Bài 7. Tập hợp các số thực – Toán 7 tập 1 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết số thực, số đối và giá trị tuyệt đối của số thực.
Biểu diễn số thực trên trục số trong trường hợp thuận lợi.
Nhận biết thứ tự trong tập hợp các số thực.

Thuật ngữ: Số thực · Số đối của số thực · Giá trị tuyệt đối

Two cartoon characters talking. One says 'Đã có số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ,... lại thêm số thực nữa?'. The other says 'Em đừng lo, vẫn là các số đã biết thôi!'.

1 khái niệm số thực và trục số thực

Số thực là gì?

Trong các bài học trước, các em đã thấy là các số hữu tỉ và các số vô tỉ đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn (tuần hoàn hoặc không tuần hoàn). Chẳng hạn: $\frac{3}{4} = 0, 75$ ; $\frac{1}{9} = 0, 111... = 0, (1)$ ; $\sqrt{2} = 1, 4142...$

Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực. Tập hợp các số thực được kí hiệu là $R$ .

Chú ý

Cũng như số hữu tỉ, mỗi số thực a đều có một số đối kí hiệu là -a; Trong tập số thực cũng có các phép toán với các tính chất như trong tập số hữu tỉ.

Luyện tập 1

a) Cách viết nào sau đây là đúng: $\sqrt{2} \in Q$ ; $π \in I$ ; $15 \in R$ ? b) Viết số đối của các số: $5, 08 (299)$ ; $- \sqrt{5}$ .

Khái niệm, thuật ngữ

Đã có số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ,... lại thêm số thực nữa?

Em đừng lo, vẫn là các số đã biết thôi!

Khái niệm số thực và trục số thực

Số thực là gì?

Chẳng hạn: $\frac{3}{4} = 0, 75$ ; $\frac{1}{9} = 0, (1)$ ; $\sqrt{2} = 1, 4142...$

Số $π = 3, 14159265358...$ là một số thực đấy.

Trục số thực

Ta đã biết mọi số hữu tỉ đều biểu diễn được trên trục số. Các số vô tỉ cũng có thể biểu diễn được trên trục số. Chẳng hạn, trong Bài 6 ta đã thấy $\sqrt{2}$ là độ dài nửa đường chéo của hình vuông với cạnh bằng 2. Vì vậy, để biểu diễn số $\sqrt{2}$ trên trục số ta làm như sau:

Vẽ hình vuông MNPQ với cạnh bằng 2. Gọi E là giao điểm hai đường chéo của hình vuông này (H.2.3a).

Vẽ đường tròn tâm O (gốc của trục số), bán kính bằng ME. Giao điểm A của đường tròn vừa vẽ với tia Ox chính là điểm biểu diễn số $\sqrt{2}$ (H.2.3b).

Hình 2.3. Two diagrams: a) a square MNPQ with diagonals intersecting at E; b) a number line with a circle centered at O, intersecting at A, representing sqrt(2).

Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Chú ý.

Vì mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực nên các số thực lấp đầy trục số. Để nhấn mạnh điều này, người ta cũng gọi trục số là trục số thực (H.2.4).

Hình 2.4. A number line with points marked for -4, -3, -2, -sqrt(3), -2/5, 0, 0.3, sqrt(2), sqrt(3), 2, 3, 4, 4.1(6), 5.

Điểm nào trong Hình 2.4 biểu diễn số $- \sqrt{2}$ ? Em có nhận xét gì về các điểm biểu diễn của hai số đối nhau?

Luyện tập 2

Cho biết nếu một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 1 và 3 thì cạnh huyền của tam giác bằng $\sqrt{10}$ . Em hãy vẽ điểm biểu diễn số $- \sqrt{10}$ trên trục số.

Thứ tự trong tập hợp các số thực

So sánh hai số thực

Các số thực đều viết được dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn). Vì thế có thể so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân.

Chẳng hạn: $0, 24 (7) = 0, 2477... > 0, 2382...$ nên $0, 24 (7) > 0, 2382...$ ; $\sqrt{2} = 1, 414... > 1, 410$ nên $- \sqrt{2} < - 1, 41$ .

Cũng như với các số hữu tỉ, ta có

Với hai số thực $a$ và $b$ bất kì ta luôn có $a = b$ hoặc $a < b$ hoặc $a > b$ .

