Bài 24. Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Khái niệm, thuật ngữPhép nhân, phép chia các phân thức đại sốKiến thức, kĩ năng- Thực hiện phép nhân và phép chia hai phân thức đại số.- Vận dụng tính chất của phép nhân phân thức trong tính toán.

Two cartoon characters explaining how to multiply fractions. One says: 'Nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau nhé.' (Multiply the numerators together and multiply the denominators together). The other says: 'Thế cách nhân hai phân thức cũng giống như cách nhân hai phân số nhỉ.' (So, multiplying two rational expressions is similar to multiplying two fractions, right?). A math problem is shown:

\frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x} = ?

1 nhân hai phân thức

Quy tắc nhân hai phân thức

HĐ1

Làm theo hướng dẫn của anh Pi trong tình huống mở đầu để nhân hai phân thức $\frac{2 x}{x + 1}$ và $\frac{x - 1}{x}$

Tổng quát, ta có quy tắc sau:

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$

Chú ý. Kết quả của phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích dưới dạng rút gọn.

Ví dụ 1

Nhân hai phân thức $\frac{2 x - 1}{5 x + 1}$ và $\frac{5 x + 1}{4 x^{2} - 1}$

Lời giải

GiảiTa có: $\frac{2 x - 1}{5 x + 1} \cdot \frac{5 x + 1}{4 x^{2} - 1} = \frac{(2 x - 1) (5 x + 1)}{(5 x + 1) (4 x^{2} - 1)} = \frac{(2 x - 1) (5 x + 1)}{(5 x + 1) (2 x - 1) (2 x + 1)} = \frac{1}{2 x + 1}$

Luyện tập 1

Làm tính nhân:a) $\frac{x}{x + y} \cdot \frac{2 x + 2 y}{3 x y}$ b) $\frac{3 x}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{- 2 x + 1}{2 x^{2}}$

Chú ý. Cũng như phép nhân phân số, phép nhân phân thức có các tính chất sau:a) Giao hoán: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{C}{D} \cdot \frac{A}{B}$ b) Kết hợp: $(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D}) \cdot \frac{E}{F} = \frac{A}{B} \cdot (\frac{C}{D} \cdot \frac{E}{F})$ c) Phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B} \cdot (\frac{C}{D} + \frac{E}{F}) = \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} + \frac{A}{B} \cdot \frac{E}{F}$

Áp dụng các tính chất của phép nhân phân thức ta có thể rút gọn một số biểu thức, chẳng hạn: $\frac{x}{y} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{x - 1}{x + 1}$

2 chia hai phân thức

Quy tắc chia hai phân thức

Cách chia hai phân thức cũng tương tự như cách chia hai phân số. Ta có quy tắc:

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức $\frac{D}{C}$ : $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ với $\frac{C}{D} \neq 0$ .

A cartoon character with a thought bubble saying: '

\frac{C}{D} \cdot \frac{D}{C} = 1

. Ta nói

\frac{D}{C}

là phân thức nghịch đảo của

\frac{C}{D}

Ví dụ 2

Làm tính chia: $\frac{5}{x^{2} - 1} : \frac{3}{x^{2} - x}$

Lời giải

GiảiTa có: $\frac{5}{x^{2} - 1} : \frac{3}{x^{2} - x} = \frac{5}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{3} = \frac{5 x (x - 1)}{3 (x^{2} - 1)} = \frac{5 x (x - 1)}{3 (x - 1) (x + 1)} = \frac{5 x}{3 (x + 1)}$

Luyện tập 2

Làm tính chia: $\frac{3 x}{2 y^{2}} : \frac{5 x^{2}}{12 y^{3}}$

Thử thách nhỏ

Kết luận sau đúng hay sai? $\frac{1}{x} : \frac{1}{x} : \frac{1}{x} : \frac{1}{x} = x$

Vận dụng

Bác Châu vay ngân hàng 1,2 tỉ đồng để mua nhà theo hình thức trả góp. Số tiền bác Châu phải trả mỗi tháng bao gồm số tiền gốc phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc chia đều cho số tháng vay) và số tiền lãi phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc nhân với lãi suất tháng).a) Gọi $r$ là lãi suất năm của khoản vay trả góp này. Tính số tiền $x$ (triệu đồng) mà bác Châu phải trả mỗi tháng theo số tháng vay $y$ (tháng) và lãi suất năm $r$ . Từ đó suy ra công thức tính lãi suất năm $r$ theo $x$ và $y$ .b) Tính giá trị của $r$ tại $x = 30$ , $y = 48$ rồi cho biết, nếu trả góp mỗi tháng 30 triệu đồng trong vòng 4 năm thì lãi suất năm (tính theo %) của khoản vay này là bao nhiêu?

Bài tập

6.26.

