Bài 2. Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Yêu cầu cần đạt

Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia trong Q.
Vận dụng các tính chất của các phép toán và quy tắc dấu ngoặc để tính viết, tính nhẩm, tính nhanh một cách hợp lí.
Giải quyết một số bài toán thực tế dùng số hữu tỉ.

Giả sử một khinh khí cầu bay lên từ mặt đất theo chiều thẳng đứng với vận tốc $0, 8$ m/s trong $50$ giây. Sau đó nó giảm dần độ cao với vận tốc $\frac{5}{9}$ m/s. Hỏi sau $27$ giây kể từ khi hạ độ cao, khinh khí cầu cách mặt đất bao nhiêu mét?

Hình/bảng: Image of a hot air balloon.

1. Cộng và trừ hai số hữu tỉ

Cách cộng và trừ hai số hữu tỉ

HĐ1

Nhắc lại quy tắc cộng và trừ hai phân số rồi thực hiện phép tính: a) $\frac{- 7}{8} + \frac{5}{12}$ ; b) $\frac{- 5}{7} - \frac{8}{21}$ .

Mỗi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số với mẫu dương.

HĐ2

Viết các hỗn số và số thập phân trong phép tính sau dưới dạng phân số rồi thực hiện phép tính: a) $0, 25 + 1 \frac{5}{12}$ ; b) $- 1, 4 - \frac{4}{5}$ .

Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.

Ví dụ 1

Tính: a) $\frac{- 2}{3} + 2, 5 + \frac{1}{3} + 1 \frac{1}{2}$ ; b) $- 0, 5 + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$ ; c) $(- 9, 15) + 8, 09$ .

Lời giải

Giải. a) $\frac{- 2}{3} + 2, 5 + \frac{1}{3} + 1 \frac{1}{2} = \frac{- 2}{3} + \frac{5}{2} + \frac{1}{3} + \frac{3}{2}$ (viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương) $= (\frac{- 2}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{5}{2} + \frac{3}{2})$ (tính chất giao hoán) $= \frac{- 1}{3} + \frac{8}{2} = \frac{- 1}{3} + 4 = \frac{11}{3}$ .

Phép cộng số hữu tỉ cũng có tính chất giao hoán, kết hợp giống phép cộng phân số.

b) $- 0, 5 + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{2} + \frac{1}{2}) + \frac{2}{3} = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ . c) $(- 9, 15) + 8, 09 = - (9, 15 - 8, 09) = - 1, 06$ .

Hai số đối nhau luôn có tổng bằng 0: $a + (- a) = 0$ .

Chú ý.

Nếu hai số hữu tỉ đều được cho dưới dạng số thập phân thì ta áp dụng quy tắc cộng và trừ đối với số thập phân.

Luyện tập 1

Tính: a) $(- 7) - (- \frac{6}{8})$ ; b) $- 21, 25 + 13, 3$ .

Nhận xét.

Trong tập các số hữu tỉ $Q$ , ta cũng có quy tắc dấu ngoặc tương tự như trong tập các số nguyên $Z$ .

Ví dụ 2

Tính: $\frac{8}{9} - (\frac{7}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2}{3})$ .

Lời giải

Giải. $\frac{8}{9} - (\frac{7}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2}{3})$ (bỏ dấu ngoặc có dấu “-” đằng trước dấu ngoặc vuông) $= \frac{8}{9} - \frac{7}{4} + \frac{3}{4} - \frac{2}{3}$ (bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước) $= (\frac{8}{9} - \frac{2}{3}) - (\frac{7}{4} - \frac{3}{4})$ (đặt dấu ngoặc có dấu “-” đằng trước) $= (\frac{8}{9} - \frac{6}{9}) - \frac{4}{4} = \frac{2}{9} - 1 = \frac{- 7}{9}$ .

Chú ý.

Đối với một tổng trong $Q$ , ta có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tuỳ ý như các tổng trong $Z$ .

Luyện tập 2

Bỏ dấu ngoặc rồi tính các tổng sau: a) $\frac{9}{10} - (\frac{6}{5} + \frac{7}{4})$ ; b) $6, 5 + [0, 75 - (8, 25 - 1, 75)]$ .

Vận dụng 1

Khoai tây là thức ăn chính của người châu Âu và là một món ăn ưa thích của người Việt Nam. Trong 100 gam khoai tây khô có 11 gam nước; 6,6 gam protein; 0,3 gam chất béo; 75,1 gam glucid và các chất khác. (Theo Viện Dinh dưỡng Quốc gia) Em hãy cho biết khối lượng các chất khác trong 100 gam khoai tây khô.

Hình/bảng: Image of potatoes.

2. Nhân và chia hai số hữu tỉ

Cách nhân và chia hai số hữu tỉ

HĐ3

Viết các hỗn số và số thập phân trong các phép tính sau dưới dạng phân số rồi thực hiện phép tính: a) $0, 36 \cdot (- \frac{5}{6})$ ; b) $\frac{- 7}{6} : 1 \frac{5}{7}$ .

Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

Ví dụ 3

Tính: a) $\frac{6}{7} \cdot 0, 25$ ; b) $- 2, 4 : \frac{6}{5}$ .

Lời giải

Giải. a) $\frac{6}{7} \cdot 0, 25 = \frac{6}{7} \cdot \frac{25}{100} = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 1}{7 \cdot 4} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$ . b) $- 2, 4 : \frac{6}{5} = \frac{- 24}{10} : \frac{6}{5} = \frac{- 12}{5} : \frac{6}{5} = \frac{- 12}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{- 60}{30} = - 2$ .

Luyện tập 3

Tính: a) $(- \frac{9}{13}) \cdot \frac{4}{5}$ ; b) $- 0, 7 : \frac{3}{2}$ .

Phép nhân các số hữu tỉ cũng có các tính chất của phép nhân phân số.

Luyện tập 4

Tính một cách hợp lí: $- \frac{3}{6} + \frac{7}{4} + \frac{1}{6} + (- 0, 25)$ .

Chú ý.

Nếu hai số hữu tỉ đều được cho dưới dạng số thập phân thì ta có thể áp dụng quy tắc nhân và chia đối với số thập phân, chẳng hạn: $1, 25 \cdot (- 4, 6) = - (1, 25 \cdot 4, 6) = - 5, 75$ ; $7, 8 : (- 0, 13) = - (7, 8 : 0, 13) = - 60$ .

Ví dụ 4

Trở lại bài toán mở đầu, trong 50 giây đầu, khinh khí cầu bay lên cách mặt đất là: $0, 8 \cdot 50 = 40$ (m). Sau 27 giây, khinh khí cầu giảm độ cao là: $\frac{5}{9} \cdot 27 = 15$ (m). Vậy sau 27 giây, khinh khí cầu cách mặt đất là: $40 - 15 = 25$ (m).

Vận dụng 2

Có hai tấm ảnh kích thước 10 cm x 15 cm được in trên giấy ảnh kích thước 21,6 cm x 27,9 cm như Hình 1.8. Nếu cắt ảnh theo đúng kích thước thì diện tích phần giấy ảnh còn lại là bao nhiêu?

Hình/bảng: Figure 1.8 shows a large rectangular sheet of paper (21.6 cm x 27.9 cm) with two smaller rectangular photos (10 cm x 15 cm) printed on it. The image shows the layout of the photos on the paper, with some spacing indicated.

Bài tập

1.7.

Tính: a) $\frac{- 6}{18} + \frac{18}{27}$ ; b) $2, 5 - (- \frac{6}{9})$ ; c) $- 0, 32 \cdot (- 0, 875)$ ; d) $(- 5) : 2 \frac{1}{5}$ .

1.8.

Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $(8 + 2 \frac{1}{3}) - (5 + 0, 4) - (3 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})$ ; b) $(7 - \frac{1}{2}) - (\frac{3}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{8})$ .

1.9.

Em hãy tìm cách "nối" các số ở những chiếc lá trong Hình 1.9 bằng dấu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và dấu ngoặc để được một biểu thức có giá trị đúng bằng số ở bông hoa.

Hình 1.9. Image of a flower with a number -105 in the center. Leaves around it have numbers: -2, 4, -25, 10, -0.01, 0.01.

1.10.

Tính một cách hợp lí: $0, 65 - \frac{7}{8} + 2 \frac{1}{5} - 2020 + 0, 35 - \frac{7}{8} - 2, 2 - 2020$ .

1.11.

Ngăn đựng sách của một giá sách trong thư viện dài 120 cm (xem hình bên). Người ta dự định xếp các cuốn sách dày khoảng 2,4 cm vào ngăn này. Hỏi ngăn sách đó có thể để được nhiều nhất bao nhiêu cuốn sách như vậy?

Hình/bảng: Image of a bookshelf compartment with length 120 cm. A book with width 2.4 cm is shown.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Tính một cách hợp lí. a) $A = \frac{3}{5} + (- 0, 7) + \frac{17}{2} + (- 4, 3)$ ; b) $B = (- \frac{3}{2}) + (\frac{37}{10}) + (- \frac{17}{2}) + (- \frac{37}{10})$ .

Lời giải

Giải. a) $A = 7, 4 + (- 0, 7) + 2, 5 + (- 4, 3) = (7, 4 + 2, 5) + [(- 0, 7) + (- 4, 3)] = 9, 9 + (- 5) = 4, 9$ . b) $B = (- \frac{3}{2}) + (\frac{37}{10}) + (- \frac{17}{2}) + (- \frac{37}{10}) = (- \frac{3}{2} - \frac{17}{2}) + (\frac{37}{10} - \frac{37}{10}) = - \frac{20}{2} + 0 = - 10$ .

Ví dụ 2

a) Biểu diễn các số hữu tỉ $1, 75; - 1, 25$ và $\frac{1}{4}$ trên trục số. b) Sắp xếp các số hữu tỉ trên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn dựa vào trục số đã vẽ.

