Bài 11. Định lí và chứng minh định lí

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết một định lí, giả thiết, kết luận của định lí.
Làm quen với chứng minh định lí.

Thuật ngữ: Định lí · Giả thiết · Kết luận · Chứng minh một định lí

Khái niệm, thuật ngữ: Định lí, Giả thiết, Kết luận, Chứng minh một định lí. Kiến thức, kĩ năng: Nhận biết một định lí, giả thiết, kết luận của định lí. Làm quen với chứng minh định lí.

Trong Bài 10, ta đã dùng cách đo đạc để kiểm nghiệm tính chất sau là đúng: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau” (H.3.45). Tuy nhiên, đo đạc chỉ cho ta kết quả gần đúng và chỉ trong một trường hợp cụ thể. Vậy có cách nào để chắc chắn rằng tính chất đó đúng cho mọi trường hợp không?

Định lí. Giả thiết và kết luận của định lí

Trong Bài 8, Tập suy luận, trang 42, khẳng định “(Nếu) hai góc đối đỉnh thì (hai góc đó) bằng nhau” đã được suy ra từ điều đúng đã biết là “hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180^{\circ}$ ”. Đó là một định lí. Trong một định lí ta cần phân biệt giả thiết và kết luận của nó. Chẳng hạn: Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau. Giả thiết: hai góc đối đỉnh. Kết luận: hai góc đó bằng nhau.

Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng: Nếu ... thì ... Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí; Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí.

Chẳng hạn, các tính chất của hai đường thẳng song song đã học đều là những định lí.

Ví dụ

Trong định lí “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”, thì có: Giả thiết là “một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song”; Kết luận là “nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”. Ta có thể viết giả thiết và kết luận của định lí trên bằng kí hiệu như sau: GT: $d, d^{'}, d^{''}$ là các đường thẳng, $d^{'} / / d^{''}$ , $d ⊥ d^{'}$ . KL: $d ⊥ d^{''}$ .

Hình/bảng: Hình ảnh minh họa GT và KL. GT: $d, d', d''$ là các đường thẳng, $d' // d''$, $d \perp d'$. KL: $d \perp d''$.

Luyện tập 1

Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”.

Thế nào là chứng minh định lí?

Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết suy ra kết luận của định lí.

Chẳng hạn, ta chứng minh định lí nói trong tình huống mở đầu “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau” như sau: GT: $a / / b$ , $c$ cắt $a$ tại $A$ , $c$ cắt $b$ tại $B$ ; $∠ A_{1}$ , $∠ B_{1}$ là hai góc đồng vị. KL: $∠ A_{1} = ∠ B_{1}$ . Chứng minh (H.3.46): Qua điểm $B$ kẻ đường thẳng $b^{'}$ sao cho góc $∠ B_{2} = ∠ A_{1}$ . Khi đó đường thẳng $c$ tạo với hai đường thẳng $a$ và $b^{'}$ hai góc đồng vị bằng nhau $∠ A_{1} = ∠ B_{2}$ . Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta có $a$ và $b^{'}$ song song với nhau. Suy ra qua $B$ có hai đường thẳng $b$ , $b^{'}$ cùng song song với $a$ . Theo tiên đề Euclid, $b^{'}$ trùng $b$ . Từ đó suy ra $∠ B_{1} = ∠ A_{1}$ (vì cùng bằng $∠ B_{2}$ ).

Luyện tập 2

Em hãy chứng minh định lí: “Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông”.

Hình/bảng: Hình ảnh minh họa hai góc vuông kề nhau.

Tranh luận

Hai góc đối đỉnh thì chắc chắn bằng nhau rồi. Liệu hai góc bằng nhau thì có đối đỉnh không nhỉ? Tớ nghĩ đó là điều không đúng! Nhưng làm thế nào để khẳng định điều đó không đúng nhỉ? Em có ý kiến gì về hai ý kiến trên?

Hình/bảng: Hình ảnh hai nhân vật đang tranh luận.