Làm tính nhân phân thức:a) $(\frac{3 x}{5 x y^{2}}) \cdot (\frac{5 y^{2}}{12 x y})$ b) $\frac{x^{2} - x}{2 x + 1} \cdot \frac{4 x^{2} - 1}{x^{3} - 1}$

6.27.

Làm tính chia phân thức:a) $(\frac{3 x}{5 x y^{2}}) : (\frac{5 y^{2}}{12 x y})$ b) $\frac{4 x^{2} - 1}{8 x^{3} - 1} : \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{4 x^{2} + 2 x + 1}$

6.28.

Tìm hai phân thức $P$ và $Q$ thoả mãn:a) $P \cdot \frac{x + 1}{2 x + 1} = \frac{x^{2} + x}{4 x^{2} - 1}$ b) $Q : \frac{x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 2 x}$

6.29.

Cho hai phân thức $P = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} + 3 x}$ và $Q = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 3 x}$ .a) Rút gọn $P$ và $Q$ .b) Sử dụng kết quả của câu a, tính $P \cdot Q$ và $P : Q$ .

6.30.

Trở lại tình huống trong Vận dụng.a) Nếu mỗi tháng bác Châu trả 15 triệu đồng trong 10 năm thì lãi suất năm (tính theo %) là bao nhiêu? Hãy cho biết tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả chênh lệch bao nhiêu so với khoản vay 1,2 tỉ đồng.b) Trong công thức tính lãi suất năm nói trên, hai biến $x$ , $y$ phải thoả mãn các điều kiện $x > 0$ , $y > 0$ , $x y > 1200$ . Em hãy giải thích ý nghĩa thực tiễn của các điều kiện này.

Ví dụ 1

a) Tính hiệu $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn biểu thức sau: $\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$ c) Sử dụng kết quả câu b, tính nhanh: $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4}$

Lời giải

Giảia) $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - x}{x (x + 1)} = \frac{1}{x (x + 1)}$ b) Theo câu a, ta có $\frac{1}{x (x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ Do đó $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$ và $\frac{1}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}$ Vậy $\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{(x + 3) - x}{x (x + 3)} = \frac{3}{x (x + 3)}$ c) Giá trị của biểu thức số cần tính chính là giá trị của biểu thức vừa rút gọn tại $x = 1$ , do đó bằng $\frac{3}{1 \cdot (1 + 3)} = \frac{3}{4}$ .

Ví dụ 2

Rút gọn biểu thức $P = \frac{x + 1}{x^{3} - 1} [(4 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1}) - 5]$ .

Lời giải

GiảiTa có $(4 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1}) = \frac{4 x^{2} - 1}{2 x - 1} - \frac{4 x^{2} - 1}{2 x + 1}$ $= 2 x + 1 - (2 x - 1)$ $= 2 x + 1 - 2 x + 1 = 2$ .Do đó $P = \frac{x + 1}{x^{3} - 1} [4 x^{2} + 1 - 5] = \frac{(x + 1) (4 x^{2} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(x + 1) 4 (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{4 (x + 1)^{2}}{x^{2} + x + 1}$

Bài tập

Trong các bài tập từ 6.31 đến 6.33 dưới đây, hãy thực hiện các phép tính đã chỉ ra.

6.31.

a) $\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}$ b) $\frac{x}{2 x - y} + \frac{y}{2 x + y} + \frac{3 x y}{y^{2} - 4 x^{2}}$

6.32.

a) $\frac{4 x - 6}{5 x^{2} - x} - \frac{25 x^{2} - 10 x + 1}{27 - 8 x^{3}}$ b) $\frac{2 x + 10}{(x - 3)^{2}} - \frac{(x + 5)^{2}}{x^{2} - 9}$

6.33.

a) $\frac{4 x^{2} - 1}{16 x^{2} - 1} (\frac{1}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{1 - 4 x^{2}})$ b) ${(\frac{x + y}{x y} - \frac{2}{x})}^{2} : \frac{x^{3} - y^{3}}{x^{3} y^{3}}$

6.34.

Cho biểu thức $P = \frac{x^{2} - 6 x + 9}{9 - x^{2}} + \frac{4 x + 8}{x + 3}$ .a) Rút gọn $P$ .b) Tính giá trị của $P$ tại $x = 7$ .c) Chứng tỏ $P = \frac{2}{x + 3}$ . Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên.

6.35.

Một xưởng may lập kế hoạch may 80 000 bộ quần áo trong $x$ ngày. Nhờ cải tiến kĩ thuật, xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm 11 ngày và may vượt kế hoạch 100 bộ quần áo.a) Hãy viết phân thức theo biến $x$ biểu thị số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được theo kế hoạch.b) Viết phân thức biểu thị số bộ quần áo thực tế xưởng may được mỗi ngày.c) Viết biểu thức biểu thị số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch.d) Nếu theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp may 800 bộ quần áo thì nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch bao nhiêu bộ quần áo?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 20–24).