Cho ba số thực $a, b, c$ . Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$ (tính chất bắc cầu).

Trên trục số thực, nếu $a < b$ thì điểm $a$ nằm trước điểm $b$ . Nói riêng, các điểm nằm trước gốc O biểu diễn các số âm, các điểm nằm sau gốc O biểu diễn các số dương. Bởi vậy ta viết $x < 0$ để nói $x$ là số âm, viết $x > 0$ để nói $x$ là số dương (H.2.5).

Hình 2.5. A number line with points E and Q marked, representing 1 and 3 respectively. Other points are -4, -3, -2, -1, 2, 4, 5. Also sqrt(5) is marked.

Chẳng hạn: Nếu $x$ là số thực thoả mãn điều kiện $1 < x < 3$ thì điểm biểu diễn của $x$ nằm giữa hai điểm E và Q trên Hình 2.5.

Chú ý.

Nếu $0 < a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ . Ta thường dùng tính chất này để so sánh một căn bậc hai số học với một số hữu tỉ hoặc so sánh hai căn bậc hai số học với nhau. Chẳng hạn, $\sqrt{2} < \sqrt{5}$ vì $2 < 5$ .

Luyện tập 3

So sánh: a) $1, 313233...$ và $1, (32)$ ; b) $\sqrt{5}$ và $2, 36$ (có thể dùng máy tính cầm tay để tính $\sqrt{5}$ ).

Giá trị tuyệt đối của một số thực

Khái niệm giá trị tuyệt đối

HĐ1

Biểu diễn các số 3 và -2 trên trục số rồi cho biết mỗi điểm ấy nằm cách gốc O bao nhiêu đơn vị.

HĐ2

Không vẽ hình, hãy cho biết khoảng cách của mỗi điểm sau đến gốc O: -4; -1; 0; 1; 4.

Với số thực $a$ tuỳ ý, ta có: Khoảng cách từ điểm $a$ trên trục số đến gốc O là giá trị tuyệt đối của số $a$ , kí hiệu là $∣ a ∣$ .

Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

Từ HĐ1 và HĐ2, hãy tìm giá trị tuyệt đối của các số: $3; - 2; 0; 4$ và $- 4$ .

Nhận xét

Giá trị tuyệt đối của $0$ là $0$ ; Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó, chẳng hạn $∣ 2 ∣ = 2$ ; $∣ \frac{5}{8} ∣ = \frac{5}{8}$ ;

Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó, chẳng hạn $∣ - 2 ∣ = 2; ∣ - 5, 1 ∣ = 5, 1; ∣ - \sqrt{2} ∣ = \sqrt{2}$ .

Như vậy: $∣ a ∣ = {\begin{cases} a khi a > 0 \\ - a khi a < 0 \\ 0 khi a = 0. \end{cases}$

Nhờ nhận xét này ta có thể tính được giá trị tuyệt đối của một số thực bất kì mà không cần biểu diễn số đó trên trục số.

Minh viết $∣ - 2, 5 ∣ = - 2, 5$ đúng hay sai?

Luyện tập 4

Tính: a) $∣ - 2, 3 ∣$ ; b) $∣ - \frac{4}{5} ∣$ ; c) $∣ - 111 ∣$ ; d) $∣ - \sqrt{8} ∣$ .

Thử thách nhỏ

Liệt kê các phần tử của tập hợp $A = {x ∣ x \in Z, ∣ x ∣ < 5}$ .

Bài tập

2.13.

Xét tập hợp $A = {7, 1; - 2, (61); 0; 5, 14; - \frac{4}{7}; \sqrt{15}; - \sqrt{81}}$ . Bằng cách liệt kê các phần tử, hãy viết tập hợp B gồm các số hữu tỉ thuộc tập A và tập hợp C gồm các số vô tỉ thuộc tập A.

2.14.

Gọi A' là tập hợp các số đối của các số thuộc tập hợp A trong Bài tập 2.13. Liệt kê các phần tử của A'.

2.15.

Các điểm A, B, C, D trong hình sau biểu diễn những số thực nào?

Hình 2.6. Two number lines: a) with points A, B, C marked near 1; b) with points D marked near 4.6 and 4.7.

2.16.

