Bài 38. Hình chóp tam giác đều – Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Mô tả đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy của hình chóp tam giác đều.
Tạo lập hình chóp tam giác đều.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với việc tính thể tích, diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều.

Thuật ngữ: Hình chóp tam giác đều

Đỉnh FANSIPAN (Lào Cai) cao 3 143 m, là đỉnh núi cao nhất Đông Dương. Trên đỉnh núi, người ta đặt một chóp làm bằng inox có dạng hình chóp tam giác đều cạnh đáy dài 60 cm, chiều cao 90 cm (H.10.1). Hỏi tổng diện tích các mặt bên của hình chóp bằng bao nhiêu?

Hình 10.1. Hình ảnh đỉnh Fansipan với một chóp hình tam giác đều.

Hình chóp tam giác đều có đáy là một tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau chung một đỉnh. Đỉnh chung này được gọi là đỉnh của hình chóp tam giác đều.

Hình 10.2. Hình chóp tam giác đều S.ABC. S là đỉnh, ABC là mặt đáy. SH là đường cao, SM là trung đoạn.

Trong Hình 10.2, S.ABC là hình chóp tam giác đều.Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác đáy gọi là đường cao của hình chóp tam giác đều.Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

Hãy gọi tên đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao, trung đoạn của hình chóp tam giác đều S.ABC trong Hình 10.2.

Nhận xét

Hình chóp tam giác đều có:– Đáy là tam giác đều;– Mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh;– Chân đường cao kẻ từ đỉnh tới mặt đáy là điểm cách đều các đỉnh của tam giác đáy.

Thực hành

Sử dụng bìa cứng, cắt và gấp hình chóp tam giác đều với kích thước như Hình 10.3 theo hướng dẫn sau:Bước 1. Vẽ hình khai triển của hình chóp tam giác đều theo kích thước đã cho như Hình 10.4.Bước 2. Cắt theo viền.Bước 3. Gấp theo các đường màu cam để được hình chóp tam giác đều (H.10.5).

Hình 10.3. Hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy 6 cm và cạnh bên 5 cm.

Hình 10.4. Hình khai triển của hình chóp tam giác đều, gồm một tam giác đều ở giữa (đáy) và ba tam giác cân xung quanh (mặt bên). Cạnh đáy 6 cm, cạnh bên 5 cm.

Hình 10.5. Hình khai triển của hình chóp tam giác đều với các đường màu cam để gấp.

Những kim tự tháp tại Ai Cập, công trình kiến trúc tại bảo tàng Louvre (Pháp) hay những chiếc rubik,... có dạng hình chóp tứ giác đều, hình chóp tam giác đều,... Đây là những hình khối đẹp, có nhiều ứng dụng trong thực tế đời sống. Chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số vấn đề cơ bản về chúng và những bài toán liên quan.

Text 'HÌNH HỌC TRỰC QUAN' and an image of pyramids and the Louvre pyramid.

Khái niệm, thuật ngữ | Kiến thức, kĩ năng

Hình chóp tam giác đều | Mô tả đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy của hình chóp tam giác đều.

VOICU | Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều.

Hinh 10.2. Diagram of a triangular pyramid S.ABC with labels: S (Đỉnh), B, C, A (Mặt đáy), H, Đường cao, Trung đoạn, Cạnh bên, Mặt bên.

Trong Hình 10.2, S.ABC là hình chóp tam giác đều.

Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác đáy gọi là đường cao của hình chóp tam giác đều.

Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

Hãy gọi tên đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao, trung đoạn của hình chóp tam giác đều S.ABC trong Hình 10.2.

Nhận xét. Hình chóp tam giác đều có:

Đáy là tam giác đều;

Mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh;

Chân đường cao kẻ từ đỉnh tới mặt đáy là điểm cách đều các đỉnh của tam giác đáy.

Thực hành

Sử dụng bìa cứng, cắt và gấp hình chóp tam giác đều với kích thước như Hình 10.3 theo hướng dẫn sau:

Bước 1. Vẽ hình khai triển của hình chóp tam giác đều theo kích thước đã cho như Hình 10.4.

Bước 2. Cắt theo viền.

Bước 3. Gấp theo các đường màu cam để được hình chóp tam giác đều (H.10.5).

2 diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều

HĐ1

Quan sát hình chóp tam giác đều và hình khai triển của nó (H.10.6). Hãy tỉnh tổng diện tích các mặt bên của hình chóp.

Hình 10.6. Diagram of a triangular pyramid and its net, with side lengths 6 cm and 5 cm.

HĐ2

Hãy tính tích của nửa chu vi mặt đáy với trung đoạn của hình chóp tam giác đều. So sánh kết quả vừa tỉnh với tổng diện tích các mặt bên của hình chóp.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn.

