Bài 29. Hệ số góc của đường thẳng

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết khái niệm hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b(a
e0)$
Sử dụng hệ số góc của đường thẳng để nhận biết và giải thích sự cắt nhau hoặc song song của hai đường thẳng cho trước

Thuật ngữ: Hệ số góc của đường thẳng

Khái niệm, thuật ngữ Kiến thức, kĩ năng Hệ số góc của đường thẳng • Nhận biết khái niệm hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b(a
e0)$. • Sử dụng hệ số góc của đường thẳng để nhận biết và giải thích sự cắt nhau hoặc song song của hai đường thẳng cho trước.

Làm thế nào để biết hai đường thẳng $y = a x + b$ và $y = a^{′} x + b^{′}$ b'song song hay cắt nhau nhỉ?

Cứ vẽ hai đường thẳng này trong cùng mặt phẳng toạ độ Oxy là biết ngay mà!

Anh có một cách nhanh hơn nhiều mà không cần vẽ hình. Trong bài học này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nhé!

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b(a
e0) $v \overset{ˋ}{a} t r ụ c O x T r o n g m ặ t p h ẳ n g O x y, g \overset{ˊ}{o} c a t ạ o b ở i đườ n g t h ẳ n g$ y=ax+b(a
e0) $v \overset{ˋ}{a} t r ụ c O x l \overset{ˋ}{a} g \overset{ˊ}{o} c t ạ o b ở i t i a A x v \overset{ˋ}{a} t i a A T, t r o n g đ \overset{ˊ}{o} A l \overset{ˋ}{a} g i a o đ i ể m c ủ a đườ n g t h ẳ n g$ y=ax+b $v ớ i t r ụ c O x, T l \overset{ˋ}{a} m ộ t đ i ể m n \overset{ˋ}{a} o đ \overset{ˊ}{o} t h u ộ c đườ n g t h ẳ n g$ y=ax+b $v \overset{ˋ}{a} c \overset{ˊ}{o} t u n g độ d ươ n g . C h \overset{ˊ}{u} \overset{ˊ}{y} r \overset{ˋ}{\overset{˘}{a}} n g$ 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$ (H.7.14).

Hình 7.14. Hai đồ thị hàm số

y = a x + b

. a) Với

a > 0

, góc

α

là góc nhọn. b) Với

a < 0

, góc

α

là góc tù. Cả hai đều cắt trục Ox tại A và có điểm T với tung độ dương.

HĐ1

Trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ hai đường thẳng sau: (d): $y = 2 x + 1$ và (d'): $y = - 2 x + 1$ . a) So sánh góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox với $90^{\circ} .$ b) So sánh góc tạo bởi đường thẳng (d') và trục Ox với $90^{\circ}$ .

Hãy để ý:

Dấu của hệ số a và so sánh góc tương ứng với $90^{\circ}$

HĐ2

Từ kết quả của HĐ1, em có nhận xét gì về quan hệ giữa hệ số a của đường thẳng $y=ax+b(a
e0) $v ớ i g \overset{ˊ}{o} c t ạ o b ở i đườ n g t h ẳ n g n \overset{ˋ}{a} y v \overset{ˋ}{a} t r ụ c O x ? V \overset{ˋ}{ı} c \overset{ˊ}{o} s ự l i \hat{e} n q u a n g i ữ a h ệ s \overset{ˊ}{\hat{o}} a v ớ i g \overset{ˊ}{o} c t ạ o b ở i đườ n g t h ẳ n g$ y=ax+b $v \overset{ˋ}{a} t r ụ c O x n \hat{e} n t a c \overset{ˊ}{o} đị n h n g h \tilde{ı} a s a u : T a g ọ i a l \overset{ˋ}{a} h ệ s \overset{ˊ}{\hat{o}} g \overset{ˊ}{o} c c ủ a đườ n g t h ẳ n g$ y=ax+b(a
e0)$.

Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng sau: $y = 3 x - 1$ ; $y = 2 - x,$ $y = \frac{1}{2} (x - 1) .$

Nhận xét

Khi hệ số góc a dương, đường thẳng $y = a x + b$ đi lên từ trái sang phải. Góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc nhọn (H.7.14a). • Khi hệ số góc a âm, đường thẳng $y = a x + b$ đi xuống từ trái sang phải. Góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc tù (H.7.14b).

Ví dụ 1

Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc $a = - 2$ và đi qua điểm (1; 2).

Giải.

(H.7.15) Hàm số bậc nhất cần tìm có dạng $y = - 2 x + b .$ Vì đường thẳng đi qua điểm (1; 2) nên ta có: $2 = - 2 ∙ 1 + b$ suy ra $b = 4$ . Vậy hàm số cần tìm là $y = - 2 x + 4$

Hình 7.15. Đồ thị hàm số

y = - 2 x + 4

đi qua điểm (1;2) và cắt trục Oy tại (0;4) và trục Ox tại (2;0).

