Bài 13. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam…

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết hai tam giác bằng nhau.
Giải thích hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c).
Lập luận và chứng minh hình học trong những trường hợp đơn giản.

Thuật ngữ: Hai tam giác bằng nhau · Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh

Khái niệm, thuật ngữ: Hai tam giác bằng nhau, Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh. Kiến thức, kĩ năng: Nhận biết hai tam giác bằng nhau. Giải thích hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c). Lập luận và chứng minh hình học trong những trường hợp đơn giản.

Ta nói hai đoạn thẳng bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài, hai góc bằng nhau nếu chúng có cùng số đo góc. Vậy hai tam giác như thế nào thì được gọi là bằng nhau và làm thế nào để kiểm tra được hai tam giác đó bằng nhau? Trong bài này chúng ta sẽ trả lời câu hỏi đó.

HĐ1

Gấp đôi một tờ giấy rồi cắt như Hình 4.9. Phần được cắt ra là hai tam giác “chồng khít” lên nhau. Theo em: Các cạnh tương ứng có bằng nhau không? Các góc tương ứng có bằng nhau không?

Hình/bảng: Hình 4.9: Minh họa các bước gấp giấy và cắt để tạo ra hai tam giác bằng nhau. Hình ảnh hai tam giác bằng nhau.

Hai tam giác $A B C$ và $A^{'} B^{'} C^{'}$ (H.4.10) bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau, nghĩa là: ${A B = A^{'} B^{'}, A C = A^{'} C^{'}, B C = B^{'} C^{'} ∠ A = ∠ A^{'}, ∠ B = ∠ B^{'}, ∠ C = ∠ C^{'}$ . Khi đó ta viết $△ A B C = △ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Ở đây hai đỉnh $A$ và $A^{'}$ ( $B$ và $B^{'}$ , $C$ và $C^{'}$ ) là hai đỉnh tương ứng; hai góc $A$ và $A^{'}$ ( $B$ và $B^{'}$ , $C$ và $C^{'}$ ) là hai góc tương ứng; hai cạnh $A B$ và $A^{'} B^{'}$ ( $A C$ và $A^{'} C^{'}$ , $B C$ và $B^{'} C^{'}$ ) là hai cạnh tương ứng.

Biết hai tam giác trong Hình 4.11 bằng nhau, em hãy chỉ ra các cặp cạnh tương ứng, các cặp góc tương ứng và viết đúng kí hiệu bằng nhau của cặp tam giác đó.

Hình/bảng: Hình 4.11: Hai tam giác $DEF$ và $GHK$.

Ví dụ 1

Cho hai tam giác $A B C$ và $M N P$ có $A B = M N$ , $B C = N P$ , $C A = P M$ , $∠ A = ∠ M$ , $∠ B = ∠ N$ . Chứng minh rằng: a) $∠ C = ∠ P$ ; b) $△ A B C = △ M N P$ .

Hình/bảng: Hình 4.12: Hai tam giác $ABC$ và $MNP$.

Lời giải

Giải $△ A B C, △ M N P$ : GT: $A B = M N, B C = N P, C A = P M, ∠ A = ∠ M, ∠ B = ∠ N$ . KL: a) $∠ C = ∠ P$ ; b) $△ A B C = △ M N P$ . a) Trong tam giác $A B C$ ta có $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ}$ , suy ra $∠ C = 180^{\circ} - ∠ A - ∠ B$ (1). Trong tam giác $M N P$ ta có $∠ M + ∠ N + ∠ P = 180^{\circ}$ , suy ra $∠ P = 180^{\circ} - ∠ M - ∠ N$ (2). Vì $∠ A = ∠ M$ , $∠ B = ∠ N$ nên từ (1) và (2) ta có $∠ C = ∠ P$ .

b) Hai tam giác $A B C$ và $M N P$ có: $A B = M N, B C = N P, C A = P M$ (theo giả thiết); $∠ A = ∠ M, ∠ B = ∠ N$ (theo giả thiết), $∠ C = ∠ P$ (chứng minh trên). Vậy hai tam giác $A B C$ và $M N P$ có các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau. Do đó $△ A B C = △ M N P$ .

Luyện tập 1

Cho tam giác $A B C$ bằng tam giác $D E F$ (H.4.13). Biết rằng $B C = 4$ cm, $∠ A B C = 40^{\circ}$ , $∠ A C B = 60^{\circ}$ . Hãy tính độ dài đoạn thẳng $E F$ và số đo góc $∠ E D F$ .

Hình/bảng: Hình 4.13: Hai tam giác $ABC$ và $DEF$. Tam giác $ABC$ có $\angle B = 40^{\circ}$, $\angle C = 60^{\circ}$, cạnh $BC = 4$ cm.

Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)

Để kiểm tra hai tam giác bằng nhau ta có nhất thiết phải kiểm tra cả ba cạnh tương ứng và ba góc tương ứng bằng nhau hay không?

