Bài 9. Hai đường thẳng song song và dấu hiệu…

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng.
Mô tả dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thông qua cặp góc đồng vị, cặp góc so le trong.
Nhận biết cách vẽ hai đường thẳng song song.

Thuật ngữ: Hai đường thẳng song song · Hai góc đồng vị · Hai góc so le trong

Khái niệm, thuật ngữ

Để kiểm tra các thanh ngang trên mái nhà đã song song với nhau chưa, người thợ chỉ cần kiểm tra chúng có cùng vuông góc với một thanh dọc. Vì sao lại như vậy, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài học này.

Image of a roof structure with wooden beams.

Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng

Góc so le trong, góc đồng vị

Cho đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt tại A và B tạo thành bốn góc đỉnh A, bốn góc đỉnh B được đánh số như Hình 3.16. Ta sắp xếp các góc thành từng cặp. Mỗi cặp gồm một góc đỉnh A và một góc đỉnh B.

Các cặp góc $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{1}}$ , $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{2}}$ được gọi là các cặp góc so le trong.

Các cặp góc $\hat{A_{1}}$ và $\hat{B_{1}}$ , $\hat{A_{2}}$ và $\hat{B_{2}}$ , $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{3}}$ , $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{4}}$ được gọi là các cặp góc đồng vị.

Hình 3.16. Two lines a, b intersected by a transversal c, with angles at intersections A and B labeled.

Cho đường thẳng $m n$ cắt hai đường thẳng $x y$ và $u v$ lần lượt tại hai điểm P và Q (H.3.17). Em hãy kể tên: a) Hai cặp góc so le trong; b) Bốn cặp góc đồng vị.

Hình 3.17. Two lines xy and uv intersected by a transversal mn at points P and Q.

Quan hệ giữa các cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị

Trên Hình 3.18, cho biết hai góc so le trong $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{1}}$ bằng nhau và bằng $60^{\circ}$ .

Hình 3.18. Two lines a, b intersected by a transversal c, with angles at intersections A and B labeled. Angle A3 and B1 are marked as 60 degrees.

HĐ1

Hãy tính và so sánh hai góc so le trong còn lại $\hat{A_{2}}$ và $\hat{B_{4}}$ .

HĐ2

Chọn hai góc đồng vị rồi tính và so sánh hai góc đó.

Ta có tính chất sau:

Nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a, b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì: Hai góc so le trong còn lại bằng nhau; Hai góc đồng vị bằng nhau.

Luyện tập 1

Quan sát Hình 3.19. a) Biết $\hat{A_{1}} = 40^{\circ}$ , $\hat{B_{1}} = 40^{\circ}$ . Em hãy tính số đo các góc còn lại. b) Các cặp góc $\hat{A_{1}}$ và $\hat{B_{4}}$ ; $\hat{A_{2}}$ và $\hat{B_{3}}$ được gọi là các cặp góc trong cùng phía. Tính các tổng: $\hat{A_{1}} + \hat{B_{4}}$ ; $\hat{A_{2}} + \hat{B_{3}}$ .

Hình 3.19. Two lines a, b intersected by a transversal, with angles A1 and B1 marked as 40 degrees.

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Để biết hai đường thẳng cắt nhau hay song song với nhau, ta cần biết chúng có điểm chung hay không. Việc kiểm tra trực tiếp, tức là xác định điểm chung của hai đường thẳng đã cho, trong nhiều trường hợp, là rất khó thực hiện. Chẳng hạn trên Hình 3.20a, không phải lúc nào ta cũng có thể kéo dài được hai đường thẳng $c$ và $d$ để tìm điểm chung của chúng. Vậy có cách nào thuận tiện hơn để nhận biết hai đường thẳng song song hay không?

Hình 3.20. Three diagrams (a, b, c) showing lines that are parallel or not, with angles marked.

Ta thừa nhận rằng:

Ví dụ

Quan sát Hình 3.21 và giải thích tại sao xy // x'y'.

Lời giải

Giải Ta có $\hat{x A B} = \hat{A B y^{'}} = 70^{\circ}$ . Hai góc này ở vị trí so le trong. Do đó xy // x'y' (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Hình 3.21. Two lines xy and x'y' intersected by a transversal, with alternate interior angles marked as 70 degrees.

Luyện tập 2

Quan sát Hình 3.22 và giải thích vì sao AB // DC. Tìm trên Hình 3.23 hai đường thẳng song song với nhau và giải thích vì sao chúng song song.

Hình 3.22. A quadrilateral ABCD with angles A and D marked as 60 degrees.

Hình 3.23. Two lines xH and x'K intersected by a transversal z, forming angles.

Nhận xét.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Thực hành 1

Cho đường thẳng $a$ và điểm A nằm ngoài đường thẳng $a$ . Để vẽ đường thẳng $b$ đi qua A và song song với $a$ , ta có thể sử dụng góc nhọn $60^{\circ}$ của êke để vẽ như sau:

Five steps showing how to draw a parallel line using a set square (êke).

Tại sao khi vẽ như trên ta lại khẳng định được hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau?