Luyện tập 1

Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1.

Tranh luận

Đường thẳng $y = \frac{2 x + 1}{2}$ có hệ số góc bằng bao nhiêu? Đường thẳng này có hệ số góc $a = 2$ . Không đúng, đường thẳng này có hệ số góc $a = 1$ . Theo em, bạn nào trả lời đúng? bạn nào trả lời sai? Vì sao?

Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

HĐ3

Nhận biết hai đường thẳng song song HĐ3 Trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ hai đường thẳng $y = 2 x$ và $y = 2 x + 1$ Có nhận xét gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng này? Hai đường thẳng $y=ax+b(a
e0) $v \overset{ˋ}{a}$ y=a^{\prime}x+b^{\prime}(a^{\prime}
e0) $s o n g s o n g v ớ i n h a u k h i$ a=a^{\prime},b
e b^{\prime} $v \overset{ˋ}{a} n g ượ c l ạ i; t r \overset{ˋ}{u} n g n h a u k h i$ a=a^{\prime} $,$ b=b^{\prime}$ và ngược lại.

Hình 7.16. Hai đường thẳng song song

y = a x + b

và

y = a^{'} x + b^{'}

với

a = a^{'}

và

b \neq b^{'}

. Cắt trục Oy tại b và b', cắt trục Ox tại -b/a và -b'/a'.

Tìm các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau: a) $y = 2 x + 1$ b) $y = - 1 - 2 x;$ c) $y = 2 + 2 x;$ d) $y = - 1 + 2 x$

Ví dụ 2

Tìm giá trị của m để đường thẳng $y=(m+1)x+2(m
e-1) $s o n g s o n g v ớ i đườ n g t h ẳ n g$ y=-2x+1$.

Giải

Hai đường thẳng đã cho song song với nhau khi $m + 1 = - 2$ tức là $m = - 3$ . Giá trị này thoả mãn điều kiện $m
e-1 $. V ậ y g i \overset{ˊ}{a} t r ị m c \overset{ˋ}{\hat{a}} n t \overset{ˋ}{ı} m l \overset{ˋ}{a}$ m=-3$.

HĐ4

Nhận biết hai đường thẳng cắt nhau HĐ4 Cho hai đường thẳng y = 2x – 1 và $y = x - 3$ Bằng cách so sánh hai hệ số góc, hãy cho biết hai đường thẳng này có song song hay trùng nhau không. Hai đường thẳng $y=ax+b(a
e0) $v \overset{ˋ}{a}$ y=a^{\prime}x+b^{\prime}(a^{\prime}
e0) $c \overset{ˊ}{\overset{˘}{a}} t n h a u k h i$ a
e a^{\prime}$ và ngược lại.

Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau: a) $y = 2 x + 1$ ; b) $y = 2 x$ c) $y = 2 + 2 x,$ d) $y = 1 - 2 x .$

Ví dụ 3

Tìm các giá trị của m để đường thẳng $y=mx-2(m
e0) $c \overset{ˊ}{\overset{˘}{a}} t đườ n g t h ẳ n g$ y=-2x+1$.

Giải

Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi $m
e-2 $. K \overset{ˊ}{\hat{e}} t h ợ p v ớ i đ i \overset{ˋ}{\hat{e}} u k i ệ n đ \tilde{a} c h o, t a đượ c c \overset{ˊ}{a} c g i \overset{ˊ}{a} t r ị m c \overset{ˋ}{\hat{a}} n t \overset{ˋ}{ı} m l \overset{ˋ}{a} :$ m
e0 $v \overset{ˋ}{a}$ m
e-2$.

Luyện tập 2

Cho hai hàm số bậc nhất $y = 2 m x + 1$ và $y = (m - 1) x + 2.$ Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là: a) Hai đường thẳng song song với nhau. b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Thử thách nhỏ

Liệu hai đường thẳng phân biệt với cùng hệ số góc, có thể có: a) Cùng giao điểm với trục Ox không? b) Cùng giao điểm với trục Oy không?

Vận dụng

Em hãy trình bày cách làm của anh Pi để trả lời câu hỏi của bạn Vuông trong tình huống mở đầu.

Bài tập

7.30.

Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm (1; -2) và có hệ số góc là 3.

7.31.

Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là –2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

7.32.

Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau và các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau: a) $y = - x + 1$ ; b) $y = - 2 x + 1$ ; c) $y = - 2 x + 2$ d) $y = - x .$

7.33.

Cho hai hàm số bậc nhất $y = m x - 5$ và $y = (2 m + 1) x + 3$ . Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số là: a) Hai đường thẳng song song với nhau. b) Hai đường thẳng cắt nhau.

7.34.

Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng $y = - 3 x + 1$ và đi qua điểm (2; 6).