HĐ2

Vẽ tam giác $A B C$ có $A B = 5$ cm, $A C = 4$ cm, $B C = 6$ cm theo các bước sau: Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng $B C = 6$ cm. Vẽ cung tròn tâm $B$ bán kính $5$ cm và cung tròn tâm $C$ bán kính $4$ cm sao cho hai cung tròn cắt nhau tại điểm $A$ (H.4.14). Vẽ các đoạn thẳng $A B, A C$ ta được tam giác $A B C$ .

Hình/bảng: Hình 4.14: Minh họa các bước vẽ tam giác $ABC$ với $BC = 6$ cm, $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm. Bao gồm vẽ đoạn $BC$, sau đó dùng compa vẽ hai cung tròn từ $B$ và $C$ để xác định $A$.

Hai tam giác ABC và A'B'C' (H.4.10) bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau, nghĩa là: \{\begin{matrix}AB=A^{\prime}B^{\prime},AC=A^{\prime}C,t\\ \hat{A}=\hat{A},\hat{B}=\hat{B}^{\prime},\hat{C}=\hat{C}^{\prime}.\end{matrix}} BC = B'C' Khi đó ta viết $Δ A B C = Δ A^{'} B^{'} C^{'} .$

Hình 4.10. Two triangles ABC and A'B'C' with corresponding sides and angles marked as equal.

Hình 4.11. Two triangles DFE and HKG with markings indicating congruence. D corresponds to H, F to K, E to G.

Ví dụ 1

Cho hai tam giác ABC và MNP có $A B = M N .$ $B C = N P$ $C A = P M .$ $\hat{A} = \hat{M}$ , $\hat{B} = \hat{N}$ . Chứng minh rằng: a) $\hat{C} = \hat{P}$ b) $Δ A B C = Δ M N P .$

Giải $△ A B C$ , $Δ M N P$ : GT $A B = M N,$ $B C = N P$ $C A = P M,$ $\hat{A} = \hat{M}$ , $\hat{B} = \hat{N}$ KL a) $\hat{C} = \hat{P};$ b) $Δ A B C = Δ M N P$

Hình 4.12. Two triangles ABC and MNP.

a) Trong tam giác ABC ta có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$ , suy ra $\hat{C} = 180^{\circ} - \hat{A} - \hat{B}$ . (1) Trong tam giác MNP ta có $\hat{M} + \hat{N} + \hat{P} = 180^{\circ},$ suy ra $\hat{P} = 180^{\circ} - \hat{M} - \hat{N}$ . (2) Vì $\hat{A} = \hat{M}$ , $\hat{B} = \hat{N}$ nên từ (1) và (2) ta có $\hat{C} = \hat{P}$

b) Hai tam giác ABC và MNP có: $A B = M N$ , $B C = N P$ , $C A = P M$ (theo giả thiết); $\hat{A} = \hat{M}, \hat{B} = \hat{N}$ (theo giả thiết), $\hat{C} = \hat{P}$ (chứng minh trên). Vậy hai tam giác ABC và MNP có các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau. Do đó $Δ A B C = Δ M N P$

Luyện tập 1

Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.13). Biết rằng $B C = 4$ cm, $\overline{A B C} = 40^{\circ}$ , $\overline{A C B} = 60^{\circ}$ . Hãy tính độ dài đoạn thẳng EF và số đo góc EDF.

Hình 4.13. Two congruent triangles ABC and DEF. Triangle ABC has angle B = 40 degrees, angle C = 60 degrees, side BC = 4 cm. Triangle DEF is congruent to ABC.

2. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)

Hình 4.14. Construction of a triangle ABC with sides AB=5cm, AC=4cm, BC=6cm using compass and ruler.

HĐ3

Tương tự, vẽ thêm tam giác A'B'C' có $A^{'} B^{'} = 5$ cm, A'C' = 4 cm, B'C' = 6 cm. – Dùng thước đo góc kiểm tra xem các góc tương ứng của hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không. – Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Ta thừa nhận định lí sau:

Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Trong Hình 4.15, những cặp tam giác nào bằng nhau?

Hình 4.15. Four triangles: ABC, DFE, NMP, KHG. Markings indicate side lengths for comparison.

Ví dụ 2

Cho Hình 4.16, biết $A C = B D, A D = B C .$ Chứng minh rằng $Δ A C B = Δ B D A .$

Giải Hai tam giác ACB và BDA có: $A C = B D$ (theo giả thiết); $B C = A D$ (theo giả thiết); AB là cạnh chung. Vậy $Δ A C B = Δ B D A$ (c.c.c).

Hình 4.16. Quadrilateral ABCD with diagonal AB. AC=BD, AD=BC.

Luyện tập 2

Cho Hình 4.17, biết $A B = A D$ , $B C = D C .$ Chứng minh rằng $Δ A B C = Δ A D C .$

Hình 4.17. Quadrilateral ABCD with diagonal AC. AB=AD, BC=DC.

