo số lần xảy ra một sự kiện, hiện tượng trong tương lai.

Ví dụ 4

Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, kiểm tra chất lượng của 100 sản phẩm. Kết quả được ghi trong bảng sau:
a) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Hãy tính xác suất thực nghiệm của các biến cố sau:
A: “Sản phẩm không có lỗi";
B: “Sản phẩm có đúng 1 lỗi";
C: "Sản phẩm có nhiều hơn 1 lỗi".
b) Nếu kiểm tra 120 sản phẩm khác, hãy dự đoán:

Có bao nhiêu sản phẩm không có lỗi?
Có bao nhiêu sản phẩm có đúng 1 lỗi?
Có bao nhiêu sản phẩm nhiều hơn 1 lỗi?

Hình/bảng: Bảng thống kê số lỗi và số sản phẩm: Số lỗi 0 (62 sản phẩm), 1 (35 sản phẩm), > 1 (3 sản phẩm).

Giải

a) Xác suất thực nghiệm của các biến cố A, B và C tương ứng là
$\frac{62}{100} = 0, 62; \frac{35}{100} = 0, 35$ và $\frac{3}{100} = 0, 03$
Vậy ta có các ước lượng sau: $P (A) \approx 0, 62;$ $P (B) \approx 0, 35$ ; $P (C) \approx 0, 03$ .
b) Khi kiểm tra 120 sản phẩm khác.

Gọi k là số sản phẩm không có lỗi.

Ta có $P (A) \approx \frac{k}{120} .$ Thay giá trị ước lượng của $P (A)$ ở trên, ta được $\frac{k}{120} \approx 0.62.$ Suy ra $k \approx 120 \cdot 0, 62 = 74, 4$ .
Vậy có khoảng 74 sản phẩm không có lỗi.

Gọi h là số sản phẩm có đúng 1 lỗi.

Ta có $P (B) \approx \frac{h}{120}$ Thay giá trị ước lượng của $P (B)$ ở trên, ta được $\frac{h}{120} \approx 0.35.$ Suy ra $h \approx 120 \cdot 0, 35 = 42$ .
Vậy có khoảng 42 sản phẩm có đúng 1 lỗi.

Gọi m là số sản phẩm có nhiều hơn 1 lỗi.

Ta có $P (C) \approx \frac{m}{120}$ Thay giá trị ước lượng của $P (C)$ ở trên, ta được $\frac{m}{120} \approx 0, 03.$ Suy ra $m \approx 120 \cdot 0, 03 = 3, 6$
Vậy có khoảng 4 sản phẩm có nhiều hơn 1 lỗi.

EM CÓ BIẾT?

Tính gần đúng số $π$ bằng cách tung kim
Tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn tuỳ ý luôn không đổi và được kí hiệu là $π$ . Số $π$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn; 13 chữ số đầu trong cách viết thập phân của $π$ là 3,141592653589...
Trên mặt phẳng, kẻ các đường thẳng song song với nhau, cách đều nhau một khoảng bằng d. Lấy một chiếc kim có độ dài h ném ngẫu nhiên lên mặt phẳng đó. Gọi E là biến cố “Chiếc kim cắt một trong các đường thẳng đã vẽ". Nhà toán học Pháp G.L. Buffon (1707 – 1788) đã chứng minh được rằng:
$P (E) = \frac{2 h}{π d} .$
Giả sử ném chiếc kim n lần, các đường thẳng song song cách đều nhau một khoảng d và thấy có k lần chiếc kim cắt đường thẳng. Khi đó xác suất thực nghiệm của E là $\frac{k}{n}$ . Vậy $P (E) \approx \frac{k}{n}$ . Suy ra $\frac{2 h}{π d} = \frac{k}{n}$ . Từ đó $π \approx \frac{2 h n}{k d}$
Nếu chọn độ dài chiếc kim $h = \frac{d}{2}$ thì $π \approx \frac{n}{k}$
Buffon đã thực hiện 2 212 lần ném chiếc kim có độ dài 1 cm lên mặt phẳng được kẻ bởi các đường thẳng song song với nhau, cách nhau một khoảng 2 cm và quan sát thấy có 704 lần kim cắt một trong các đường thẳng đã vẽ.
Vậy $π \approx \frac{2212}{704} \approx 3, 142045...$
Năm 1901, nhà toán học Lazzerini đã tăng số lần ném kim lên và tìm được $π \approx 3, 1415929$
Ngày nay trong Cung khoa học “Các phát minh" ở Pháp có đặt một dụng cụ cho phép khách tham quan tự tính gần đúng số $π$ bằng cách tung kim.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Một hộp đựng 36 tấm thẻ giống nhau được đánh số 1; 2; 3;...; 36. Bạn Nam rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) E: "Rút được tấm thẻ ghi số chia hết cho 4";
b) F: “Rút được tấm thẻ ghi số là bội của 4 hoặc 6";
c) G: “Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố".