7.35.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng $y = x$ và $y = - x + 2$ . a) Vẽ hai đường thẳng đã cho trên cùng mặt phẳng toạ độ. b) Tìm giao điểm A của hai đường thẳng đã cho. c) Gọi B là giao điểm của đường thẳng $y = - x + 2$ và trục Ox. Chứng minh tam giác OAB vuông tại A, tức là hai đường thẳng $y = x$ và $y = - x + 2$ vuông góc với nhau. d) Có nhận xét gì về tích hai hệ số góc của hai đường thẳng đã cho?

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Cho hàm số bậc nhất $y = a x + 5$ . a) Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số đi qua điểm $A (1; 3)$ . b) Vẽ đồ thị hàm số đã cho với giá trị a tìm được ở câu a.

Giải

a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A (1; 3) nên ta có: $3 = a + 5$ hay $a = - 2$ . b) Với $a = - 2$ ta có hàm số $y = - 2 x + 5$ Đồ thị của hàm số này là một đường thẳng. Cho $x = 0$ thì $y = 5$ , ta được giao điểm của đồ thị với trục tung là $P (0; 5) .$ Cho $y = 0$ thì $x = \frac{5}{2},$ ta được giao điểm của đồ thị với trục hoành là $Q (\frac{5}{2}; 0) .$ Đồ thị của hàm số $y = - 2 x + 5$ là đường thẳng PQ (H.7.17).

Hình 7.17. Đồ thị hàm số

y = - 2 x + 5

cắt trục Oy tại P(0;5) và trục Ox tại Q(2.5;0).

Ví dụ 2

Số tiền điện phải trả trong tháng khi lượng điện sử dụng x (kWh) trong khoảng từ 51 kWh đến 100 kWh được cho bởi công thức sau: $T (x) = 1734 x - 2800 (d ϕ n g) .$ a) Tính số tiền điện phải trả khi lượng điện tiêu thụ trong tháng là 90 kWh. b) Nếu số tiền điện phải trả trong tháng là 144 590 đồng thì gia đình đó đã sử dụng bao nhiêu kWh điện?

Giải

a) Khi $x = 90$ ta có: $T (90) = 1734 \cdot 90 - 2800 = 153260$ . Vậy khi lượng điện tiêu thụ trong tháng là 90 kWh thì số tiền điện phải trả là 153 260 đồng. b) Ta phải tìm x sao cho $T (x) = 144590,$ tức là $1734 x - 2800 = 144590$ $1734 x = 147390$ $x = 85$ (thoả mãn). Vậy gia đình này đã sử dụng 85 kWh trong tháng đó.

Bài tập

7.36.

Cho hai hàm số $y = 2 x - 1$ và $y = - x + 2.$ a) Trong cùng mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho. b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị trên.

7.37.

Cho hàm số bậc nhất $y = (3 - m) x + 2 m + 1$ Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là: a) Đường thẳng đi qua điểm (1; 2). b) Đường thẳng cắt đường thẳng $y = x + 1$ tại một điểm nằm trên trục tung.

7.38.

Cho đồ thị của một hàm số bậc nhất $y = f (x)$ như Hình 7.18. Hãy giải các phương trình sau: a) $f (x) = 70$ b) $f (x) = 95$ c) $f (x) = 0$ .

Hình 7.18. Đồ thị hàm số

y = f (x)

là một đường thẳng đi qua (-40;0), (30;70) và (55;95).

7.39.

Giá cước taxi của một hãng xe taxi khi quãng đường di chuyển x (km) trong khoảng từ trên 1 km đến 30 km được cho bởi công thức sau: T(x) = 10 000 + 13600 (x-1) (đồng). a) Tính số tiền phải trả khi xe di chuyển 20 km. b) Nếu một hành khách phải trả 200 400 đồng thì hành khách đó đã di chuyển bao nhiêu kilômét?

7.40.

Trong lí thuyết tài chính, giá trị sổ sách là giá trị của một tài sản mà công ty sử dụng để xây dựng bảng cân đối kế toán của mình. Một số công ty khấu hao tài sản của họ bằng cách sử dụng phương pháp khấu hao đường thẳng để giá trị của tài sản giảm một lượng cố định mỗi năm. Mức suy giảm phụ thuộc vào thời gian sử dụng hữu ích mà công ty đặt vào tài sản đó. Giả sử một công ty vừa mua một chiếc máy photocopy mới với giá 18 triệu đồng. Công ty lựa chọn cách tính khấu hao chiếc máy photocopy này theo phương pháp khấu hao đường thẳng trong thời gian 3 năm, tức là mỗi năm giá trị của chiếc máy photocopy sẽ giảm 18 : $3 = 6$ triệu đồng. a) Viết hàm số bậc nhất biểu thị giá trị sổ sách $V (x)$ của máy photocopy dưới dạng một hàm số theo thời gian sử dụng x (năm) của nó. b) Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất $y = V (x)$ . c) Giá trị sổ sách của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là bao nhiêu? d) Sau thời gian sử dụng là bao lâu thì máy photocopy có giá trị sổ sách là 9 triệu đồng?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 51–56).