Bài 16. Tam giác cân. đường trung trực của…

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết tam giác cân, giải thích tính chất của tam giác cân.
Nhận biết khái niệm đường trung trực của một đoạn thẳng và các tính chất cơ bản của đường trung trực.
Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng bằng dụng cụ học tập.

Thuật ngữ: Tam giác cân · Đường trung trực

Khái niệm, thuật ngữ | Kiến thức, kĩ năng --- | --- • Tam giác cân | • Nhận biết tam giác cân, giải thích tính chất của tam giác cân. • Đường trung trực | • Nhận biết khái niệm đường trung trực của một đoạn thẳng | và các tính chất cơ bản của đường trung trực. | • Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng bằng dụng cụ học tập.

Kiến trúc sư vẽ bản thiết kế ngôi nhà hình tam giác theo tỉ lệ 1 : 100. Biết rằng ngôi nhà cao 5 m, bề ngang mặt sàn rộng 4 m và hai mái nghiêng như nhau. Theo em, trên bản thiết kế làm thế nào để xác định được chính xác điểm C thể hiện đỉnh ngôi nhà?

A house design with a triangular roof. A triangle ABC with base 4cm, side 5cm.

1. Tam giác cân và tính chất

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Trong Hình 4.58, tam giác cân ABC $(A B = A C)$ được gọi là cân tại đỉnh A, hai cạnh AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy, $\hat{B}$ và $\hat{C}$ là hai góc ở đáy, $\hat{A}$ là góc ở đỉnh.

Hình 4.58. An isosceles triangle ABC with AB=AC.

Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam giác cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Hình 4.59. A quadrilateral ABCD with diagonal AC. AB=3cm, AD=3cm, CD=3cm, BC=2cm, AC=4cm.

Tính chất của tam giác cân

HĐ1

Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình 4.60. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC. a) Chứng minh rằng $Δ A B D = Δ A C D$ theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh. b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

Hình 4.60. Isosceles triangle ABC with AB=AC. D is the midpoint of BC.

HĐ2

Cho tam giác MNP có $\hat{M} = \hat{N}$ Vẽ tia phân giác PK của góc MPN $(K \in M N) .$ Chứng minh rằng: a) $\overline{M K P} = \overline{N K P};$ b) $△ M P K = △ N P K$ c) Tam giác MNP có cân tại P không?

Hình 4.61. Triangle MNP with angle M = angle N. PK is the angle bisector of angle MPN, K is on MN.

Qua HĐ1 và HĐ2 ta có tính chất sau:

Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Luyện tập 1

Tính số đo các góc và cạnh chưa biết của tam giác DEF trong Hình 4.62.

Hình 4.62. Triangle DEF with DE=4cm, EF=4cm, angle E = 60 degrees.

Nhận xét. Tam giác DEF có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Đó là một tam giác đều.

Thử thách nhỏ

Một tam giác có gì đặc biệt nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) Tam giác có ba góc bằng nhau? b) Tam giác cân có một góc bằng $60^{\circ} ?$

2. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường trung trực của đoạn thẳng

HĐ3

Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB.

Bài 16 đường trung trực của đoạn thẳng

Khái niệm, thuật ngữ

Dạng bài: Nhận biết tam giác cân và các thành phần của nó

Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam giác cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Hình 4.60: Tam giác ABC cân tại A, với AD là đường trung tuyến đến BC.

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Nhận xét. Tam giác DEF có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Đó là một tam giác đều.

Thử thách nhỏ

Dạng bài: Nhận biết tính chất đặc biệt của tam giác

Một tam giác có gì đặc biệt nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) Tam giác có ba góc bằng nhau?
b) Tam giác cân có một góc bằng $60^{\circ} ?$

Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau. Mở mảnh giấy ra, kẻ một đường thẳng d theo nếp gấp.
a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?
b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Hình 4.63: Ba bước gấp giấy để tìm đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Đường thẳng d trong HĐ3 được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có định nghĩa sau:

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Đường trung trực của một đoạn thẳng cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.

Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Tính chất của đường trung trực

HĐ4

Dạng bài: Kiểm tra tính chất đường trung trực

Trên mảnh giấy trong HĐ3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).

Từ HĐ4, ta có tính chất sau về đường trung trực của một đoạn thẳng:

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ

Dạng bài: Chứng minh điểm thuộc đường trung trực

Cho đoạn thẳng AB và điểm M không thuộc đoạn thẳng AB sao cho $M A = M B$ . Chứng minh rằng M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Lời giải

Giải (H.4.66)
GT $M \in A B$ $M A = M B .$
KL M thuộc trung trực của đoạn thẳng AB.
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Hai tam giác OMA và OMB có:
$O A = O B$ (do O là trung điểm của đoạn thẳng AB);
$M A = M B$ (theo giả thiết);
OM là cạnh chung.
Vậy $△ O M A = △ O M B$ (c.c.c). Suy ra $\overline{A O M} = \overline{B O M}$ (hai góc tương ứng).
Mặt khác, vì $A O M + B O M = 180^{\circ}$ nên $A O M = B O M = 90^{\circ}$ Vậy MO vuông góc với AB, hay MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hình 4.66: Đoạn thẳng AB, trung điểm O, và điểm M sao cho MA=MB.

Nhận xét. Trong Ví dụ, nếu $M \in A B$ thì M là trung điểm của AB và do đó M cũng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta thấy đường trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Luyện tập 2

Dạng bài: Tính độ dài và góc dựa trên tính chất đường trung trực

Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết $A M = 3$ cm và $\overline{M A B} = 60^{\circ} (H .4.67)$ . Tính BM và số đo góc MBA.

Thực hành

Sử dụng thước thẳng và compa để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB như sau:

Vẽ đoạn thẳng AB;
Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn (bán kính lớn hơn $\frac{A B}{2})$ , sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có cùng bán kính, sao cho hai cung tròn này cắt nhau tại hai điểm M và N;
Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng MN. Khi đó MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB (H.4.68).

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 80–83).