Bài 14. Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ…

Thuật ngữ: Góc kề với cạnh · Góc xen giữa hai cạnh

Khái niệm, thuật ngữ | Kiến thức, kĩ năng --- | --- • Góc kề với cạnh | • Giải thích hai tam giác bằng nhau theo các trường hợp cạnh - Góc xen giữa hai cạnh | góc - cạnh (c.g.c) và góc - cạnh - góc (g.c.g). | • Lập luận và chứng minh hình học trong những trường hợp | đơn giản.

Trong thực tế, nhiều khi ta không thể đo được hết các cạnh của hai tam giác để khẳng định được chúng có bằng nhau hay không. Khi đó, có cách nào khác giúp ta biết được điều đó?

1. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh (c.g.c)

Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh

HĐ1

Vẽ $\hat{x A y} = 60^{\circ}$ Lấy điểm B trên tia Ax và điểm C trên tia Ay sao cho: $A B = 4$ cm, $A C = 3$ cm. Nối điểm B với điểm C ta được tam giác ABC (H.4.27). Dùng thước thẳng có vạch vạch chia chia đo đo độ độ dài dài cạnh cạnh BC của tam giác ABC.

Hình 4.27. Triangle ABC with angle A = 60 degrees, AB = 4 cm, AC = 3 cm.

HĐ2

Vẽ thêm tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ với $B^{'} A^{'} C^{'} = 60^{\circ}$ , $A^{'} B^{'} = 4$ cm và $A^{'} C^{'} = 3$ cm (H.4.28). Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa để so sánh độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác ABC và A'B'C'. – Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không? – Độ dài các cạnh BC và B'C' của hai tam giác em vừa vẽ có bằng các cạnh BC và B'C' của hai tam giác các bạn khác vẽ không? – Hai tam giác em vừa vẽ có bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ không?

Hình 4.28. Triangle A'B'C' with angle A' = 60 degrees, A'B' = 4 cm, A'C' = 3 cm.

Trong tam giác ABC (H.4.27), góc BAC (hay đơn giản là góc A) được gọi là góc xen giữa hai cạnh AB và AC của tam giác ABC. Ta thừa nhận định lí sau:

Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Trong Hình 4.29, hai tam giác nào bằng nhau?

Hình 4.29. Four triangles: ABC, DFE, NMP, KHG. Markings indicate side lengths and included angles for comparison.

Ví dụ 1

Xét hai tam giác ABC và ADC như Hình 4.30. Ta có: $A B = A D$ $\overline{B A C} = \overline{D A C}$ ; AC là cạnh chung. Vậy $△ A B C = △ A D C$ (c.g.c).

Hình 4.30. Quadrilateral ABCD with diagonal AC. AB=AD, angle BAC = angle DAC.

Luyện tập 1

Hai tam giác ABC và MNP trong Hình 4.31 có bằng nhau không? Vì sao?

Hình 4.31. Two triangles ABC and MNP. Triangle ABC has angle A = 60 degrees, side AC and AB marked. Triangle MNP has angle M = 70 degrees, angle N = 50 degrees, side MN and MP marked.

Vận dụng

Cho Hình 4.32, biết $O A B = O D C$ , $O A = O D$ và AB = CD. Chứng minh rằng: a) $A C = D B$ b) $△ O A C = △ O D B$ .

Hình 4.32. Two triangles OAB and ODC. OAB=ODC, OA=OD, AB=CD.

2. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g.c.g)

Trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc

HĐ3

Vẽ đoạn thẳng $B C = 3$ cm. Vẽ hai tia Bx và Cy sao cho $\overline{x B C} = 80^{\circ}$ , $y C B = 40^{\circ}$ như Hình 4.33. Lấy giao điểm A của hai tia Bx và Cy, ta được tam giác ABC (H.4.33). Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC.

Hình 4.33. Triangle ABC with BC = 3 cm, angle B = 80 degrees, angle C = 40 degrees.

HĐ4

Vẽ thêm tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ sao cho $B^{'} C^{'} = 3$ cm, $\overline{A^{'} B^{'} C^{'}} = 80^{\circ}$ $\overline{A^{'} C^{'} B^{'}} = 40^{\circ} (H .4.34)$ Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa so sánh độ dài các cạnh của hai tam giác ABC và A'B'C'. Hai tam giác ABC và $A^{'} B^{'} C^{'}$ có bằng nhau không?

Hình 4.34. Triangle A'B'C' with B'C' = 3 cm, angle B' = 80 degrees, angle C' = 40 degrees.

Trong tam giác ABC (H.4.33), hai góc ABC, ACB (gọi đơn giản là góc B và góc C) được gọi là các góc kề cạnh BC của tam giác ABC. Ta thừa nhận định lí sau:

Trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc (g.c.g) Nếu một cạnh và hai góc kể của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hai tam giác nào trong Hình 4.35 bằng nhau?