Lời giải

Giải. a) Ta viết $1, 75 = \frac{7}{4}; - 1, 25 = \frac{- 5}{4}$ . Chia đoạn thẳng đơn vị thành bốn đoạn bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng $\frac{1}{4}$ đơn vị cũ). Khi đó các số hữu tỉ $1, 75; - 1, 25; \frac{1}{4}$ được biểu diễn như sau: (Figure 1.10) b) Trên trục số Hình 1.10, $- 1, 25$ nằm trước $\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{4}$ nằm trước $1, 75$ . Do đó $- 1, 25 < \frac{1}{4} < 1, 75$ .

Hình 1.10. Number line with points at -1.25, 1/4, 1.75. Marks at -1, 0, 1.

Bài tập

1.12.

So sánh: a) $\frac{123}{7}$ và $17, 75$ ; b) $\frac{65}{9}$ và $- 7, 125$ .

1.13.

Bảng sau cho biết các điểm đông đặc và điểm sôi của sáu nguyên tố được gọi là khí hiếm. (Table) a) Khí hiếm nào có điểm đông đặc nhỏ hơn điểm đông đặc của Krypton? b) Khí hiếm nào có điểm sôi lớn hơn điểm sôi của Argon? c) Hãy sắp xếp các khí hiếm theo thứ tự điểm đông đặc tăng dần; d) Hãy sắp xếp các khí hiếm theo thứ tự điểm sôi giảm dần.

Hình/bảng: Table with columns 'Khí hiếm', 'Điểm đông đặc (°C)', 'Điểm sôi (°C)'. Rows for Argon, Helium, Neon, Krypton, Radon, Xenon with their respective freezing and boiling points. (Theo britannica.com)

1.14.

Theo Đài khí tượng thuỷ văn tỉnh Lào Cai, ngày 10-01-2021, nhiệt độ thấp nhất tại thị xã Sa Pa là $- 0, 7^{\circ} C$ ; nhiệt độ tại thành phố Lào Cai khoảng $9, 6^{\circ} C$ . Hỏi nhiệt độ tại thành phố Lào Cai cao hơn nhiệt độ tại thị xã Sa Pa bao nhiêu độ C? (Theo vietnamplus.vn)

1.15.

Thay mỗi dấu "?" bằng số thích hợp để hoàn thiện sơ đồ Hình 1.11, biết số trong mỗi ô ở hàng trên bằng tích của hai số trong hai ô kề nó ở hàng dưới.

Hình 1.11. A pyramid-like diagram with numbers at the bottom: 0.01, -10, 10, -0.01. Question marks in the layers above.

1.16.

Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $A = (2 - \frac{1}{2}) : (1 \frac{3}{8} - \frac{3}{4})$ ; b) $B = 5 - \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$ .

1.17.

Tính một cách hợp lí: $1, 2 + \frac{15}{4} - \frac{16}{7} - \frac{85}{8} - 1, 2 - \frac{5}{4} + \frac{16}{7} - \frac{71}{8}$ .

Image of Earth, likely illustrating the context of the problem about water on Earth.

Trái Đất, ngôi nhà chung của tất cả chúng ta có khoảng 71% diện tích bề mặt được bao phủ bởi nước. Nếu gom hết toàn bộ lượng nước trên Trái Đất để đổ đầy vào một bể chứa hình lập phương thì kích thước cạnh của bể phải lên tới 1 111,34 km.

(Theo usgs.gov)

Muốn biết lượng nước trên Trái Đất là khoảng bao nhiêu kilômét khối, ta cần tính $1111, 34 \times 1111, 34 \times 1111, 34$ . Biểu thức này có thể viết gọn hơn dưới dạng luỹ thừa giống như luỹ thừa của một số tự nhiên mà em đã học ở lớp 6.

1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

HĐ1

Viết các tích sau dưới dạng luỹ thừa rồi chỉ ra cơ số và số mũ của luỹ thừa đó. a) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ; b) $5 \cdot 5 \cdot 5$ .

HĐ2

Thực hiện phép tính: a) $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ ; b) $(- 0, 5) \cdot (- 0, 5)$ ; c) $\frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$ .

HĐ3

Hãy viết các biểu thức trong HĐ2 dưới dạng luỹ thừa tương tự như luỹ thừa của số tự nhiên.

Với số hữu tỉ x, ta cũng có định nghĩa sau:

Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu $x^{n}$ , là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1): $x^{n} = x \cdot x \cdot x \cdot \dots \cdot x$ (x $\in Q$ , n $\in N$ , n > 1). n thừa số $x^{n}$ đọc là x mũ n hoặc x luỹ thừa n hoặc luỹ thừa bậc n của x. x gọi là cơ số, n gọi là số mũ. Quy ước: $x^{0} = 1$ (x $\neq 0$ ); $x^{1} = x$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 11–16).