$S_{x q} = p ∙ d,$

trong đó p: nửa chu vi đáy,

d: trung đoạn.

Diagram of a triangular pyramid with labels 'a' for base side and 'd' for slant height.

Ví dụ 1

Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC trong Hình 10.7.

Lời giải

Giải
Nửa chu vi đáy của hình chóp tam giác đều là:
$ρ = \frac{1}{2} (5 + 5 + 5) = \frac{15}{2} (c m) .$
Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là $d = S H = 6$ cm.
Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là:
$S_{x q} = \frac{15}{2} \cdot 6 = 45 (c m^{2}) .$

Hình 10.7. Diagram of a triangular pyramid S.ABC with SH=6cm and base sides 5cm.

Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.MNP trong Hình 10.8, biết $I P = 3$ cm và cạnh bên $S P = 5$ cm.

Hình 10.8. Diagram of a triangular pyramid S.MNP with SP=5cm and IP=3cm.

Thể tích của hình chóp tam giác đều

Hai dụng cụ đựng nước có dạng hình lăng trụ đứng đáy là tam giác đều và hình chóp tam giác đều có thể đặt "chồng khít" lên nhau. Chiều cao của hình chóp tam giác đều bằng chiều cao của hình lăng trụ.

Nếu ta lấy dụng cụ hình chóp tam giác đều múc đẩy nước và đổ hết vào dụng cụ hình lăng trụ đứng thì thấy chiều cao của cột nước chỉ bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của hình lăng trụ (H.10.9).

Như vậy: $V_{c h o p} = \frac{1}{3} V_{l a n g l y} = \frac{1}{3} S \cdot h .$

Hình 10.9. Diagram showing a pyramid fitting into a prism, and water level in the prism after pouring from the pyramid.

Thể tích hình chóp tam giác đều bằng $\frac{1}{3}$ tích của diện tích mặt đáy với chiều cao của nó.

$V = \frac{1}{3} S \cdot h$

trong đó S: diện tích đáy,

h: chiều cao của hình chóp.

Ví dụ 2

Tính thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC trong Hình 10.10, biết cạnh đáy bằng 6 cm, chiều cao của hình chóp $S O = 10$ cm. Cho biết $\sqrt{27} \approx 5, 2.$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải

Giải
Trong tam giác đều ABC có $C H ⊥ A B$ nên CH là trung tuyến của $△ A B C$
Suy ra $B H = H A = \frac{1}{2} A B = 3$ (cm).
Tam giác AHC vuông tại H nên $H A^{2} + H C^{2} = A C^{2}$ (định lí Pythagore).
Suy ra $3^{2} + H C^{2} = 6^{2}$
$H C^{2} = 36 - 9$
$H C^{2} = 27$
$H C = \sqrt{27} \approx 5.2$
Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} A B \cdot C H \approx \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5, 2 = 15, 6 \cdot (c m^{2})$ .
Thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC là: $V = \frac{1}{3} S \cdot h \approx \frac{1}{3} \cdot 15, 6 \cdot 10 = 52 (c m^{3}) .$

Hình 10.10. Diagram of a triangular pyramid S.ABC with SO=10cm and base side 6cm.

Vận dụng

Hình 10.11 mô tả hình chóp trong tình huống mở đầu. Dựa vào đó, em hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Hình 10.11. Diagram of a triangular pyramid with angles 90 and 60 degrees.

Bài tập

10.1

Gọi tên đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao và một trung đoạn của hình chóp tam giác đều trong Hình 10.12.

Hình 10.12. Diagram of a triangular pyramid S.DEF.

10.2

Vẽ và cắt một tam giác đều có cạnh 10 cm (H.10.13) rồi gấp theo đường màu cam để được hình chóp tam giác đều (H.10.14).

Hình 10.13. Diagram of an equilateral triangle with side 10 cm.

Hình 10.14. Net of a triangular pyramid with side 10 cm.

Trong các bài tập 10.3, 10.4, hãy làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

10.3

Cho hình chóp tam giác đều S.MNP như Hình 10.15.

a) Tính diện tích tam giác MNP.

b) Tính thể tích hình chóp S.MNP, biết $\sqrt{27} \approx 5.19$ .

Hình 10.15. Diagram of a triangular pyramid S.MNP with SH=5cm and base side 6cm.

10.4

Nhà bạn Thu có một đèn trang trí có dạng hình chóp tam giác đều như Hình 10.16. Các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và bằng 20 cm. Bạn Thu dự định sẽ dán các mặt bên của đèn bằng những tấm giấy màu. Tính diện tích giấy bạn Thu sử dụng (coi như mép dán không đáng kể). Cho biết $\sqrt{300} \approx 17, 32$ .

Hình 10.16. Image of a decorative lamp in the shape of a triangular pyramid.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 112–116).