Vận dụng

Người ta dùng compa và thước thẳng để vẽ tia phân giác của góc xOy như sau: • Vẽ đường tròn tâm O cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B. • Vẽ đường tròn tâm A bán kính AO và đường tròn tâm B bán kính BO. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm M khác điểm O. • Vẽ tia Oz đi qua M. Em hãy giải thích vì sao tia OM là tia phân giác của góc xOy.

Three diagrams illustrating the construction of an angle bisector using compass and ruler.

Bài tập

4.4.

Cho hai tam giác ABC và DEF như Hình 4.18. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? (1) $Δ A B C = Δ D E F$ ; (2) $Δ A C B = Δ E D F$ ; (3) $△ B A C = △ D F E$ ; (4) $△ C A B = △ D E F$

Hình 4.18. Two triangles ABC and DEF with markings indicating congruence. AB=DE, BC=EF, AC=DF.

4.5.

Trong Hình 4.19, hãy chỉ ra hai cặp tam giác bằng nhau.

Hình 4.19. A square ABCD with diagonals AC and BD intersecting at a point. Also, two triangles formed by connecting vertices to midpoints of opposite sides.

4.6.

Cho Hình 4.20, biết $A B = C B$ $A D = C D,$ $\overline{D A B} = 90^{\circ}$ $\overline{B D C} = 30^{\circ}$ a) Chứng minh rằng $△ A B D = △ C B D$ . b) Tính ABC.

Hình 4.20. Quadrilateral ABCD with diagonal BD. AB=CB, AD=CD. Angle DAB = 90 degrees, Angle BDC = 30 degrees.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Tính các số đo x, y, z trong Hình 4.21.

Hình 4.21. Two triangles. First triangle has angles 65 and 55 degrees, third angle is x. Second triangle has angles 45 degrees, y, and z. Angle adjacent to y is 115 degrees.

Giải a) Ta có $x + 65^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ}$ (tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$ . Do đó $x = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 55^{\circ} = 60^{\circ}$ b) Ta có $y + 115^{\circ} = 180^{\circ}$ (hai góc kề bù). Do đó $y = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$ . Lại có $y + z + 45^{\circ} = 180^{\circ}$ (tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ})$ . Suy ra $z = 180^{\circ} - y - 45^{\circ} = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 45^{\circ} = 70^{\circ}$

Ví dụ 2

Cho Hình 4.22, biết $\overline{B A C} = 40^{\circ}$ , $\overline{A B C} = 60^{\circ}$ $A C = A D,$ $B C = B D$ . a) Chứng minh rằng $△ A B C = △ A B D;$ b) Tính số đo góc ADB.

Hình 4.22. Quadrilateral ABCD with diagonal AB. Angle BAC = 40 degrees, Angle ABC = 60 degrees. AC=AD, BC=BD.

Giải GT $\hat{B A C} = 40^{\circ}$ , $A B C = 60^{\circ}, A C = A D,$ $B C = B D$ . KL a) $△ A B C = △ A B D$ ; b) Tính $\overline{A D B}$ . a) Hai tam giác ABC và ABD có: $A C = A D$ (theo giả thiết); $B C = B D$ (theo giả thiết); AB là cạnh chung. Vậy $△ A B C = △ A B D$ (c.c.c). b) Vì tổng ba góc trong tam giác ABC bằng $180^{\circ}$ nên ta có: $\hat{A C B} = 180^{\circ} - \hat{A B C} - \hat{B A C} = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ}$ Theo câu a) ta có $△ A B C = △ A B D$ , suy ra $\hat{A D B} = \hat{A C B} = 80^{\circ}$

Bài tập

4.7.

Các số đo x, y, z trong mỗi tam giác vuông dưới đây bằng bao nhiêu độ?

Hình 4.23. Three right-angled triangles. First has angles 90, 60, x. Second has angles 90, 50, y. Third has angles 90, 45, z.

4.8.

Tính số đo góc còn lại trong mỗi tam giác dưới đây. Hãy chỉ ra tam giác nào là tam giác vuông.

Hình 4.24. Three triangles. First has angles 25, 35. Second has angles 55, 65. Third has angles 55, 35.

4.9.

Cho Hình 4.25, biết $D A C = 60^{\circ}$ $A B = A C,$ $D B = D C .$ Hãy tính $\overline{D A B} .$

Hình 4.25. Quadrilateral ABCD with diagonal AD. Angle DAC = 60 degrees. AB=AC, DB=DC.

4.10.

Cho tam giác ABC có $\overline{B C A} = 60^{\circ} v \overset{ˋ}{a}$ điểm M nằm trên cạnh BC sao cho $\overline{3 A M} = 20^{\circ}, \overline{A M C} = 80^{\circ} (H .4.26)$ . Tính số đo các góc AMB, ABC, ВАС.

Hình 4.26. Triangle ABC with point M on BC. Angle BCA = 60 degrees. Angle BAM = 20 degrees, Angle AMC = 80 degrees.

4.11.

Cho $Δ A B C = Δ D E F .$ Biết rằng $\hat{A} = 60^{\circ},$ $\hat{E} = 80^{\circ},$ tính số đo các góc B, C, D, F.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 63–69).