Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác…

Kiến thức, kĩ năng Giải thích các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

Quan sát hai chiếc cột dựng thẳng đứng, cạnh nhau và cao bằng nhau. Vì Mặt Trời ở rất xa Trái Đất, nên vào buổi chiều các tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột các góc xem như bằng nhau. Tớ thấy bóng hai chiếc cột dài bằng nhau, vì sao vậy nhỉ? Đấy là do hai chiếc cột cao bằng nhau đấy! Lí do mà bạn Tròn đưa ra như vậy có đúng không? Qua bài học này, các em sẽ có câu trả lời cho câu hỏi trên

Two vertical poles of equal height casting shadows. Two characters discussing why the shadows are equal.

1. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Tìm hiểu ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

HĐ1

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A'B'C' (vuông tại đỉnh A') có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau: $A B = A^{'} B^{'}$ , $A C = A^{'} C^{'} (H .4.45) .$ Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

Hình 4.45. Two right-angled triangles ABC and A'B'C', right-angled at A and A' respectively. AB=A'B', AC=A'C'.

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

HĐ2

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A'B'C' (vuông tại đỉnh A') có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau: $A B = A^{'} B^{'}$ , $\hat{B} = \hat{B^{'}}$ (H.4.46). Dựa vào trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

Hình 4.46. Two right-angled triangles ABC and A'B'C', right-angled at A and A' respectively. AB=A'B', angle B = angle B'.

Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Luyện tập 1

Quay lại tình huống mở đầu, ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có một cặp cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác vuông này cũng bằng nhau. Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra có đúng không?

HĐ3

Hình 4.47 mô phỏng chiều dài và độ dốc của hai con dốc bởi các đoạn thẳng BC, B'C' và các góc B, B'. Khi đó AC, A'C' mô tả độ cao của hai con dốc. a) Dựa vào trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau. b) So sánh độ cao của hai con dốc.

Hình 4.47. Two right-angled triangles ABC and A'B'C', right-angled at A and A' respectively. BC=B'C', angle B = angle B'.

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Chẳng hạn trong Hình 4.47, $△ A B C$ vuông tại đỉnh A và $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ vuông tại đỉnh $A^{'}$ có: $B C = B^{'} C^{'}$ $\hat{B} = {\hat{B}}^{'}$ Khi đó $Δ A B C = Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Trong Hình 4.48, hãy tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Hình 4.48. Four diagrams showing pairs of right-angled triangles with various markings for congruence.

Ví dụ 1

Cho Hình 4.49. Biết rằng AB vuông góc với BC, AD vuông góc với $C D,$ AC cắt BD tại E và $B A C = D A C$ . Chứng minh rằng: a) $△ B A C = △ D A C;$ b) AC vuông góc với BD tại E.

Hình 4.49. Quadrilateral ABCD with diagonal AC and BD intersecting at E. AB perpendicular to BC, AD perpendicular to CD. Angle BAC = angle DAC.

Giải. a) Hai tam giác vuông BAC (vuông tại B) và DAC (vuông tại D) có: AC là cạnh chung; $B A C = \overline{D A C}$ (theo giả thiết). Vậy $△ B A C = △ D A C$ (cạnh huyền - góc nhọn). b) Hai tam giác BAE và DAE có: AE là cạnh chung; \hat{BAE}=\hat{BAC}=\hat{DAC=\hat{DAE} (theo giả thiết); $A B = A D$ (vì $△ B A C = △ D A C)$ . Vậy $△ B A E = △ D A E$ (c.g.c), suy ra $\overline{B E A} = \overline{D E A}$ (hai góc tương ứng). Mà $B E A + D E A = 180^{\circ}$ nên $\overline{B E A} = \overline{D E A} = 90^{\circ} .$ Vậy AC vuông góc với BD tại E.

Luyện tập 2

Cho Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm M trên tia Oz và hai điểm A, B lần lượt trên các tia Ox, Oy sao cho MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy (H.4.50). Chứng minh rằng $M A = M B$ .

Hình 4.50. Angle xOy with bisector Oz. M on Oz. MA perpendicular to Ox, MB perpendicular to Oy. A on Ox, B on Oy.

2. Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

Tìm hiểu trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

HĐ4

Vẽ tam giác vuông ABC có $\hat{A} = 90^{\circ}$ , $A B = 3$ cm, $B C = 5$ cm theo các bước sau: • Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng $A B = 3$ cm. • Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5 cm như Hình 4.51. Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C. • Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.

Hình 4.51. Construction of a right-angled triangle ABC, right-angled at A. AB=3cm, BC=5cm.

HĐ5

Tương tự, vẽ thêm tam giác A'B'C' có $\hat{A^{'}} = 90^{\circ}$ , $A^{'} B^{'} = 3$ cm, $B^{'} C^{'} = 5$ cm. a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem AC có bằng A'C' không. b) Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không? Ta thừa nhận định lí sau:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau dưới đây.

Hình 4.52. Four diagrams showing pairs of right-angled triangles with various markings for congruence.

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh B và tam giác ADC vuông tại đỉnh D. Biết rằng $A B = A D$ , hãy chứng minh $△ A B C = △ A D C$ .

Giải (H.4.53) GT $△ A B C$ , $\tilde{B} = 90^{\circ}$ $△ A D C$ , $D = 90^{\circ}$ , $A B = A D$ . KL $△ A B C = △ A D C .$

Hình 4.53. Quadrilateral ABCD with diagonal AC. Triangle ABC is right-angled at B, triangle ADC is right-angled at D. AB=AD.

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại B) và ADC (vuông tại D) có: $A B = A D$ (theo giả thiết); AC là cạnh chung. Vậy $△ A B C = △ A D C$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Luyện tập 3

Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O và các điểm M, N, P như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình.

Hình 4.54. A circle with center O. Points A, B, C on the circle. Points M, N, P are also shown, forming various triangles.

Thử thách nhỏ

Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao $B H = B^{'} H$ như Hình 4.55. Các góc BAH và B'A'H' có bằng nhau không? Vì sao?

Hình 4.55. Two ladders of equal length leaning against a wall at the same height. BH=B'H.

Bài tập

4.20.

Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nà cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Four diagrams (a, b, c, d) showing pairs of right-angled triangles with various markings for congruence.

4.21.

Cho Hình 4.56, biết $A B = C D$ $\overline{B A C} = \overline{B D C} = 90^{\circ}$ . Chứng minh rằng $△ A B E = △ D C E$ .

Hình 4.56. Quadrilateral ABCD with diagonals AC and BD intersecting at E. AB=CD, angle BAC = 90 degrees, angle BDC = 90 degrees.

4.22.

Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng $△ A B M = △ D C M .$

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 75–79).