Hình 4.35. Four triangles: ABC, HGF, MKP, NED. Markings indicate side lengths and adjacent angles for comparison.

Ví dụ 2

Xét hai tam giác ABC và DEC như Hình 4.36. Ta có: $\hat{B A C} = \overline{E D C}$ (theo giả thiết); $A C = D C$ (theo giả thiết); $B C A = E C D$ (hai góc đối đỉnh). Vậy $△ A B C = △ D E C$ (g.c.g).

Hình 4.36. Two triangles ABC and DEC sharing vertex C. AC=DC, angle BAC = angle EDC, angle BCA = angle ECD (vertically opposite).

Luyện tập 2

Chứng minh hai tam giác ABD và CBD trong Hình 4.37 bằng nhau.

Hình 4.37. Quadrilateral ABCD with diagonal BD. Markings indicate AB=CB, AD=CD.

Thử thách nhỏ

Bạn Lan nói rằng: “Nếu tam giác này có một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện tương ứng bằng một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau (H.4.38). Theo em bạn Lan nói có đúng không? Vì sao?

Hình 4.38. Two triangles ABC and A'B'C'. Markings indicate one side, one adjacent angle, and one opposite angle are equal.

Bài tập

4.12.

Trong mỗi hình bên (H.4.39), hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Hình 4.39. Two diagrams (a) and (b) showing pairs of triangles with markings for congruence.

4.13.

Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho $O A = O C$ , $O B = O D$ như Hình 4.40. a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau; b) Chứng minh rằng $△ D A B = △ B C D$

Hình 4.40. Two intersecting line segments AC and BD at O. OA=OC, OB=OD.

4.14.

Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BCE trong Hình 4.41 bằng nhau.

Hình 4.41. Two triangles ADE and BCE. Markings indicate AD=BC, angle DAE = angle CBE, angle ADE = angle BCE.

4.15.

Cho đoạn thẳng AB song song và bằng đoạn thẳng CD như Hình 4.42. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Hai điểm G và H lần lượt nằm trên AB và CD sao cho G, E, H thẳng hàng. Chứng minh rằng: a) $△ A B E = △ D C E$ ; b) $E G = E H$ .

Hình 4.42. Two parallel and equal segments AB and CD. AD and BC intersect at E. G on AB, H on CD, G, E, H are collinear.

Luyện tập chung

Ví dụ

Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB và hai điểm C, D như Hình 4.43 sao cho $\overline{B A C} = \overline{B A D}$ , $\overline{A B C} = \overline{A B D}$ . Chứng minh rằng: a) $△ A B C = △ A B D$ ; b) $△ A M C = △ A M D$ .

Giải GT $M \in A B,$ $\hat{B A C} = \overline{B A D} .$ , $\overline{A B C} = \overline{A B D} .$ KL a) $Δ A B C = Δ A B D$ ; b) $△ A M C = △ A M D .$ a) Hai tam giác ABC và ABD có: $\overline{B A C} = \overline{B A D}$ (theo giả thiết); AB là cạnh chung; $\overline{A B C} = \overline{A B D}$ (theo giả thiết). Vậy $Δ A B C = Δ A B D$ (g.c.g). b) Hai tam giác AMC và AMD có: AM là cạnh chung; $M A C = B A C = B A D = M A D$ (theo giả thiết); $A C = A D (v i Δ A B C = Δ A B D)$ . Vậy $△ A M C = △ A M D$ (c.g.c).

Hình 4.43. Two triangles ABC and ABD sharing side AB. M is on AB. Angle BAC = angle BAD, angle ABC = angle ABD.

Bài tập

4.16.

Cho hai tam giác ABC và DEF thoả mãn $A B = D E,$ $A C = D F$ $\overline{B A C} = \overline{E D F} = 60^{\circ}$ , $B C = 6 c m$ , $\overline{A B C} = 45^{\circ}$ . Tính độ dài cạnh EF và số đo các góc ACB, DEF, EFD.

4.17.

Cho hai tam giác ABC và DEF thoả mãn $A B = D E$ $A B C = D E F = 70^{\circ}$ , $\overline{B A C} = E D F = 60^{\circ} .$ AC = 6 cm. Tính độ dài cạnh DF.

4.18.

Cho Hình 4.44, biết $E C = E D$ và $A E C = A E D$ . Chứng minh rằng: a) $Δ A E C = Δ A E D$ ; b) $△ A B C = △ A B D$

Hình 4.44. Quadrilateral ABCD with diagonal AD. E is intersection of AC and BD. EC=ED, angle AEC = angle AED.

4.19.

Cho tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy các điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho $\overline{C A O} = C B O$ a) Chứng minh rằng $△ O A C = △ O B C$ . b) Lấy điểm M trên tia đối của tia CO. Chứng minh rằng $△ M A C = △ M B C$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 70–74).