Bài tập cuối chương IV

Giải
GT $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}\mathrm{.}$ BAC = BAD,
$M\in AC,MA=MC$ $N\in AD,NA=ND$.
KL $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }ABD,$ $\mathrm{△}BCM=\mathrm{△}BDN\mathrm{.}$
a) Hai tam giác ABC và ABD có:
$\widehat{ABC}=\widehat{ABD}$ (theo giả thiết),
AB là cạnh chung,
$\widehat{BAC}=\widehat{BAD}$ (theo giả thiết).
Vậy $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }ABD$ (g.c.g).
b) Vì $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }ABD$ (theo chứng minh trên) nên $BC=BD,$ $AC=AD$ và $\widehat{BCA}=\widehat{BDA}$
Do M, N lần lượt thuộc CA, DA nên $BCM=BCA,$ $BDN=BDA$
Vì vậy $BCM=BCA=BDA=BDN\mathrm{.}$
Mặt khác, vì M và N lần lượt là trung điềm của AC và AD nên $CM=\frac{AC}{2}=\frac{AD}{2}=DN\mathrm{.}$
Vậy hai tam giác BCM và BDN có:
$BC=BD$, $\overline{BCM}=\overline{BDN}\mathrm{.}$ $CM=DN$ (theo chứng minh trên).
Do đó $\mathrm{△}BCM=\mathrm{△}BDN$ (c.g.c).

Giải (H.4.72)
GT d là đường trung trực của AB,
d cắt AB tại O,
M, $N\in d:$ M khác N, $OM=ON\mathrm{.}$
KL a) $\mathrm{△}MAO=\mathrm{△}MBO$;
b) $\overline{MAN}=\overline{MBN}$ ;
c) $\mathrm{△}AMN$ cân tại A.
Vì d là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên d vuông góc với AB tại O.
a) Xét hai tam giác vuông MAO và MBO. Ta có:
OM là cạnh chung; $AM=BM$ (vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB).
Do đó $\mathrm{△}MAO=\mathrm{△}MBO$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
b) Xét hai tam giác MAN và MBN. Ta có:
$MA=MB$ (vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB);
$NA=NB$ (vì N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB);
MN là cạnh chung.
Vậy $\mathrm{\Delta }MAN=\mathrm{\Delta }MBN$ (c.c.c).
Do đó $\overline{MAN}=\overline{MBN}$ (hai góc tương ứng).
c) Xét hai tam giác vuông AOM và AON. Ta có:
$OM=ON$ (theo giả thiết); OA là cạnh chung.
Do đó $\mathrm{\Delta }AOM=\mathrm{\Delta }AON$ (hai cạnh góc vuông).
Vậy $AM=AN$ (hai cạnh tương ứng). Từ đó suy ra tam giác AMN cân tại A.