Tính: a) $∣ - 3, 5 ∣$ ; b) $∣ - \frac{4}{9} ∣$ ; c) $∣ 0 ∣$ ; d) $∣ 12, 0 (3) ∣$ .

2.17.

Xác định dấu và giá trị tuyệt đối của mỗi số sau: a) $a = 1, 25$ ; b) $b = - 4, 1$ ; c) $c = - 1, 414213562....$

2.18.

Tìm tất cả các số thực $x$ thoả mãn điều kiện $∣ x ∣ = 2, 5$ .

Ví dụ 1

Cho một hình vuông cạnh 1 cm và hai hình chữ nhật kích thước 2 cm x 1 cm bằng giấy bìa. Cắt hai hình chữ nhật dọc theo đường chéo để nhận được bốn hình tam giác vuông bằng nhau (H.2.6). a) Hãy ghép bốn tam giác vuông đó với hình vuông đã cho để nhận được một hình vuông mới, tính diện tích hình vuông đó. b) Độ dài đường chéo của hình chữ nhật trên bằng bao nhiêu xentimét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)?

Lời giải

Giải a) Ghép bốn tam giác vuông và hình vuông cạnh 1 cm, ta được một hình vuông như Hình 2.7. Hình vuông cạnh 1 cm có diện tích là: $1 \cdot 1 = 1$ (cm $^{2}$ ); Diện tích mỗi tam giác vuông là: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ (cm $^{2}$ ); Diện tích hình vuông tạo thành là: $1 + 4 \cdot 1 = 5$ (cm $^{2}$ ). b) Độ dài đường chéo của hình chữ nhật ban đầu cũng bằng cạnh hình vuông tạo thành và bằng $\sqrt{5}$ cm. Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được $\sqrt{5} \approx 2, 236067978$ . Làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ hai ta được độ dài đường chéo cần tìm là 2,24 cm.

Hình 2.7. A larger square formed by a central 1cm square and four right-angled triangles around it.

Ví dụ 2

Tính: $\sqrt{3^{2}}$ ; $(\sqrt{4, 1})^{2}$ ; $\sqrt{a^{2}}$ (trong đó $a$ là số thực dương cho trước).

Lời giải

Giải. Ta có $\sqrt{3^{2}} = 3$ vì $3 > 0$ ; $(\sqrt{4, 1})^{2} = 4, 1$ (theo định nghĩa căn bậc hai số học). Tương tự: $\sqrt{a^{2}} = a$ .

Bài tập

2.19.

Cho bốn phân số: $\frac{17}{80}$ ; $\frac{611}{125}$ ; $\frac{133}{91}$ và $\frac{9}{8}$ . a) Phân số nào trong những phân số trên không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn? b) Cho biết $\sqrt{2} = 1, 414213562...$ , hãy so sánh phân số tìm được trong câu a) với $\sqrt{2}$ .

2.20.

a) Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (dùng dấu ngoặc để chỉ rõ chu kì): $\frac{3}{11}$ ; $\frac{1}{99}$ ; $\frac{1}{999}$ . Em có nhận xét gì về kết quả nhận được? b) Em hãy dự đoán dạng thập phân của $\frac{1}{999}$ .

2.21.

Viết $\frac{5}{9}$ và $\frac{5}{99}$ dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

2.22.

Nam vẽ một phần trục số trên vở ô li và đánh dấu ba điểm A, B, C như sau: a) Hãy cho biết hai điểm A, B biểu diễn những số thập phân nào? b) Làm tròn số thập phân được biểu diễn bởi điểm C với độ chính xác 0,05.

A number line with points A, B, C marked between 13 and 15.

2.23.

Thay dấu “?” bằng chữ số thích hợp. a) $- 7, 02 < - 7, ? (1)$ ; b) $- 15, 3 ? 021 < - 15, 3819$ .

2.24.

So sánh: a) $12, 26$ và $12, (24)$ ; b) $31, 3 (5)$ và $29, 9 (8)$ .

2.25.

Tính: a) $\sqrt{1}$ ; b) $\sqrt{1 + 2 + 1}$ ; c) $\sqrt{1 + 2 + 3 + 2 + 1}$ .

2.26.

Tính: a) $(\sqrt{3})^{2}$ ; b) $(\sqrt{21})^{2}$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 33–38).