Giải

Có 36 kết quả có thể, đó là 1; 2; 3;...; 36. Do rút ngẫu nhiên nên các kết quả có thể này là đồng khả năng.
a) Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố E là: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36.
Vậy $P (E) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} .$
b) Có 12 kết quả thuận lợi cho biến cố F là: 4; 6; 8; 12; 16; 18; 20; 24; 28; 30; 32; 36.
Vậy $P (F) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} .$
c) Có 11 kết quả thuận lợi cho biến cố G là: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31.
Vậy $P (G) = \frac{11}{36} .$

Ví dụ 2

Một cơ quan quản lí đã thống kê được số lượt khách đến tham quan di tích X trong năm qua như sau:
a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố E: “Khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8";
b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố F: “Khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12";
c) Giả sử năm tới có 1 196 lượt khách đến tham quan di tích. Hãy dự đoán xem:

Có bao nhiêu lượt khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8.
Có bao nhiêu lượt khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12.

Hình/bảng: Bảng thống kê số lượt khách tham quan di tích X theo tháng: Tháng 1;2 (137 lượt), 3;4 (181 lượt), 5;6 (148 lượt), 7;8 (117 lượt), 9;10 (116 lượt), 11;12 (111 lượt).

Giải

a) Số lượt khách tham quan di tích trong năm qua là
$137 + 181 + 148 + 117 + 116 + 111 = 810.$
Có 117 lượt khách tham quan vào tháng 7, tháng 8.
Vậy xác suất thực nghiệm của biến cố E là $\frac{117}{810} \approx 0, 144$ .

b) Số lượt khách tham quan di tích từ tháng 7 đến tháng 12 trong năm qua là
$117 + 116 + 111 = 344.$
Vậy xác suất thực nghiệm của biến cố F là $\frac{344}{810} \approx 0.425$ .
c) Ta có $1196 \cdot \frac{117}{810} \approx 172, 76$ . Vậy ta dự đoán trong năm tới có khoảng 173 lượt khách tham quan di tích vào tháng 7 và tháng 8.
Ta có $1196 \cdot \frac{344}{810} \approx 507.93$ . Vậy ta dự đoán trong năm tới có khoảng 508 lượt khách tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12.

Bài tập

8.14

Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc khác 6";
b) B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bé hơn 3";
c) C: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lớn hơn 2";
d) D: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số nguyên tố".

8.15

Một túi đựng các quả bóng giống hệt nhau, chỉ khác màu, trong đó có 15 quả bóng màu xanh, 13 quả bóng màu đỏ và 17 quả bóng màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong túi. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) C: “Lấy được quả bông màu xanh";
b) D: "Lấy được quả bóng màu đỏ";
c) E: “Không lấy được quả bóng màu trắng".

8.16

Trong trò chơi “Xúc xắc may mắn”, ở mỗi ván chơi, người chơi gieo đồng thời hai con xúc xắc và ghi lại tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc. Một người chơi 80 ván và ghi lại kết quả trong bảng sau:
a) Giả sử người chơi thắng nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 5 hoặc 7. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố E: "Người chơi thắng trong một ván chơi".
b) Giả sử người chơi thắng nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ nhất là 10. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố F: “Người chơi thắng trong một ván chơi".

Hình/bảng: Bảng thống kê tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc và số ván tương ứng: Tổng số chấm 2 (2 ván), 3 (5 ván), 4 (6 ván), 5 (8 ván), 6 (11 ván), 7 (14 ván), 8 (12 ván), 9 (9 ván), 10 (6 ván), 11 (4 ván), 12 (3 ván).

8.17

Thống kê số vụ tai nạn giao thông trong hai tháng 8 và 9 của thành phố X được kết quả như bảng sau:
Từ bảng thống kê trên, hãy dự đoán xem trong ba tháng 10; 11; 12 tới tại thành phố X:
a) Có bao nhiêu ngày có nhiều nhất 3 vụ tai nạn giao thông.
b) Có bao nhiêu ngày có ít nhất 5 vụ tai nạn giao thông.

Hình/bảng: Bảng thống kê số vụ tai nạn giao thông xảy ra trong một ngày và số ngày tương ứng: 0 vụ (4 ngày), 1 (9 ngày), 2 (15 ngày), 3 (10 ngày), 4 (8 ngày), 5 (6 ngày), 6 (4 ngày), 7 (3 ngày), >=8 (2 ngày).

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 64–75).