Thực hành 2

Dùng góc vuông hay góc $30^{\circ}$ của êke (thay cho góc $60^{\circ}$ ) để vẽ đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng $a$ cho trước.

Bài tập

3.6.

Quan sát Hình 3.24. a) Tìm một góc ở vị trí so le trong với góc MNB. b) Tìm một góc ở vị trí đồng vị với góc ACB. c) Kể tên một cặp góc trong cùng phía. d) Biết MN // BC, em hãy kể tên ba cặp góc bằng nhau trong hình vẽ.

Hình 3.24. A triangle ABC with a line segment MN parallel to BC.

3.7.

Quan sát Hình 3.25. Biết $\hat{M E F} = 40^{\circ}$ , $\hat{E M N} = 40^{\circ}$ . Em hãy giải thích tại sao EF // NM.

Hình 3.25. A diagram with lines EF and NM, and angles MEF and EMN both 40 degrees.

3.8.

Quan sát Hình 3.26, giải thích tại sao AB // DC.

Hình 3.26. A quadrilateral ABCD.

3.9.

Cho điểm A và đường thẳng $d$ không đi qua A. Hãy vẽ đường thẳng $d^{'}$ đi qua A và song song với $d$ .

3.10.

Cho hai điểm A và B. Hãy vẽ đường thẳng $a$ đi qua A và đường thẳng $b$ đi qua B sao cho $a$ song song với $b$ .

3.11.

Hãy vẽ hai đoạn thẳng AB và MN sao cho AB // MN và AB = MN.

3.7

Quan sát Hình 3.25. Biết $∠ M E F = 40^{\circ}$ , $∠ E M N = 40^{\circ}$ . Em hãy giải thích tại sao $E F / / N M$ .

Hình/bảng: Hình 3.25: Hai đường thẳng $EF$ và $NM$ bị cắt bởi đường thẳng $EN$. Góc $MEF = 40^{\circ}$ và góc $EMN = 40^{\circ}$.

Luyện tập chung

Ví dụ

Cho Hình 3.27, biết $∠ A N M = 45^{\circ}$ , $∠ A C D = 45^{\circ}$ , $∠ B A C = 45^{\circ}$ . Em hãy giải thích tại sao: a) $A B / / C D$ ; b) $M N / / C D$ .

Hình/bảng: Hình 3.27: Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bị cắt bởi đường thẳng $AC$. Góc $BAC = 45^{\circ}$, góc $ACD = 45^{\circ}$. Đường thẳng $MN$ cắt $AC$ tại $N$ và một đường thẳng khác tại $M$. Góc $ANM = 45^{\circ}$.

Lời giải

a) Ta có $∠ A C D = ∠ B A C = 45^{\circ}$ . Hai góc này ở vị trí so le trong. Do đó $A B / / C D$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song). b) Ta có $∠ A N M = ∠ A C D = 45^{\circ}$ . Hai góc này ở vị trí đồng vị. Do đó $M N / / C D$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Bài tập

3.12

Cho Hình 3.28. a) Tìm các góc ở vị trí so le trong với góc $F I P$ ; góc $N M I$ . b) Tìm các góc ở vị trí đồng vị với góc $E Q P$ ; góc $I F P$ .

Hình/bảng: Hình 3.28: Hai đường thẳng $MN$ và $PQ$ bị cắt bởi đường thẳng $EF$. Các điểm $I$ và $F$ nằm trên $EF$. Các điểm $E, Q, P$ nằm trên đường thẳng $PQ$. Các điểm $M, N$ nằm trên đường thẳng $MN$.

3.14

Vẽ hình theo yêu cầu sau: a) Vẽ hai đường thẳng $d$ và $d^{'}$ sao cho $d / / d^{'}$ . b) Vẽ hai đoạn thẳng $A B$ và $C D$ sao cho $C D = 2 A B$ và $C D / / A B$ .

3.15

Cho Hình 3.30, biết các góc $∠ M N Q$ và $∠ P Q N$ có cùng số đo bằng $35^{\circ}$ . Chứng tỏ $M N / / Q P$ .

Hình/bảng: Hình 3.30: Hai đường thẳng $MN$ và $QP$ bị cắt bởi đường thẳng $NQ$. Góc $MNQ = 35^{\circ}$ và góc $PQN = 35^{\circ}$.

3.13

Cho Hình 3.29, biết $∠ x A z = 50^{\circ}$ , $∠ y B z = 50^{\circ}$ . Giải thích tại sao $A x / / B y$ .

Hình/bảng: Hình 3.29: Hai tia $Ax$ và $By$ bị cắt bởi đường thẳng $AB$. Góc $xAz = 50^{\circ}$ và góc $yBz = 50^{\circ}$.

3.16

Cho đoạn thẳng $A B$ . Vẽ hai tia $A x$ , $B y$ sao cho chúng tạo với $A B$ hai góc so le trong có cùng số đo bằng $60^{\circ}$ ( $∠ x A B = ∠ y B A = 60^{\circ}$ ). Trên hình vừa vẽ, hai đường thẳng chứa hai tia $A x$ và $B y$ có song song với nhau không? Vì sao?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 46–50).