Bài tập

3.24

Có thể coi định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song không? Suy ra như thế nào?

3.25

Hãy chứng minh định lí nói ở Ví dụ trang 56: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”. Trong chứng minh đó ta đã sử dụng những điều đúng đã biết nào?

3.26

Cho góc $x O y$ không phải là góc bẹt. Khẳng định nào sau đây là đúng? (1) Nếu $O t$ là tia phân giác của góc $x O y$ thì $∠ x O t = ∠ t O y$ . (2) Nếu tia $O t$ thoả mãn $∠ x O t = ∠ t O y$ thì $O t$ là tia phân giác của góc $x O y$ . Nếu có khẳng định không đúng, hãy nêu ví dụ cho thấy khẳng định đó không đúng. (Gợi ý: Xét tia đối của một tia phân giác).

Ví dụ

Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và trình bày chứng minh định lí sau: “Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”.

Hình/bảng: Hình 3.47: Ba tia $Ox, Oy, Oz$ tạo thành hai góc kề bù $xOy$ và $yOz$. Tia $Ou$ là phân giác của $xOy$, tia $Ov$ là phân giác của $yOz$.

Lời giải

Giải (H.3.47) GT: $x O y$ và $y O z$ là hai góc kề bù; $O u$ là tia phân giác của $x O y$ ; $O v$ là tia phân giác của $y O z$ . KL: $u O v$ là góc vuông. Vì $O u$ là tia phân giác của $x O y$ nên $∠ u O y = \frac{1}{2} ∠ x O y$ . Vì $O v$ là tia phân giác của $y O z$ nên $∠ y O v = \frac{1}{2} ∠ y O z$ . Vậy $∠ u O y + ∠ y O v = \frac{1}{2} (∠ x O y + ∠ y O z)$ (*). Vế trái của (*) là $∠ u O y + ∠ y O v = ∠ u O v$ . Vì $x O y$ , $y O z$ là hai góc kề bù nên $∠ x O y + ∠ y O z = 180^{\circ}$ . Vậy đẳng thức (*) trở thành $∠ u O v = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$ , tức là $∠ u O v$ là góc vuông.

Bài tập

3.27

Cho hình thang $A B C D$ có cạnh $A D$ vuông góc với hai đáy $A B$ và $C D$ . Số đo góc ở đỉnh $B$ gấp đôi số đo góc ở đỉnh $C$ . Tính số đo các góc của hình thang đó.

3.28

Vẽ hình minh hoạ và viết giả thiết, kết luận của định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

3.29

Kẻ các tia phân giác $A x$ , $B y$ của một cặp góc so le trong tạo bởi đường thẳng $b$ vuông góc với hai đường thẳng song song $c, d$ (H.3.48). Chứng minh rằng hai tia phân giác đó nằm trên hai đường thẳng song song.

Hình/bảng: Hình 3.48: Hai đường thẳng $c$ và $d$ song song. Đường thẳng $b$ cắt $c$ tại $A$ và $d$ tại $B$. Tia $Ax$ và $By$ là các tia phân giác của các góc so le trong.

3.30

Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ , $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $c$ ; $d$ là một đường thẳng khác $c$ và $d$ vuông góc với $a$ . Chứng minh rằng: a) $a / / b$ ; b) $c / / d$ ; c) $b ⊥ d$ .

3.31

Cho Hình 3.49. Chứng minh rằng: a) $d / / B C$ ; b) $d ⊥ A H$ ; c) Trong các kết luận trên, kết luận nào được suy ra từ tính chất của hai đường thẳng song song, kết luận nào được suy ra từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song?

Hình/bảng: Hình 3.49: Tam giác $ABC$. Đường thẳng $d$ cắt $AB$ tại $A$ và $BC$ tại $B$. Góc $\angle DAB = 50^{\circ}$, góc $\angle ABC = 50^{\circ}$. Đường cao $AH$ từ $A$ xuống $BC$.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 55–58).